14. Dezibel Definitionen

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1 Dezibel Dezibel 14.1 Definitionen Um Leistungs- und se über mehrere Dekaden hinweg sinnvoll darstellen zu können, hat man das Dezibel als logarithmische Maßeinheit eingeführt. Es können somit beispielsweise sowohl Dämpfung als auch Verstärkung in Dezibel () ausgedrückt werden. Zum Teil werden die Verhältnisse auch auf einen fest definierten Wert bezogen. So gilt für die Leistungsbemessung m ein Pegel von 1mW als Bezugswert. Es wird mit dem Zehnerlogarithmus gerechnet. (log) log a = b <=> a=10 b (14.1) d*log a n = d*n*log a (14.2) Aus Gl. 14.1; n=10 oder 20 möglich: y [ ] = n*log => =10 (y []/n) (14.3) Aus der Formel 14.3 ergibt sich die Grunddefinition für das, die immer gilt: y = 10 * log (P 1 /P 2 ) [] (14.4) Gleichung 14.4 ist hergeleitet aus den Beziehungen: 0Bel=10 0 =1 und 1 Dezibel=1/10 * Bel (Def.). Weiter gilt: 1 Bel=10 1 =1 / 2 Bel=10 2 =100 / 0 = 1 / 10 =10 daher 1 Bel=10 Das aus Gleichung 14.4 kann bei gleichem Bezugswiderstand leicht in ein überführt werden. Mit P X=U 2 X/R X und R 1=R 2 folgt: y=10*log U 2 1/U 2 2 [] mit Gleichung 14.2 läßt sich das angeben. y = 20 * log (U 1 /U 2 ) + {10 log (R 1 /R 2 )} [] (14.5) Nach Formel 14.4 und 14.5 ergibt sich die folgende Verhältnis-Darstellung, wobei für die obere Zeile U 1 >U 2 und für die unter Zeile P 1 >P 2 gilt. Die Zahlenreihe in der Mitte gibt den Y-Faktor in an. (Werte teils gerundet) Ein großer Vorteil der logarithmischen mathematischen Darstellung ist, daß eine Multiplikation (Division) von Leistungs- beziehungsweise sen in eine Addition (Subtraktion) der Pegel y () transformiert wird. Dies läßt sich für den Dämpfungsfall aber auch wie in diesem Beispiel leicht für eine Reihenschaltung zweier Verstärker verwenden. Gain: G = (P out /P in ) Mit: G1=10 <=> y 1 =10 ; G2=100 <=> y 2 =20 ergibt sich für die Gesamtleistungsverstärkung: G S =G1*G2 = 1000 <=> 30 = y 1 + y 2 = y S Dies kann mit der Gleichung 14.4 oder mit der nachfolgenden Tabelle leicht kontrolliert werden. Besonders bei großen Verhältniswerten und für die schnelle Kopfrechnung ist die Dezibelrechnung besonders angenehm. Es muß allerdings streng zwischen den Leistungs- und sen getrennt werden. Eine gemischte Rechnung ist nicht möglich aber auch normal nicht nötig. Nochmals sein darauf hingewiesen, daß der Bezugswiderstand bei

