15 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra

Transkript

1 Ma th ef it Wir verwenden hier wxmaxima und Maxima Es ist möglich, Teile dieses Kapitels bereits früher bei den entsprechenden Buchabschnitten zu verwenden. Einen ausgezeichneten Online-Lehrgang findet man unter daten/maxima/ index.htm 15 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra Sara kommt aufgeregt zu Tom: Tom, schau, unser Computer kann rechnen! Na und, das kann er schon lange, z. B. mit dem Rechner oder mit Excel, antwortet Tom. Aber er kann auch mit Buchstaben rechnen! Gibt s nicht. Gibt s schon. Ungläubig geht Tom zum Computer und Sara tippt (3 a 2 b) 2 ein, drückt auf Vereinfachen Ausdruck vereinfachen und am Bildschirm steht 4b2 12ab + 9a2. Tom ist begeistert: Woher hast du das Programm? Aus dem Internet. Das muss aber ganz schön teuer sein. Nein, es ist gratis! Tom probiert nun verschiedene Aufgaben aus mir, deinem Mathebuch, aus. In diesem Kapitel erfährst du 1. wie du zu wxmaxima kommst, 2. wie du damit rechnen kannst, 3. wie du Gleichungen lösen kannst, 4. wie du Gleichungssysteme lösen kannst, 5. wie du die Graphen von Funktionen damit zeichnen kannst 6. und noch vieles mehr Installation wxmaxima kann gemeinsam mit Maxima von heruntergeladen werden. Dazu gibst du in der Suchleiste zuerst Maxima ein und suchst dann in der Liste Maxima. Du drückst download und wählst jeweils die neueste Windows-Version (solltest du einen Mac verwenden, dann natürlich die). Nachdem du das Programm

2 15.2 Rechnen mit wxmaxima 301 herunter geladen hast, installierst du Maxima (samt wxmaxima) durch zweimaliges Anklicken des heruntergeladenen Files (du musst dabei als Administrator angemeldet sein). Alle Fragen und Vorschläge bestätigst du dabei (solltest du wenig Festplattenspeicherplatz haben, kannst du z. B. auf Brasilianisch oder Portugiesisch verzichten; auch xmaxima brauchst du nicht). Und das war es auch schon. Starte nun wxmaxima durch zweimaliges Anklicken des Symbols am Desktop als Administrator. Sollte deine Firewall aufschreien, erkläre, dass wxmaxima ok ist. Anschließend beende das Programm, wobei du logisch nicht speicherst. Nun kannst du den Administratorstatus verlassen, sofern du um es Viren und anderen Ungeziefern schwerer zu machen normalerweise unter einem Benutzernamen mit weniger Rechten arbeitest Rechnen mit wxmaxima Beginnen wir mit der Standardaufgabe, mit der man kontrollieren kann, ob ein Taschenrechner Punkt- vor Strichrechnung beherrscht: Dazu öffnest du wxmaxima durch zweimaliges Anklicken des entsprechenden Symbols. Nun trägst du 1+2*3 ein und drückst danach Strg und Enter. In der nächsten Zeile steht dann 7. wxmaxima rechnet also richtig, wobei du als Multiplikationszeichen verwenden musst und als Divisionszeichen / (siehe Abbildung auf der nächsten Seite). Zu Beginn der ersten Eingabezeile steht (%i1) (das i steht für input) und zu Beginn der ersten Ergebniszeile (%o1) (o für output). Der Strichpunkt schließt eine Eingabezeile ab; du brauchst ihn aber nicht schreiben, das macht wxmaxima für dich.

3 15 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra Ma th ef it 302 Du kannst nun mit dem Ergebnis weiter rechnen, in dem du in die nächste Zeile, die du durch Klicken mit der Maus erhältst, % und den nächsten Rechenteil eingibst, z. B. %/3. Das Ergebnis ist 73. Möchtest du dies in Dezimalschreibweise umwandeln, wählst du in der oberen Zeile Numerisch und dort To Float. Du siehst, wxmaxima verwendet als amerikanisches Programm einen Dezimalpunkt und keinen Dezimalstrich. Willst du als Nächstes rechnen, musst du nur in die nächste Eingabezeile %o2 5/2 eingeben und du erhältst 16. wxmaxima kann also mit Bruchzahlen rechnen. Potenzieren erfolgt mit und Wurzelziehen durch sqrt (das kommt von squareroot ). Möchtest du also 23 4 rechnen, gibst du 2 3 -sqrt(4) ein und erhältst 6. Auch Klammerausdrücke wie z. B. ( 2)*(4 ( 3)*(+4)) versteht wxmaxima, wobei du allerdings nur runde Klammern verwenden darfst. Auch die dabei auftretenden negativen Zahlen bedeuten keine Schwierigkeit. Auch das Rechnen mit Variablen geschieht so, wie du es gewohnt bist mit einer Ausnahme: Du musst immer den Multiplikationsstern setzen, also nicht 2a schreiben sondern 2 a. Für die Probe kannst du den Variablen entsprechende Werte durch = zuordnen. So ordnet z. B. x = 2 der Variablen x den Wert 2 zu. Rechnen wir Aufg. 546: Vereinfache und führe die Probe aus (x = 2, y = 3): 5x + 2y (3x y) + (3y 2x) = In nebenstehender Grafik siehst du die Ein- und Ausgabe. Dem Programm muss natürlich mitgeteilt werden, wie ein Term umgeformt werden muss, und es kennt dabei folgende Umformungsmöglichkeiten: Vereinfachen vereinfacht den Ausdruck und gibt z. B. einen Quotienten von zwei Polynomen zurück.

