Vorkurs Mathematik 2016

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1 Vorkurs Mathematik 2016

2 Vorkurs Mathematik Grad n p(x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 führender Koeffizient Absolutglied a n, a n 1,..., a 1, a 0... Koeffizienten a n = 1... normiertes Polynom Motivierende Frage: Kann z. B. man die Nullstellen von p(x) = x 3 5x 2 +5x 1 analytisch bestimmen? TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

3 Vorkurs Mathematik Doch wie gelangt man an Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung? Mitunter hat man bei ganzzahligen Koeffizienten Glück: Satz 1. Besitzt das normierte Polynom p(x) ganzzahlige Koeffizienten, so ist jede ganzzahlige Nullstelle Teiler des Absolutglieds. Beispiel: Das Absolutglied des Polynoms p(x) = x 3 12x 2 +47x 60 ist 60. Als ganzzahlige Nullstellen kommen somit ±1,±2,±3,±4,±5, ±6,±10,±12,±15,±20,±30 und ±60 in Frage. Durch systematisches Probieren erhalten wir x 1 = 3 als Nullstelle, denn = = 0. Wir wissen jetzt also, dass p(x) ohne Rest durch x 3 teilbar ist. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

4 Motivierendes Beispiel und Warnung: Gesucht sind alle reellen Lösungen der Gleichung x +2 x 2 4 = 1. Nach Multiplikation beider Seiten mit x 2 4 ergibt sich die quadratische Gleichung Die p q Formel liefert x +2 = x 2 4 () x 2 4 x 2 = x 2 x 6 = 0. x 1/2 = 1 2 ± s s = 1 2 ± und damit die beiden Lösungen x 1 = 3 und x 2 = 2. Das ist falsch! Doch wo liegt der Fehler? = 1 2 ± 5 2 TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

5 Ein Plot ist kein Nachweis, aber eine gute Idee! Im Plot sieht man, dass x = 3 die einzige Lösung der Gleichung x+2 x 2 4 = 1 ist. Weiterhin liegt in x = 2 eine Polstelle vor. Das wird auch deutlich, wenn man x 2 4 = (x 2)(x +2) schreibt. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

6 Richtige Lösung Wegen x 2 4 = (x 2)(x +2) ist der Nenner für x = 2 bzw. x = 2 nicht definiert, da sonst durch Null dividiert würde. Für x 6= 2 und x 6= 2 gilt x +2 x 2 4 = x +2 (x +2)(x 2) = 1 x 2 Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung x = 3. = 1 () 1 = x 2 () x = 3. Da für x 6=±2 äquivalent umgeformt wurde, gibt es keine weiteren Lösungen, und die Probe dient lediglich der Prüfung auf Rechenfehler. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

7 Lösen von Gleichungen Eine Gleichung kann immer auch als Nullstellenaufgabe f (x)! = 0 aufgefasst werden. Vorgehensweise: Man bestimme den maximalen Definitionsbereich von f. Durch äquivalentes Umformen vereinfache man die Gleichung so, dass die Lösungen einfach bestimmt/abgelesen werden können. Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun. Äquivalente Umformungen sind: Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null, Division durch eine Zahl ungleich Null, Anwendung von eineindeutigen Funktionen (Begriffe später), sofern alles definiert ist. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

8 Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung x 2 x +1 + x x 1 = 1 + 2x x 2 1 TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

9 Betrag und Betragsgleichungen Definition: x := Ω x, x 0, x, x < 0. Der Betrag x gibt den Abstand des Punkts x von 0 auf der Zahlengeraden an. Der Abstand ist nichtnegativ. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

10 Beträge von Funktionen Beispiel: f (x) = x 1 f (x) = Ω f (x), f (x) 0, f (x), f (x) < 0. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

11 Beispiel: f (x) = x 2 +2x +3 TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

12 Betragsgleichungen Beim Auflösen von Beträgen wird für jeden in der Gleichung vorkommenden Betrag eine Fallunterscheidung notwendig. Die Gleichung x =a, a 2 R, a > 0, hat z. B. die Lösungen x 1 = a und x 2 = a. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

13 Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung 2x 1 =2. Achten Sie dabei auf eine saubere Unterscheidung der Fälle 2x 1 0 und 2x 1 < 0. Stellen Sie die Situation auch geometrisch dar. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

14 WO STECKT DER FEHLER? Sei a = b. a = b (1) a 2 = ab (2) a 2 b 2 = ab b 2 (3) (a +b)(a b) = b(a b) (4) a +b = b (5) a = 0 (6) Folglich ist a = b = 0. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

