Quadratische Gleichungen

Transkript

1 Quadratische Gleichungen 1/10 Quadratische Gleichungen Teil 2 Die Aufgaben in diesem beziehen sich auf Quadratische Gleichungen Teil I Grundlagen. Sie können nach Durcharbeiten dieses Skriptums beantwortet werden. Die Antworten und Ergebnisses können in den Lösungen zu den Aufgaben überprüft werden. Dazu ist bei jeder Aufgabe eine Nummer angegeben, die der Nummer bei den Lösungen entspricht. Versuche nie, die richtige Antwort zu erraten. Durchdenke jedes Problem sorgfältig, bevor du eine Antwort gibst. Bei einer falschen Antwort sieh im Skriptum nach. Grundsätzlich sind die Aufgaben im Selbststudium zu lösen. Das ist in drei Kapitel gegliedert Grundlegende Fragestellungen Rechenbeispiele Anwendungsaufgaben LÖSUNGEN Da quadratische Gleichungen in weiterer Folge mit Hilfe von CAS-Systemen gelöst werden können, wird der Schwerpunkt auf das Verständnis und einem sicheren Umgang von Aufgaben mit mittlerem Schwierigkeitsgrad gelegt. Die einzelnen Kapitel sollen nicht übersprungen werden, sondern nach Möglichkeit in ihrer Reihenfolge durchgearbeitet werden.

2 Quadratische Gleichungen 2/10 I. Grundlegende Fragestellungen 1-1 Wodurch unterscheiden sich rein-quadratische von gemischt-quadratischen Gleichungen 1-2 Warum darf der Koeffizient a bei ax 2 + bx + c = 0 nicht Null sein? 1-3 Warum setzt man für b a = p und für c a = q? 1-4 Welchen Vorteil hat die Normalform der quadratischen Gleichung gegenüber der allgemeinen Form? 1-5 Womit muss der Term x 2 + px ergänzt werden, damit das Quadrat eines Binoms entsteht? 1-6 Rechne den Term x 2 + px + quadratische Ergänzung aus und gib die Lösungsformel an. 1-7 Warum hat die Lösungsformel ± vor der Wurzel staehen? 1-8 Beweise grafisch anhand einer Skizze die kleine Lösungsformel. 1-9 Welche zwei Möglichkeiten gibt es zur Lösung von quadratischen Gleichungen in Normalform Wie kann man von der kleinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen zur großen Lösungsformel kommen? 1-11 Kreuze an, bei welcher Form von quadratischen Gleichungen die große Lösungsformel verwendet werden kann. x 2 + px + q = 0 ax 2 + bx + c = 0

3 Quadratische Gleichungen 3/ Welche möglichen Lösungsfälle für quadratische Gleichungen gibt es? 1-13 Was versteht man unter einer Doppellösung? 1-14 Wann gibt es in R keine Lösung für eine quadratische Gleichung? 1-15 Welche Beziehungen bestehen zwischen den Lösungen x 1 und x 2 und den Koeffizienten p und q? Schreib sie an Was versteht man unter der Diskriminante einer quadratischen Gleichung? Schreib sie an Wie kann man mit Hilfe der Diskriminante feststellen, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung in Normalform ab? 1-18 Welche Probleme kann man mit der Satzgruppe des Vieta lösen? 1-19 Was versteht man unter den Linearfaktoren einer quadratischen Gleichung?

4 Quadratische Gleichungen 4/10 II Rechenbeispiele 2-1 Lösen Sie die folgende Gleichung: 3x 2 5 = Lösen Sie die folgende Gleichung: x 2 2x = Lösen Sie die folgende Gleichung durch Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat: x 2 x 6 = Lösen Sie die folgende Gleichung durch Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat: z 2 4z + 4 = Lösen Sie die folgende Gleichung: x 2 2x 8 = Lösen Sie die folgende Gleichung: 3u 2 7u 6 = Lösen Sie die folgende Gleichung: 4x 2 4x + 1 = Lösen Sie die folgende Gleichung: w 2 + 5w 3 = Lösen Sie die folgende Gleichung: s 2 + 5s + 7 = Lösen Sie die folgende Gleichung: 4x 2 + x + 1 = Finden Sie heraus, ob das Polynom x 2 + x 20 als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden kann. Falls ja, finden sie diese Faktoren!

5 Quadratische Gleichungen 5/ Finden Sie heraus, ob das Polynom x 2 + x + 20 als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden kann. Falls ja, finden sie diese Faktoren! 2-13 Finden Sie heraus, ob das Polynom x 2 + x + 1 als Produkt von Linearfaktoren geschrieben 4 werden kann. Falls ja, finden sie diese Faktoren! 2-14 Finden Sie heraus, ob das Polynom x 2 x 7 als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden kann. Falls ja, finden sie diese Faktoren! 2-15 Lösen sie die Gleichung x 2 3x + 2 = 0 im Kopf unter Zuhilfenahme des Satzes von Vieta Lösen sie die folgende Gleichung: x 4 7x = 0 Es macht wenig Sinn, möglichst viele Aufgaben zu rechnen. Besser ist es, bei Verständnisproblemen das Skriptum nochmals sorgfältig durchzuarbeiten und bei jenen Beispielen, bei denen Schwierigkeiten aufgetaucht sind, nach Fehlerursachen zu suchen. Mathematik ist die Kunst, sich das Rechnen zu ersparen nicht das Denken und Verstehen.

