1. Ermitteln Sie zunächst sämtliche Nullstellen und deren Vielfachheit und geben Sie den Funktionsterm als Produkt an
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- Martina Goldschmidt
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1 Aufgabenblock. Ermitteln Sie zunächst sämtliche Nullstellen und deren Vielfachheit und geben Sie den Funktionsterm als Produkt an a = + Nullstellen = + = / Um die Nullstellen zu ermitteln, muss der Funktionsterm gleich gesetzt werden Um die Brüche los zu werden, wird der Term mit multipliziert = Erratene = Das ist eine Gleichung vom Grad, daher muss eine Lösung erraten werden und anschließend eine Polynomdivision durchgeführt werden. ( : ( = 8 ( 6 ( (
2 Weitere Lösungen durch Lösen der entstandenen quadratischen Gleichung: 8 = ( ( + = (systematisches Probieren, Lösungsformel ginge auch = und = Die Funktion hat drei einfache Nullstellen N / ; N ( / ; N ( / ( Der Funktionsterm lässt sich in folgende Linearfaktoren (denn laut der Aufgabenstellung soll der Term ja als Produkte dargestellt werden zerlegen: = + = ( ( ( + Wichtig: Das nicht vergessen! b h ( = = /: = Erratene = Um die Nullstellen zu ermitteln, muss der Funktionsterm gleich gesetzt werden Um die los zu werden, wird der Term durch geteilt, das muss man aber nicht machen. Mit kleinen Zahlen rechnet es sich aber leichter Gleichung. Grades: Eine Lösung erraten, dann Polynomdivision ( : ( = + ( 5 ( + 6 (
3 Weitere Lösungen durch Lösen der entstandenen quadratischen Gleichung: + = ( + ( = (systematisches Probieren, Lösungsformel ginge auch = und = Die Funktion hat zwei Nullstellen: N ( / doppelte Nullstelle und N ( / einfache Nullstelle Der Funktionsterm lässt sich in folgende Linearfaktoren (notwendig wegen der gewünschten Darstellung als Produkt zerlegen: h ( = + 7 = ( ( + Wichtig: Nicht vergessen, die anfangs wegdividierte vor der Klammer wieder einzurechnen! c g ( = = Um die Nullstellen zu ermitteln, muss der Funktionsterm gleich gesetzt werden Erratene = Gleichung. Grades: Eine Lösung erraten, dann Polynomdivision - -
4 ( + 6 : ( = 6 ( ( + ( ( Weitere Lösungen durch 6 = Da der Grad dieser Gleichung immer noch größer als ist, müssen wir noch mal eine Polynomdivision machen. Weitere erratene = 6 ( 6 : ( 6 = ( 6 5 (5 6 6 ( 6 6 Weitere Lösungen durch Lösen der entstandenen quadratischen Gleichung: ( = - -
5 ( + ( + = (systematisches Probieren- Lösungsformel ginge auch: Lösungen = und = Die Funktion hat vier einfache Nullstellen: N ( / ; N (6 / ; N ( / und N ( / Der Funktionsterm lässt sich in folgende Linearfaktoren (notwendig wegen der gewünschten Darstellung als Produkt zerlegen: g ( = + 6 = ( ( 6( + ( +. AP AI. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. = + 8 Funktion gleich setzen: + 8 = Setze = u u u + 8 = / u u + 56 = Lösung erfolgt mit Hilfe der Substitution, da nur geradzahlige Eponenten von vorkommen. Multiplikation mit dem Faktor, um den Bruch wegzubekommen. Dadurch entsteht jetzt eine quadratische Gleichung, die man z. B. mit der Lösungsformel lösen kann: ± ( 56 ± Lösungsformel: u / = = u = 6 (doppelte Lösung Resubstitution: = 6 = und = - 5 -
6 Die Funktion hat zwei Nullstellen: N ( / und N ( / Es handelt sich um doppelte Nullstellen, weil = [( ( + ] = ( ( + nochmal binom. Formel + 8 = ( + 56 = ( 6 binom. Formel =. AP AII.. (adaptiert Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f(: = ( + 8 Funktion gleich setzen: ( + = 8 Es handelt sich um eine Gleichung. Grades, aber ohne Konstante. Wir müssen daher keine Polynomdivision ausführen und klammern einfach aus: ( + = 8 Der quadratische Ausdruck lässt sich durch systematisches Probieren oder die Lösungsformel faktorisieren: ( ( 8 = 8 Die Funktion hat drei einfache Nullstellen: N / ; N ( / ; (8 / ( N. AP AI. (adaptiert Zeigen Sie, dass f( eine einfach und eine dreifache Nullstelle besitzt. Geben Sie jeweils auch die Lage dieser Nullstellen an. = ( + ( 7 Wenn man zeigen soll, dass f( eine einfache und eine dreifache Nullstelle besitzt, dann genügt es den Funktionsterm vollständig in Linearfaktoren zu zerlegen: - 6 -
7 = = 7 7 ( + ( + ( = Binom! ( ( + = 7 ( + ( Weil der Faktor ( + dreimal vorkommt und der Faktor ( - nur einmal, wissen wir, dass die Funktion an der Stelle = - eine dreifache Nullstelle und an der Stelle = eine einfache Nullstelle besitzt, also: N ( / dreifach N ( / einfach 5. AP AII. (adaptiert mit a = Weisen Sie nach, dass sich der Funktionsterm = + auch in der Form = ( ( schreiben lässt und bestimmen Sie die Lage und Vielfachheit der Nullstellen. Wir sollen also zeigen dass + = ( ( das multiplizieren wir aus! Wir multiplizieren die rechte Seite dieser Gleichung aus ( ( = ( + 7 = ( + 7 = + Das Ergebnis entspricht genau der linken Seite der Gleichung, also lässt sich f( auch so darstellen. Genau das war zu zeigen! Jetzt kann man die Nullstellen leichter bestimmen: = ( ( = ( ( ( + = ( ( + Binom Der Faktor ( - kommt zweimal vor, der Faktor ( + kommt einmal vor
8 Die Funktion hat also eine doppelte Nullstelle in N ( / und eine einfache in N ( / Lösungen 6. AP AII. (adaptiert Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion und geben Sie f( in Linearfaktorzerlegung an. = + + = / Funktionsterm gleich setzen, dann Multiplikation mit dem Faktor, um den Bruch wegzubekommen. + 8 = Gleichung. Grades mit Konstante Polynomdivision Erratene = ( + 8 : ( + = + 6 ( ( ( Die so entstandene quadratische Gleichung kann jetzt gelöst werden durch systematisches Probieren, die Lösungsformel, oder durch eine binomische Formel: + 6 = Binom! ( 6 = / = 6-8 -
9 Die Funktion hat zwei Nullstellen: N ( / einfach N (6 / doppelt Zerlegung in Linearfaktoren: = + = ( + ( 6 Wichtig: Das anfangs wegmultiplizierte nicht vergessen und wieder einrechnen! - -
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