4 15.2 Rechnen mit wxmaxima 303 Faktorisieren entspricht dem Herausheben. Expandieren multipliziert einen Ausdruck aus. Nehmen wir Aufg. 609a) und Aufg. 588: Berechne und vereinfache so weit wie möglich! 4a 1 a 2 4 a + a a = Durch Strg Enter erhalten wir als Ausgabe die Eingabe so angeschrieben, wie wir es gewohnt sind; das Drücken von Ausdruck vereinfachen liefert das Ergebnis. Zerlege den Term a 4 9b 4 in ein Produkt! Auch hier erhalten wir durch Strg Enter die Eingabe so angeschrieben, wie wir es gewohnt sind; das Drücken von Ausdruck faktorisieren liefert das Ergebnis. Drücken wir jetzt Ausdruck expandieren, erhalten wir wieder die Angabe. Natürlich hättest du die obigen Aufgaben auch ohne Computer lösen können, zum Einüben sind sie aber sehr hilfreich. Löse nun einige Aufgaben von früher: 1265 Vereinfache (Aufg. 621)! a) ( x2 x + y y2 x y ) ( x x + y y x y ) = x3 x 2 y xy 2 y 3 x 2 2xy y 2 b) ( x2 x y + y2 x + y ) ( x x + y + y x y ) = x3 + x 2 y + xy 2 y 3 x 2 + y Löse Aufg. 622 mit Hilfe von wxmaxima! 1267 Löse Aufg. 623 mit Hilfe von wxmaxima! 1268 Löse Aufg. 624 mit Hilfe von wxmaxima!

5 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra 1269 Weil die Nenner x + 5 und x + 10 nicht Null sein dürfen! 15.3 Gleichungen lösen Um Gleichungen zu lösen, gibt es bei wxmaxima ein eigenes Fenster. Am einfachsten siehst du das an einem Beispiel. Löse 4x 5 = 7 + 2x Lösung: Bei wxmaxima gibst du in einer Eingabezeile die Gleichung ein, wobei du aber nicht auf die Multiplikationssterne vergessen darfst. Anschließend markierst du die Eingabe durch Überstreichen mit der gedrückten linken Maustaste und drückst Gleichung lösen in dem unteren Feld. In dem auftauchenden Fenster steht neben Gleichung die eingegebene Gleichung und als Variable wird x vorgeschlagen. Da das so in Ordnung ist, drückst du OK und erhältst die Lösung. Versuchen wir folgende Gleichung zu lösen: 4 x x + 10 = 5(x + 9) (x + 5)(x + 10) für G = Z Als Lösung gibt wxmaxima x = x; das bedeutet, dass sich die Gleichung auf x = x reduzieren lässt. Wir erhalten somit als Lösung: L = x Z { 5, 10} Erkläre, warum bei der Lösungsmenge 5 und 10 ausgeschlossen werden mussten! 1270 Berechne Aufg. 673 mit Hilfe von wxmaxima!

6 Ma th ef it 15.3 Gleichungen lösen Auch Formeln umwandeln geht leicht mit wxmaxima: Schaltet man die drei Widerstände, die R1 Ω, R2 Ω und R3 Ω haben, parallel, so ist der Gesamtwiderstand kleiner und lässt sich mit 1 der Formel Rgesamt = R11 + R12 + R13 Ω berechnen. Berechne R3 bei gegebenem R1, R2 und Rgesamt! Hier musste man als gesuchte Lösung R3 angeben. Ferner erkennst du, dass man für Variable nicht nur einen Buchstaben verwenden darf, sondern auch Zeichenketten Löse Aufg. 677 mit Hilfe von wxmaxima! 1272 Löse Aufg. 680 mit Hilfe von wxmaxima! 305