6 Quadratische Gleichungen 6/10 III Anwendungsaufgaben Anhalteweg Den Anhalteweg kann man mit einer Faustformel berechnen. (Methode zur schnellen Ermittlung eines mathematischen oder technischen Wertes, ohne präzise technische Berechnungen durchzuführen) s A = v v 10 v s A Geschwindigkeit beim Erkennen des Hindernisses in km/h Anhalteweg in m 3-1 Forme die Faustformel so um, dass du eine quadratische Gleichung in Normalform erhältst. 3-2 Bei welcher Geschwindigkeit ergibt sich ein Anhalteweg von 88 m? 3-3 Bei welcher Geschwindigkeit ergibt sich ein Anhalteweg von 100 m? Runden Sie das Ergebnis sinnvoll. 3-4 In einer Klasse verabschieden sich die Schüler voneinander. Insgesamt gibt es 190 Verabschiedungen. Berechne die Anzahl der Schüler in dieser Klasse. 3-5 Nach einer Feier werden zur Verabschiedung 45-mal die Hände geschüttelt. a) Berechnen Sie, wie viele Personen bei der Feier waren, wenn sich jeder von jedem verabschiedet hat. b) Stimmt die Aussage: Bei doppelt so vielen Personen werden 90-Emal die Hände geschüttelt? Begründen Sie die Aussage. 3-6 Das Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist um 100 größer als die kleinere Zahl. Berechnen Sie die gesuchten Zahlen.

7 Quadratische Gleichungen 7/ Von zwei Zahlen ist eine um 2 größer als die andere. Das Produkt ist drei. a) Berechnen Sie die gesuchten Zahlen. b) Auf welchen Wert muss man das Produkt ändern, damit es genau eine Lösung gibt? c) Erklären Sie, was passiert, wenn das Produkt auf den Wert (-2) geändert wird? 3-8 Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 7,5 cm lang. Die Summe der beiden Kathetenlängen beträgt 10,5 cm. Berechnen Sie die Längen der beiden Katheten.

8 Quadratische Gleichungen 8/10 IV Lösungen I. Grundlegende Fragestellungen 1-1 Neben x 2 steht auch noch x in der Gleichung. 1-2 Ist a = 0, ist auch ax 2 = 0 und damit keine quadratische Gleichung. 1-3 p und q verwendet man, um die Gleichung einfacher handhaben zu können. 1-4 Der Koeffizient von x 2 hat den Wert Mit ( p 2 )2 1-6 x 2 + px + ( p 2 )2 = 0 x 1,2 = p 2 ± (p 2 )2 q 1-7 Da die Wurzel 2 Lösungen hat. 1-8 (x + p 2 )2 = x 2 + px +( p 2 )2 1-9 Quadratische Ergänzung und kleine Lösungsformel 1-10 p = b a q = c a in kleine Lösungsformeleinsetzen und ausrechnen 1-11 x 2 + px + q = 0 ax 2 + bx + c = D > 0 [2 Lösungen], D = 0 [Doppellösung], D < 0 [keine Lösung] für D = ( p 2 )2 q 1-13 Die beiden Lösungen haben denselben Wert Wenn der Wert unter der Wurzel negativ ist x 1 + x 2 = p x 1 x 2 = q 1-16 Die Diskriminante ist der Wert unter der Wurzel D = = ( p 2 )2 q 1-17 D > 0 [2 Lösungen] D = 0 [Doppellösung] D < 0 [keine Lösung in R] 1-18 Zerlegen der quadratischen Gleichung in Linearfaktoren Zweite Lösung berechnen Finden der Gleichung bei gegebenen Lösungen 1-19 Binome, die miteinander multipliziert die quadratische Gleichung ergeben.

9 Quadratische Gleichungen 9/10 II Rechenbeispiele 2-1 L = { 5 3, 5 3 } 2-2 L = { 0, 2 } 2-3 L = { 2, 3 } 2-4 L = { 2 } 2-5 L = { 2, 4 } 2-6 L = { 2, 3 } L = { 1 2 } 2-8 L = { L = { } 2-10 L = { , }, x 2 + x 20 = 0 (x + 5)(x 4) 2-12 Das Polynom lässt sich nicht faktorisieren. } 2-13 x 2 + x = (x ) x 2 x 7 = (x ) (x ) 2-15 Die Summe der Lösungen muss 3 sein, ihr Produkt 2. Die Lösungen sind 1 und L = { 2, 3, 3, 2 ) 2

10 Quadratische Gleichungen 10/10 III Anwendungsaufgaben 3-1 v v 100s = v = 80 km/h 3-3 v = 86 km/h 3-4 x Anzahl der Schüler x 1 Anzahl der Mitschüler x(x 1) mögliche Verabschiedungen jeder verabschiedet sich nur einmal, daher x =20 x(x 1) 2 = a) 10 Personen b) nein, es sind weniger Personen 3-6 x(x+1) = x x = a) x1 = 3. x2 = 1 b) x(x+2) = 1 eine Lösung c) x(x+2) = -2 keine Lösung 3-8 x1 + x2 = 10,5 x2 = 10,5 x1 Pythag. LS x12 + x22 = 7,52 x12 + (10,5 x1)2 = 7,52 x1 = 4,5 cm x2 = 6 cm