2 Dezibel 14-2 berechnungen und deren Verknüpfung beziehungsweise Vergleich derselbe sein muß. Merkregeln für die Umrechnungen und Tabellen erleichtern einem die Dezibelhandhabung ,0000 1,2220 1,2589 1,4125 1,5849 1,7783 1,9953 2,2387 2,5119 2,8184 3,1623 3,548 3,981 4,467 5,012 5,623 6,310 7,079 7,943 8,913 10, , ,0000 1,2589 1,5849 1,9953 2,5119 3,1623 3,9811 5,0119 6,3096 7, ,59 15,85 19,95 25,12 31,62 39,81 50,12 63,10 79,43 100,00 1*10 7 1* ,22 12,59 14,13 15,85 17,78 19,95 22,39 25,12 28,18 31,62 35,5 39,8 44,7 50,1 56,2 63,1 70,8 79,4 89, ,9 158,5 199,5 251,2 316,2 398,1 501,2 631,0 794, *10 9 1* * ,3*10 5 1,6*10 5 2,0*10 5 2,5*10 5 3,2*10 5 4,0*10 5 5,0*10 5 6,3*10 5 8,0*10 5 1,0*10 6 1* *10 12 Für die Leistung gilt: Für die Spannung gilt: 3 halbe Leistung Leistungs-() * Aus der Gleichung 14.4 werden die Formeln für die Dämpfung (a) und für die Verstärkung (G) abgeleitet. Dies äußert sich durch die Umkehrung der se. a=10*log(p in /P out ) [] (14.6) G=10*log(P out /P in ) [] (14.7) 14.2 Bezogener Pegel Um im alltäglichen Meßfall nicht immer den Bezugswert für die Verhältnisse angeben zu müssen, hat man sich für viele Standardfälle auf feste Bezugswerte geeinigt. So wird bei dem

3 Dezibel 14-3 bezogenen Pegel für P 2 oder auch U 2 ein Bezugswert oder auch Referenzwert festgesetzt. So werden aus den Verhältnispegeln absolute Leistungs- und Spannungspegel. Auch hier ist wieder der Systemwiderstand R 0 zu beachten. Besonders die Leistungspegel beziehen sich in der Hochfrequenztechnik üblicherweise auf 50 Ohm. Pegelbezeichnung Referenzwert (P 2;U2) m 1 mw W 1 W V 1 V µv 1 µv Wenn P 1 =P 2 beziehungsweise U 1 =U 2 dann gilt: Pegel = 0 Das Hauptinteresse gilt bei Leistungen dem Bezugswert von 1mW und dem Pegel m. Mit y = P (Pegel) und Gleichung 14.4 mit P 1 = P 2 folgt Gleichung P = 10* log (P X [W]/1mW) [m] (14.8) Mit der Gleichung 14.8 und läßt sich die folgende Tabelle berechnen. P X[mW] P[m] U[mV/50 ] Att.[] 0 -Ref.: Abschwächung von 3,2V U[mV/50 ] ,2 1 Mit Gleichung 14.8 und 14.3 läßt sich P X berechnen. P X [W] = 1 mw * 10 (P[m] / 10) und U X = 223,6 mv * 10 (P[m] / 20) (14.9) 10 * log (u/v) = 10 * log u - 10 * log v (14.10) Mit der allgemeinen Logarithmusformel und den Gleichungen 14.6 und 14.7 lassen sich leicht Verstärkungs- und Dämpfungspegel bei einem 2-Tor bestimmen. Für die Dämpfung (14.11) und Verstärkung (14.12) gilt: a [] = P in [m] - P out [m] (14.11) G [] = P out [m] - P in [m] (14.12) Ein Dämpfungsglied mit P in=2 mw = 3 m und P out= 1 mw = 0 m => a [] = 3-0 = 3 <=> Nur noch halbe Ausgangsleistung. Für weitere Umrechnungen im Leistungsbereich sind diverse Tabellen oft hilfreich. Für die spannungsbezogenen Verhältnisrechnungen werden nun einige Formeln und Tabellen hergeleitet. Dabei ist der Systemwiderstand R 0 zu beachten, dies gilt zum Beispiel bei der Umrechnung von Leistungswerten (m) in Spannungswerte. Für den absoluten Pegel mit dem Bezugswert von 1 Volt, unabhängig von R 0 (es muß nur R 0 gleich sein), gilt mit Gleichung 14.5: P U = 20 * log (U X [V] / U 0 [V]) [V] mit U 0 = 1V (14.13)