15 Äquivalentes Umformen von Ungleichungen Wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiert oder subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht. Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer positiven reellen Zahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich das Relationszeichen nicht. Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen reellen Zahl mulipliziert (oder dividiert), so kehrt sich das Relationszeichen um. Bestimmen Sie alle Lösungen der Ungleichung 4x +3 < x 2. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

16 Quadratische Ungleichungen ax 2 +bx +c > 0, a, b, c 2 R, a 6= 0, andere Fälle analog. Überführen in Normalform mittels Division durch a (Vorzeichen von a beachten!) x 2 +px +q > 0 1. y = x 2 +px +q ist eine nach oben geöffnete Parabel. 2. Es gibt zwei, eine oder keine Nullstelle. 3. Die Nullstellen trennen Bereiche mit unterschiedlichen Vorzeichen. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

17 Betragsungleichungen Wie bei den Betragsgleichungen ist bei der Auflösung jedes vorkommenden Betrags eine Fallunterscheidung durchzuführen. Bestimmen Sie alle x 2 R, für die gilt: 2x < x 1. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

18 Definition 2. Seien A und B Mengen. Eine Funktion f : A! B ist eine Vorschrift, durch die jedem x 2 A genau ein y = f (x) 2 B zugeordnet wird. A heißt Definitionsbereich von f, B heißt Zielmenge von f, und f (A) := {f (x) :x 2 A} µ B heißt Wertebereich oder Bild von f. Zu einer gegebenen Menge A 0 µ A heißt f (A 0 ) := {f (x):x 2 A 0 } µ B das Bild von A 0 unter f. Zu einer gegebenen Menge B 0 µ B heißt das Urbild von B 0 unter f. f 1 (B 0 ) := {x 2 A : f (x) 2 B 0 } TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

19 Definition 3. Eine Funktion f : A!B heißt injektiv (eineindeutig), wenn für alle x 1,x 2 2 A mit x 1 6= x 2 stets f (x 1 ) 6= f (x 2 ) gilt, surjektiv, wenn es zu jedem y 2 B ein x 2 A gibt mit y = f (x), bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Ist f bijektiv, so existiert die Umkehrfunktion f 1 : B!A, f 1 (y) = x :, y = f (x). TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

20 Der Graph der Umkehrfunktion f 1 ergibt sich aus dem Graphen der Funktion f durch Spiegeln an der Geraden y = x. y = f (x) () f 1 (y) = f 1 (f (x)) = x TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

21 Die gezeigten Wurzelfunktionen x 7! p x und x 7! 3p x sind die Umkehrfunktionen von f (x) = x 2 und f (x) = x 3 mit den nichtnegativen Zahlen als Definitionsbereich. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

22 Definition 4 (Wurzel). Die n-te Wurzel, n 2 N, aus einer reellen Zahl a 0, ist diejenige nichtnegative reelle Zahl b, für die b n = a gilt. Man schreibt b = np a. Die n-te Wurzel bzw. die Wurzelfunktion f (x) = np x ist nur für nichtnegative x 0 definiert. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

23 Wurzel und Quadrat Für beliebige reellen Zahlen x gilt Somit hat die Gleichung p x 2 = x. p x 2 = a im Fall a < 0 keine reelle Lösung, p q q x 2 = ( x) 2 = x 2 und somit im Fall a 0 zwei reelle Lösungen, nämlich x = a und x = a. Achtung: Die Lösung x = a im zweiten Fall wird häufig vergessen! TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

24 WO STECKT DER FEHLER? p Man bestimme alle Lösungen von 8x 2 4 2x = 0. p 8x 2 4 2x = 0 (7) p 8x 2 4 = 2x (8) Folglich sind 1 und 1 Lösungen der Gleichung 8x 2 4 = 4x 2 (9) 4x 2 = 4 (10) x 2 = 1 (11) p 7x 2 3 2x = 0. Art des Fehlers: (A) beide Lösungen sind falsch, (B) x = 1 ist keine Lösung, (C) x = 1 ist keine Lösung, (D) es gibt keine Lösungen. Quadrieren ist kein äquivalentes Umformen! TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik

25 WO STECKT DER FEHLER? p Man bestimme alle Lösungen von 8x 2 4 2x = 0. p 8x 2 4 2x = 0 (7) p 8x 2 4 = 2x (8) Folglich sind 1 und 1 Lösungen der Gleichung 8x 2 4 = 4x 2 (9) 4x 2 = 4 (10) x 2 = 1 (11) p 7x 2 3 2x = 0. Art des Fehlers: (A) beide Lösungen sind falsch, (B) x = 1 ist keine Lösung, (C) x = 1 ist keine Lösung, (D) es gibt keine Lösungen. Quadrieren ist kein äquivalentes Umformen! TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik