Wöchentliche Aufgabe zur Vorbereitung des Vortrags Zahlen / Algebra. Feedback zur 3. wöchentlichen Aufgabe (Zahlen und Algebra)

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1 Wöchentliche Aufgabe zur Vorbereitung des Vortrags Zahlen / Algebra Auf der Seite werden zwei Herangehensweisen an das Umrechnen von Basen bei Logarithmen dargestellt. Stellen Sie eine Liste der für den zweiten Ansatz benötigten Definitionen und Rechengesetze auf. Überlegen Sie sich (und tragen Sie es in die Liste ein) in welcher Reihenfolge diese Definitionen und Rechengesetze sinnvollerweise unterrichtet werden können. Feedback zur 3. wöchentlichen Aufgabe (Zahlen und Algebra) Wir haben Eure Antworten so angeordnet, dass zuerst die zwei Top-Antworten kommen, die ihr Euch anschauen solltet; sie sind beide sehr ausführlich. Im letzten Beitrag ist sehr schön aufgeführt, wie man im zweiten Ansatz von Schritt 1 zu Schritt 2 und Schritt 3 kommt. Beitrag 1 Notwendig sind beim 2. Ansatz folgende Rechengesetze und Definitionen: 1. Voraussetzung um mit Logarithmen umgehen zu können ist, dass sie in Beziehung zu den Potenzen stehen. Dazu benötigt man die Definition des Logarithmus: log a (b) ( a > 0 ; a 1 ; b > 0) ist diejenige reelle Zahl c, für die a ^ c = b gilt. log a (b) = c gdw a ^ c = b Im Unterricht sollte auf jeden Fall zuerst mit der Definition begonnen werden. Die Sch. müssen den Zusammenhang zwischen den Potenzen und der neuen Schreibweise der Logarithmen verstehen und anwenden können. Hierbei wird erst mit Logarithmen zur Basis 10 angefangen. 2. Man muss wissen, was es für Logarithmen gibt und deren einfachere Schreibweise kennen. log e (x) = ln x natürliche Logarithmen mit der Basis e log 10 (x) = lg x dekadische Logarithmen mit der Basis 10 Der nächste Schritt sollte darin bestehen, den Sch. klarzumachen, dass es Logarithmen mit verschiedener Basis gibt. Nach log 10 (x) sollte auch erwähnt werden, dass es Logarithmen zur Basis e gibt. Dies ist später bei der Zeichnung wichtig, da ln x die Umkehrfunktion zu lg x ist. Die kürzere Schreibweise ist einzuführen.

2 3. Man muss wissen, dass man durch beidseitiges logarithmieren, die Hochzahlen runterholen kann. Dabei muss die Basis gleich sein. Hier wird mit einem natürlichen Logarithmus multipliziert. ln 2 ^ log 2 (x) = ln x log 2 (x) * ln 2 = ln x Wenn die Sch. das umrechnen beherrschen, sollte man wichtige Rechengesetze bei Log. einführen. Auch, wie man in eine unterschiedliche Basis umrechnet. 4. Durch normale Termumformung erhält man log 2 (x) = ln x / ln 2 indem man durch ln 2 teilt. Dies beinhaltet ein weiteres Umformungsgesetz mit Basis e: log a (b) = ln b / ln a Die Termumformung muss denn Sch. bereits bekannt sein. Hier haben wir nichts hinzuzufügen. Beitrag 2 Zunächst muss der Logarithmusbegriff eingeführt werden: Nämlich wenn gilt b x = y, so ist log b y = x, mit b...basis, x...exponent, y...potenz Aus dieser Definition folgt logischerweise: Es gilt b log b y = y, da nach der Definition des Logarithmus log b y = x und b x = y Anschließend bietet es sich an, die drei Logarithmusgesetze durchzunehmen; Das erste wird für das Verständnis des Dritten benötigt, das zweite könnte man in diesem Zusammenhang auch weglassen, der Vollständigkeit halber würde ich es aber in diesem Zusammenhang mit einführen, da es später auf jeden Fall noch benötigt wird. 1. log b (u*v) = log b u + log b v 2. log b (u/v) = log b u - log b v 3. log b u n = n*log b u, da x = u n log b u n = log b (u * u * u * * u) = log b u + log b u + log b u log b u = n*log b u

3 Nun müssen die Schüler noch wissen, dass Logarithmen zum Gleichungslösen benutzt werden können; eine Gleichung ändert sich also nicht, wenn man auf beiden Seiten logarithmiert. Hierzu wird der Zehnerlogarithmus oder der natürliche Logarithmus benutzt. Zum Beispiel: x = a * b / ln Ln x = ln (a*b) Ln x = lna + lnb Ist dies alles bekannt, so müssten die Schüler den zweiten Ansatz verstehen. Auch hier haben wir nichts hinzuzufügen. Beitrag 3 2. Ansatz: 2 log 2 (x) = x (1) log 2 (x) * ln (2) = ln (x) (2) aus (2) folgt: log 2 (x) = ln (x) / ln (2) Definitionen/ Einführung im Unterricht 1. Einführen einer neuen Rechenart: Definition des Logarithmus, damit Schüler sich unter dem nicht allzu gebräuchlichen Namen etwas vorstellen können. 2. Für was braucht man den Logarithmus? Um Gleichung nach einer Hochzahl aufzulösen. 3. Verschiedene Logarithmen: Natürlicher Log.: ln x Basis e (Eulersche Zahl) Dekadischer Log. Lg x Basis 10 (log 10 x) 4. Eigenschaften der Logarithmen; von Funktionsgraphen, theoretischen Bezeichnungen oder von Exponentialfunktion (Umkehrfunktion des Log.) Berechnung mit leicht zu berechnenden Zahlen; konkrete Lösung. 5. Rechenregeln/ Gesetze: 1. Logarithmengesetz: log a (u*v) = log a u + log a v log a (u / v ) = log a u log a v 2. Logarithmengesetz: log a x n = n* log a x 6. Anwendung der Gesetze