7 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra 15.4 Funktionen zeichnen wxmaxima besitzt auch einen Funktionszeichner. Möchtest du die Funktion f: y = 1 4 x2 + 5 im Intervall 4 bis +4 darstellen, kannst du wie folgt vorgehen: Wir definieren zuerst die Funktion (siehe Zeile (%i1). Beachte dabei das Definitionszeichen := und am Ende das $-Zeichen! Vergiss nicht Strg Enter zu drücken! Willst du einzelne Werte berechnen, geschieht das z. B. für x = 3 durch y(3). Günstig ist es auch, eine Wertetabelle anzulegen. Dies geschieht durch Klicken auf Algebra und Aufrufen von Liste erzeugen. Dort wird neben Ausdruck y(x) eingetragen, neben Variable x und es werden die Intervallgrenzen 4 und 4 eingegeben. OK liefert die Wertetabelle. Zum Zeichnen klickst du auf 2D Plotten, trägst unter Ausdrücke y(x) ein, neben Variable x 4 und 4. Für y wählst du 0 bzw. 6 und drückst OK.

8 15.5 Gleichungssysteme lösen Gleichungssysteme lösen Um Gleichungssysteme zu lösen, gibt es bei wxmaxima ein eigenes Fenster. Am einfachsten siehst du das an einem Beispiel: Finde die Lösung des Gleichungssystems: x+2y=7 2x+y=8 Lösung: Ruft man Gleichungen Löse lineares System auf, erhältst du eine Eingabemaske, in die du die Anzahl der zu lösenden Gleichungen eingibst, also 2. Drücken von OK führt dich zu einer weiteren Eingabemaske, in die du, wie in der Grafik gezeigt, die Gleichungen und die Unbekannten eingibst (vergiss den Beistrich nicht!). Drücken von OK ergibt die Lösung. Wenn du willst, kannst du ein Gleichungssystem auch grafisch lösen: Dazu musst du als erstes jede der Gleichungen in die explizite Form bringen, in dem du die Gleichung jeweils nach y auflöst. Anschließend wendest du den plot2d-befehl an, indem du die beiden Gleichungen und die Intervallgrenzen eingibst. Drücken von Strg Enter liefert die folgende Grafik.

9 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra Allerdings geht das Zeichnen von Graphen mit GeoGebra leichter. Hast du aber die Funktionsgleichungen bereits eingegeben, ist es geschickter mit wxmaxima zu arbeiten Löse Aufg. 881 mit Hilfe von wxmaxima! 1274 Löse Aufg. 882 mit Hilfe von wxmaxima!

10 15.6 Rückblick und Ausblick Rückblick und Ausblick Wenn du siehst, wie bequem du mittels wxmaxima auch umfangreichere Aufgaben lösen kannst, wirst du dich fragen, warum du das alles bisher von Hand rechnen musstest. Dafür gibt es drei Gründe: 1. Angenommen du bist 16 Jahre alt, hast ein Moped und auch den Mopedführerschein. Wirst du jetzt alle Wege nur mit dem Moped zurücklegen? Auch die kurzen? Auch die in eurer Wohnung? Selbstverständlich nicht! Du wirst nach wie vor viele Wege zu Fuß zurücklegen. Was für ein Glück, dass du gelernt hast, zu Fuß zu gehen. 2. Und du wirst wahrscheinlich auch Wandern, Joggen, Laufen, Fußballspielen usw., um deinen Körper zu trainieren und auch weil es Spaß macht. Mathematik trainiert deinen Geist und es macht (zumindest Sara und Tom) Spaß. 3. Laufen kannst du, weil du gelernt hast, zu Fuß zu gehen. Auch schwierigere Mathematikprobleme kannst du nur deshalb lösen, weil du zuerst gelernt hast, auch einfachere zu lösen. Gibt es eigentlich noch schwierigere Probleme in der Mathematik? wxmaxima gibt dir einen kleinen Einblick davon. Klick etwa das Fenster Algebra an: Im oberen Teil stehen lauter Wörter, deren mathematische Bedeutung du nicht kennst. Und auch mehrere Wörter beim Fenster Rechnen kennst du nicht. Es gäbe also noch viel zu lernen. Aber auch in den Verfahren, die du bis jetzt angewendet hast, steckt noch viel drinnen, was du nicht weißt. Versuche die Gleichung x 2 6x + 5 = 0 zu lösen. Es wird dir nicht gelingen. wxmaxima jedoch kann es und liefert zwei Lösungen, nämlich x = 1 und x = 5. Und probiere x = 0. Da liefert wxmaxima eine Lösung, die du nicht verstehst. Solltest du nach der 4. Klasse eine höhere Schule besuchen, so wirst du lernen, obige zwei Aufgaben (ohne wxmaxima) zu lösen. Und gehst du nach der Reifeprüfung auf eine Universität, wo auch Mathematik unterrichtet wird, werden dir die meisten Vokabeln von wxmaxima vertraut werden. Wie gesagt: Es gibt noch viel zu lernen, wenn du willst.