Vorkurs Mathematik WiSe 2017/18

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1 Vorkurs Mathematik WiSe 2017/18 S. Bernstein, S. Dempe, M. Helm Fakultät für Mathematik und Informatik Die Vorlesungen und Tutorien des Vorkurses wurden als Teil des Brückenkurses I teilweise durch das SMWK aus Mitteln des ESF und des Landes Sachsen gefördert.

2 1. Brüche und Polynome

3 Zahlbereiche Natürliche Zahlen Der grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3,...}. In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen: N 0 = N [ {0} = {0, 1, 2,...}. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

4 Ganze Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen ist Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Die natürlichen Zahlen sind eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

5 Rationale Zahlen Brüche aus ganzen und natürlichen Zahlen (ungleich Null) bilden die rationalen Zahlen n m o Q = n : m 2 Z, n 2 N. Rationale Zahlen lassen sich als endliche Dezimalzahlen oder unendliche periodische Dezimalzahlen darstellen. Beispiele: 1 2 = 0.5; = 25.32; 1 3 = = 0.3; = = 0.318; = S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

6 Rechnen mit Brüchen Was versteht man unter Erweitern und Kürzen von Brüchen? Wird der Wert eines Bruches dabei geändert oder beibehalten? Abbildung 1: Addition von Brüchen Abbildung 2: Hauptnenner bilden Wiederholen Sie an selbstgewählten Beispielen, wie man Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert. Formulieren Sie jeweils eine entsprechende Gesetzmäßigkeit mit Hilfe von Variablen. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

7 Irrationale Zahlen Irrationale Zahlen sind nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen. p 2 ist eine irrationale Zahl. Beispiele: p 2 = ; º = ; e = Reelle Zahlen Die Menge der rationalen Zahlen Q und die Menge aller irrationalen Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen R. Bei allen bisherigen Beispielen handelt es sich also um reelle Zahlen. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

8 Irrationalität von p 2 Zur Visualisierung reeller Zahlen benutzt man oft den Zahlenstrahl. Markieren Sie auf diesem die Zahlen 2, 0.5,0, 2 3, 3 2,p 2, p 3undº. Ein Beweis der Irrationalität von p 2 findet sich bereits in Euklids Elementen aus dem 3. oder 4. Jh. v. Chr. bis zur 2. Hälfte des 19. Jh. das nach der Bibel weitverbreitetste Buch der Weltliteratur. Euklids Elemente S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

9 Lineare Gleichung Einer der einfachsten Gleichungstypen ist die lineare Gleichung ax = b Dabei sind a,b 2 R gegeben und x 2 R gesucht. Im Fall a 6= 0istdieeindeutige Lösung gegeben durch x = b a. Wie verhält es sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen im Fall a = 0? Finden Sie Argumente, weshalb die Division durch Null nicht sinnvoll definiert werden kann. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

10 Binomische Formeln und quadratische Gleichung Erste binomische Formel (a +b) 2 = a 2 +2ab +b 2 Statt eines Beweises verdeutlichen wir die Aussage geometrisch: S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

11 Zweite binomische Formel (a b) 2 = a 2 2ab +b 2 (a b) 2 +b 2 +2(ab b 2 ) = a 2 () (a b) 2 +2ab b 2 = a 2 () (a b) 2 = a 2 2ab +b 2 S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

12 Dritte binomische Formel (a +b)(a b) = a 2 b 2 Versuchen Sie sich nun an einem Beweis, d. h. multiplizieren Sie aus. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

13 Quadratische Gleichung Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 +bx +c = 0, mit a, b, c 2 R, a 6= 0. Dividiert man beide Seiten durch a erhält man die Normalform x 2 +px +q = 0, wobei p = b a und q = c a zu setzen sind. Assoziiert mit diesen Gleichungen ist die quadratische Funktion f (x) = ax 2 +bx +c, a, b, c 2 R, a 6= 0, deren Nullstellen (Argumente x 0 mit f (x 0 ) = 0) genau die Lösungen der erstgenannten quadratischen Gleichung sind. Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

14 Visualisierung einer Parabel und ihrer Nullstellen Im Fall a = 1 (hier gezeichnet) spricht man von einer Normalparabel. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

15 Satz (p q Formel, Mitternachtsformel) Im Falle D = p2 4 q 0 hat die Gleichung die reellen Lösungen x 2 +px +q = 0 x 1/2 = p 2 ± s p 2 4 q. Für D < 0 gibt es hingegen keine reelle Lösung. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen x 2 +4x 5 = 0und x 2 2x +1 = 0. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

16 Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen Hierbei ist vor allem an folgendes zu denken: Ausklammern von x bzw. einer Potenz x m, Substitutionen der Form t = x m (z. B. t = x 2 bei der biquadratischen Gleichung), Mischformen aus vorgenannten Methoden. Machen Sie sich die Vorgehensweisen an den folgenden Beispielen klar: x 5 2x 4 2x 3 = 0, x 4 +4x 2 5 = 0, x 7 +4x 5 5x 3 = 0. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

17 Parabeln Durch simples Ausmultiplizieren bestätigt man: Satz (Scheitelpunktsdarstellung von Parabeln) Eine Parabel y = ax 2 +bx +c (a 6= 0) kann äquivalent in der Scheitelpunktform y = a(x x S ) 2 +y S mit x S = 2a b und y S = c b2 4a dargestellt werden. Der Punkt (x S,y S ) heißt Scheitelpunkt der Parabel. Die Parabel ist für a > 0 nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