4 Guter Ansatz zum Unterrichten an der Schule, doch leider können wir keine konkrete Liste von Definitionen und Rechengesetzen erkennen, die für den zweiten Ansatz nötig sind. Beitrag 4 Benötigte Definitionen und Rechengesetze Liste: 1. Begriffserklärung: Logarithmus log a r Jede positive Zahl r >0 ist als Potenz einer beliebigen Basis a >0, a 1 in der Form r = a x darstellbar. Die eindeutig bestimmte Lösung x der Gleichung r = a x heißt Logarithmus von r zur Basis a. Die symbolische Schreibweise hierzu lautet: x = log a r wobei r: Numerus (r >0) und a: Basis (a >0, a 1) 2. Anmerkungen Logarithmen können nur von positiven Zahlen gebildet werden und sind noch von der Basis abhängig. Für jede zulässige Basis a gilt: log a a = 1 log a 1 = 0 log a (a x ) = x für a >0, a 1 und x Element R a log a x = x für a >0 a 1 und x >0 3. Rechenregeln für Logarithmen (1) log a (u*v) = log a u + log a v (2) log a (u/v) = log a u - log a v (3) log a (u v ) = k* log a u (4) log a n u = (1/n) * log a u 4. Umgang mit Logarithmus Den Schülern muss klargemacht werden, dass sich eine Gleichung nicht ändert, wenn man auf beiden Seiten logarithmiert. Sie lernen, die Rechenregeln anzuwenden. Es sind zwar alle Definitionen und Rechengesetze vorhanden, doch erkennen wir nicht, wie wir sie in der Liste für den zweiten Ansatz einordnen sollen.

5 Beitrag 5 Liste der für den zweiten Ansatz benötigten Definitionen und Rechenregeln: (Schreibweise entspricht der Maple-Notation) Definitionen: 1) log[a](u)=x (für: a, u > 0; a ungleich 1) 2) a^log[a](x)=x (für: a > 0; a ungleich 1) Rechengesetz: 3) log[a](u^k)=k*log[a](u) (für: a, u > 0; a ungleich 1; k = {1,2,3, } Aus der allgemeinen Logarithmus-Definition, die am Anfang der Unterrichtseinheit stehen wird, leitet sich die zweite Definition sofort ab. Anschließend wird man zu den Rechengesetzen übergehen. Der erste Schritt des zweiten Ansatzes ist erklärt, doch welche Definitionen und Rechengesetze für den zweiten und dritten Schritt nötig sind, fehlen. Die Reihenfolge, wie Du es in der Schule unterrichten würdest ist klar, doch wenig umfangreich beschrieben. Beitrag 6 Notwendige Definitionen: a^x = b x = log a (b) log a (b) = lg b/lg a Die erste Definition muss vor der zweiten kommen, weil sie zeigt, wofür man den Logarithmus eigentlich braucht, nämlich für die Berechnung von x, wenn das x im Exponenten vorkommt. Der Logarithmus kann auch im Exponenten stehen, wie man darauf bei dem Beispiel kommt, ist mir jedoch leider nicht klar! (Auf dem Gymnasium ging es immer nur um das Ableiten von e und ln, weil man nur dies für die Abiturprüfung benötigte!) Warum ich a=2 und b=e setzen muss, ist mir auch nicht klar, aber Logarithmen zur Basis e sind natürliche Logarithmen und welche zur Basis 10 sind gewöhnliche oder Zehner- logarithmen. Schau Dir einfach die ersten beiden Lösungen an, dann wird es Dir klar. Sie sind sehr gut erklärt. Beitrag 7 2. Ansatz: log 2 (x) = ln(x)/ln(2)

6 log 2 (x) * ln(2) = ln(x) Liste für Definitionen und Rechengesetze: 1. log 10 (x) = a 10 a = x 2. log a 1 = 0 log a a = 1 3. log a a n = n 4. log a (b) = log c (b)/log c (a) Kaum zu erkennen, wie die Definitionen und Rechengesetze in die Liste des zweiten Ansatzes einzureihen sind. Auch wird nicht klar, wie Du es unterrichten würdest. Schau Dir einfach die ersten beiden Lösungen an; sie sind sehr gut erklärt. Beitrag 8 b x = c ( b 3 + c 3 + ) Berechnung des Exponenten: - x = log b c ( b 3 + / 1 ) I - ln a b = b ln a II 2 log 2 (x) = x ln Nr.: aus II folgt: ln 2 log 2 (x) = log 2 (x) ln 2 log 2 (x) ln 2 = ln x : ln 2 log 2 (x) = ln (x)/ln 2 Sehr gut erkennbar, wie man im zweiten Ansatz von Schritt 1 zu Schritt 2 und Schritt 3 kommt. Doch leider eine unvollständige Liste von Definitionen und Rechengesetzen. Auch nicht erkennbar, wie Du es unterrichten würdest.