Jemand legt 1000 Fr. auf sein Sparkonto, wo es jährlich zu 0.5% verzinst wird. Nach wie vielen Jahren hat es mindestens 1500 Fr. auf dem Sparkonto?

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Lars Straub
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1 Logarithmieren.1 Ziele Logarithmen in verschiedenen Logarithmensysteme können erechnet werden Grundlegenden Eigenschaften der Logarithmen und die Logarithmengesetze können in Beispielen angewendet werden. Logarithmen können in andere Basen umgerechnet werden.. Einführung Jemand legt 1000 Fr. auf sein Sparkonto, wo es jährlich zu 0.% verzinst wird. Nach wie vielen Jahren hat es mindestens 100 Fr. auf dem Sparkonto? Folgendes Prolem muss also gelöst werden: Durch Proieren findet man nach einiger Zeit heraus:. Der Logarithmus Das Logarithmieren ist eine weitere Art, Gleichungen der Form = y zu etrachten. Bis jetzt können wir entweder den Numerus y oder die Basis erechnen, nämlich y = resp. = y. Doch wie findet man den Eponenten heraus, wenn und y gegeen sind? Der Logarithmus von y zur Basis wird üer folgende Äquivalenzeziehung (äquivalent = gleichwertig) festgelegt: = = y ( für > 0, 1, y > 0) : Logarithmus ( = Eponent!) : Basis y: Numerus = weil = Erste Beispiele: eil = w = eil 6 = w = = weil = = weil =

2 . Berechnen von Logarithmen 1. Vervollständige gemäss den Beispielen a) und ) a) ( ) =? ) 10 ( 1'000 ) =? c) ( 10 ) = denn d) ( 6 ) = denn e) 0. ( 0.07 ) = denn f) ( 81 ) = denn g) Ë81 h) 1 Ë81 i) 1 denn denn 81 = denn j) 7 ( 1 ) = denn k) ( ) = denn l) 7 m) 1 - = denn 1 = denn? = Æ? 10 1'000 = Æ = denn 10 = 1'000 = denn 10 = 1'000 n) ( 1) = denn. Vereinfache: = ) n ˆ= 7 Ën 10 a) c) Ë d) n = e) ( 10) = f) ( k ) 9 = Rege: = ( c) = 8

3 . Spezielle Logarithmen In der Wissenschaft, Physik und Informatik kommen zwei spezielle Basenwerte häufig vor: Logarithmen zur Basis 10 und e ( Euler'sche Zahl e ª.7188 ). Daher hat sich für diese Logarithmen eine spezielle Schreiweise eingeürgert...1 Zehnerarithmen () Die Logarithmen zur Basis 10 heissen Zehnerarithmen. Sie werden agekürzt mit (ohne Angae der Basis 10). Häufig verwendet man als Akürzung auch lg. = lg = 10 Rechner: LOG Es gilt folgendes: Beispiele: ( 1'000) = ( 100 ) = ( 10 ) = 1 ( 1 ) = 0 ( 0.1 ) = -1 ( 0.01 ) = - ( 00) = ( 0) = = ( 0.) = ( 0.0) = Natürliche Logarithmen (Logarithmus naturalis) () Die Logarithmen zur Basis e (Euler'sche Zahl e ª.7188 heissen natürliche Logarithmen. Sie werden agekürzt mit. Der spezielle Basiswert e spielt in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle (radioaktive Zerfälle, etc ) Es gilt folgendes: Beispiele: a) ( e ) = 1 = e Rechner: LN ) ˆ=- Ëe c) ( e ) Ê ˆ = e = Ë 9

4 Aufgaen 1. Vereinfache die Logarithmen ohne Verwendung des TR:. e = a) ) 0 Ë 1000 c) Ë16. Löse folgende Gleichungen: a) 10 = 00 Lösung: ª.0 ) e - = Lösung: ª-. c) 1-10 = 0 Lösung: ª 0.8 0

5 .6 Grundlegende Eigenschaften 1. ( ) = 1 denn 1 = Bsp.: ( 8) = 1 8. ( 1) = 0 denn 0 = 1 Bsp.: 8 1 = 0 n. ( ) = n denn n n = Bsp.: 7 7 =. ( c) n ( c) n = c denn mit ( c) = n = c fi = = c Bsp.: =.7 Logarithmengesetze 1. Logarithmus eines Produktes ( u v) = ( u) + ( v) 816 = = = 100 = = =.699 = =. Logarithmus eines Quotienten Ê u - Ëv ( u) ( v) Ê1 speziell: ˆ=- Ëv v Ê18 ˆ= ( 18) - ( 8) = 8 Ë ˆ=- =- Ë. Logarithmus einer Potenz r ( u ) = r ( u) = = a Ê ˆ = a = ( a) Ë Bemerkung: Es eistieren keine Logarithmengesetze für a ( + y) zw. a ( y) -! 1

6 Beispiele å ç é è Zerlegen von Logarithmen: Ê a ˆ = ( ( a) -( c) ) = ( a) -( + ( c) ) Ë c = a - - c Zerlegen von Logarithmen: Êa + aˆ Ê a ( a+ 1) ˆ Ê a ˆ = = = - -1 a 1 ( a 1)( a 1) Ë - Ë + - Ëa-1 Zusammenfassen von Logarithmen: Ê ˆ - = ( )- ( y ) = Ë y ( a) ( a ) Zusammenfassen von Logarithmen: Ê16n ˆ ( n) - ( n+ 1) = ( ( n) )- ( n+ 1) = ( 16n )- ( n+ 1) = Ë n+ 1 Aufgaen 1. Schreie die Terme um unter Verwendung der Logarithmengesetze so um, dass in den Logarithmenausdrücken keine Potenzen, Wurze oder Brüche mehr vorkommen. a) ÊÊa ˆ ˆ = Ë c Ë ) Ë Ê a ˆ= c. Fasse die Logarithmenterme zu einem einzigen Logarithmusterm zusammen. a) ( 60) - ( 6) = ) ( y ) + = = c) ( a) ( c)

7 .8 Basiswechsel Im Kapitel. (Spezielle Logarithmen) auf Seite 9 wurde kurz hingewiesen, wie man mit dem Taschenrechner Zehnerarithmen (LOG oder LG) oder natürliche Logarithmen (LN) erechnet. Doch wie erechnet man einen Logarithmus zu einer Basis, für welche man auf dem Taschenrechner keine Taste esitzt, z.b. 7 7? Wir müssen das Prolem auf ein ereits ekanntes und lösares Prolem zurückführen. Wir gehen daei auf die Definition des Logarithmus zurück: = Definition umwande a a = eide Seiten arithmieren ( a ) = Logarithmus einer Potenz umwande ( a) a = nach auflösen = Im zweiten Schritt kommt es nicht darauf auf, mit welchem Logarithmus man arithmiert (solange man auf eiden Seiten gleich arithmiert, ist alles ok). Wir hätten auch den Zehnerarithmus nehmen können. Umrechnung: = = allgemein: y = k k Oiges Beispiel: = 7 7 = ª ª = 7( 7) = ª ª Besitzer des Voyage00 oder NSpire haen es ein isschen einfacher. Die Umrechnungsformel wurde in die Logarithmusfunktion mit optionalem zweitem Argument integriert, d.h. 7,7 = 7 ª.0 7

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