4 Dezibel 14-4 Mit Gleichung 14.8 und P=U 2 /R folgt Gleichung und aus Gleichung mit 14.3 ergibt dies Formel P [m] = 10 * log (U 2 0 [V] /( R 0 [Ohm] * W)) (14.14) U 0 [V] = R 0 [Ohm]0.001W10 P[m] 10 (14.15) Bei dem Sonderfall P = 0 m folgt aus Gleichung U 0 [V] = R 0 [Ohm]0.001W (14.16) Gleichung mit 14.3 nach U X aufgelöst ergibt Mit der Leistungsformel P=U 2 /R erhält man dann die Gleichung U X [V] = 1 V * 10 (P [V] / 20) (14.17) P [W] =((1V) 2 * 10 (2*P[V] / 20) ) / R [Ohm] (14.18) Die Tabelle links gilt mit Gleichung (0 m) und auf der rechten Seite wird in Gleichung mit P U =0 V (1V) gerechnet. R 0 [ Ohm] U 0 [mv] R 0 [Ohm] P [mw] 1 M 31.6 V 1 M Eine spezielle Umrechnungsformel zwischen V und m lautet: V = m + 10 * log R 0-30 (14.19) Beispiel: 0 V = 13 m bei 50 Ohm mit 10*log50=17. Es gilt: 13 m <=> 1V <=> 0 V aus Tabelle Seite Weiterhin gelten folgende Beziehungen und Gleichungen: P [m] = 20 * log (U/1V)+13 (14.20) 0 m = 107 µv bei 50 Ohm bzw: 1µV=-107 m Bandbreitenumrechung beim Rauschen: Beispiel: B=25 khz => B=10*log(25000/1)=43,98 B [] = 10 *log (B [Hz] / 1 Hz) (14.21) 14.3 Pegeländerungen Bei relativen Pegeländerungen macht sich die Unsymmetrie, die durch den Logarithmus entsteht, bemerkbar. Allgemein kann bei der Spannungsänderung die Gleichung verwendet werden. Für die Leistungsänderung gilt ähnliches, aus 20* wird 10* in Gl dy [] = 20 * log (1 ± d) (14.22) d=abweichung/absolutwert Wenn die relative Abweichung 1% ist, so muß für d = 0.01 eingesetzt werden. Dies ergibt immer zwei Ergebnisse, die aber im allgemeinen durch Mittelwertbildung als eine Abweichung in angesehen werden können.

5 Dezibel 14-5 Beispiel : U=1 V ±30mV => ± 3% in Gleichung => und => Mittelwert: Die folgende Tabelle (linke Hälfte) ist mit Gleichung gerundet ermittelt. Je größer der Fehler in %, desto größer der ± Fehler. Für Leistung bei +0.4%: dy[]=10*log(1.004mw/1.000mw)= du [±%] dy [ca. ±] dp [±%] Merkregel für kleine Pegel! bei Spannung: % = zb: EPM bei Leistung: % = 0.05 oder 25 % = 1 zb:436(powermeter) [1m=1.26mW] Gleichung kann auch nach dem Abweichungswert aufgelöst werden. Es wird dazu für d = da/we eingesetzt. Mit der Umrechnung ergibt sich Gleichung dy[] da [Linear] = ± We * ( ) (14.23) Es ergeben sich zwei Lösungen mit Upper (+) und Lower (-) Werten. Beispiel: (hier mit unterschiedlichen dy-werten von oben) 1*(10 ( / 20). -1)=30 und 1*(1-10 ( / 20) )=30 mit einem dy-wert (±0.1 ) bei 1V (We) ergibt sich: 11.58mV(Upper); 11.45mV(Lower) Herleitung der Pegeländerung allgemein über das totale Differenzial mit ln10=2,3: Y = 10log P 1mW y P = 10 1 P 1mW 1 ln 10 1mW P [] (14.24) Beispiel: P=1mW; dp=0,04mw=4% => dy/dp=10*1/(1*2,3)*1/1mw*0,04mw=10*0,43478*0,04=0,1739