18 Beispiel 1 f (x) = (x 1) 2 4 = x 2 2x +1 4 = x 2 2x 3 S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

19 Beispiel 2 f (x) = (x 1) 2 +4 = x 2 +2x 1+4 = x 2 +2x +3 S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

20 Exkurs: Kegelschnitte Bei der Parabel handelt es sich um einen Kegelschnitt. Weitere Kegelschnitte sind die Ellipse (Spezialfall: Kreis) und die Hyperbel. Bild: Duk/OgreBot (Wikimedia Commons) S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

21 Gärtner-Konstruktion der Ellipse Auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten F 1 und F 2 gleich einer gegebenen Konstante. Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons) Stimmen die Brennpunkte überein, ergibt sich der Kreis als Spezialfall. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

22 Gärtner-Konstruktion der Hyperbel Auf der Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten gleich einer gegebenen Konstante. Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons) Wo finden sich Kegelschnitte in Natur und Umwelt wieder? S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

23 Achsenparallele Kegelschnitte Die Gleichung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (x M,y M ) lautet (x x M ) 2 +(y y M ) 2 = r 2. Liegt der Mittelpunkt im Ursprung ((x M,y M ) = (0,0)), ergibt sich speziell x 2 +y 2 = r 2. Die Gleichungen von Ellipse und Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung, Koordinatenachsen als Hauptachsen und Halbachsen a und b lauten x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 und x 2 a 2 y 2 b 2 = 1. Wählt man als Mittelpunkt (x M,y M ),sosindx und y wieder durch x x M bzw. y y M zu ersetzen. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

24 Polynome und ihre Nullstellen a n, a n 1,..., a 1, a 0... Koeffizienten, a n = 1... normiertes Polynom Motivierende Frage: Kann z. B. man die Nullstellen von p(x) = x 3 5x 2 +5x 1 analytisch bestimmen? S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

25 Exkurs: Der Satz von Vieta Sind x 1,x 2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 +px +q = 0, d. h. die Nullstellen des Polynoms p(x) = x 2 +px +q, solässtsichdas Polynom auch in der Form p(x) = (x x 1 )(x x 2 ) schreiben. Durch Ausmultiplizieren und Vergleichen ergibt sich Satz (von Vieta) Für die Lösungen x 1 und x 2 der quadratischen Gleichung x 2 +px +q = 0 gilt p = (x 1 +x 2 ) und q = x 1 x 2. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

26 Polynomdivision und Linearfaktoren Satz (Polynomdivision) Sind f (x) und g(x) Polynome mit g(x) 6= 0, dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x) mit f (x) = g(x)q(x) +r(x) bzw. f (x) g(x) = q(x) + r(x) g(x). Entweder ist r(x) = 0, d.h. f (x) ist durch g(x) (ohne Rest) teilbar, oder der Grad von r(x) ist kleiner als der Grad von g(x). Satz (Abspaltung von Linearfaktoren) x x 0 ist Linearfaktor des Polynoms p(x) genau dann, wenn x 0 Nullstelle des Polynoms ist. p(x) ist also in diesem Fall ohne Rest durch x x 0 teilbar. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

27 Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung Doch wie gelangt man an Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung? Mitunter hat man bei ganzzahligen Koeffizienten Glück: Satz Besitzt das Polynom p(x) ganzzahlige Koeffizienten, so ist jede ganzzahlige Nullstelle Teiler des Absolutglieds. Beispiel: Das Absolutglied des Polynoms p(x) = x 3 12x 2 +47x 60 ist 60. Als ganzzahlige Nullstellen kommen somit ±1,±2,±3,±4,±5, ±6,±10,±12,±15,±20,±30 und ±60 in Frage. Durch systematisches Probieren erhalten wir x 1 = 3 als Nullstelle, denn = = 0. Wir wissen jetzt also, dass p(x) ohne Rest durch x 3 teilbar ist. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

28 Polynomdivision Die Abspaltung des Linearfaktors erfolgt jetzt per Polynomdivision, analog zum schriftlichen Dividieren von Zahlen: Folglich ist (x 3 12x 2 +47x 60) :(x 3) = x 2 9x +20 x 3 3x 2 9x 2 +47x 9x 2 +27x 20x 60 20x 60 0 p(x) = x 3 12x 2 +47x 60 = (x 3)(x 2 9x +20). S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

29 Die quadratische Gleichung x 2 9x +20 = 0 besitzt die Lösungen s x 2/3 = 9 2 ± ( 9) = 9 2 ± s = 9 2 ± 1 2, d. h. die restlichen beiden Nullstellen sind x 2 = 4undx 2 = 5. Das Polynom p(x) lässt sich faktorisieren gamäß p(x) = (x 3)(x 4)(x 5). Ermitteln Sie auf diese Weise die Lösungen der kubischen Gleichung x 3 5x 2 +5x 1 = 0. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87

30 Wo steckt der Fehler? s µ 2 +2 = = s = s s µ 9 2 = = = s = = µ µ = s 2 = µ s µ µ Folglich ist 4 = 5. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87