BERECHNUNG DER SPULEN

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1 Stefan ici Dipl. El.-Ing. HTL Assistent Eletrotechni Tel.: 056 / Fachhochschule Aargau für Techni, irtschaft und Gestaltung Nordwestschweiz Diretionsereich Techni BERECHNUNG DER SPULEN Verteiler: J. Huer, API Prof.. iederehr, Projetleiter, FHA Inhalt: 1. Berechnung von Spulen Allgeeines Füllfator und Strodichte Optiierung einer Spule ezüglich Verlustleistung Optiierung einer Spule ezüglich Grösse Optiierung einer Spule ezüglich Preis Berechnung des Drahtwiderstandes Schlussfolgerungen der Berechnungen Vorgehensschea zur Berechnung von Spulen Berechnung der Spulen an onreten Beispielen agnet der Grösse (3030) agnet der Grösse (3020) agnet der Grösse (2010) Sizze der iclung Douentart: Verfasser: Datu: Berechnung der Spulen S. ici Version: Geprüft: Klassifizierung: V 1.0. iederehr Alage: Freigegeen: Seite: Berechnung der Spulen.doc. iederehr 1 / 13

2 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor BERECHNUNG VON SPULEN 1.1 Allgeeines Dait in eine agnetreis onstanter Anordnung und Geoetrie ein gewisser agnetischer Fluss vorhanden ist, uss an eine gewisse Durchflutung haen. Für alle folgenden Betrachtungen gehen wir davon aus, dass die Durchflutung durch die Siulation und Versuche eannt ist und onstant leit. Θ = I n = c o n s t. (1-1) Es git also zwei öglicheiten, eine gewisse Durchflutung zu erreichen: 1. Eine Spule it vielen indungen und leine Stro (leiner Drahtdurchesser) 2. Eine Spule it wenig indungen und grosse Stro (grosser Drahtdurchesser) Die Frage stellt sich, o an eine Spule ezüglich Verlustleistung, Grösse oder Preis optiieren ann. 1.2 Füllfator und Strodichte ir gehen davon aus, dass Kupferdrähte it runde Querschnitt verwendet werden. Betrachten wir eine rechtecförig ewicelte Spule: A w d A w : d : Querschnittsfläche der iclung (icelrau) Drahtdurchesser n : indungszahl Fig. 1-1 rechtecförig ewicelte Spule an definiert den Kupferfüllfator C u it: n A = < 1 (1-2) A A c u : Kupferquerschnitt des Drahtes A : icelquerschnitt Nachfolgend ist eine Taelle it epirisch gefundenen Füllfatoren für Kupfer vorhanden: Berechnung der Spulen Seite 2 / 13

3 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor d [] d [] 0,05 0,34 0,25 0,53 0,08 0,40 0,30 0,54 0,10 0,44 0,35 0,55 0,12 0,46 0,40 0,56 0,15 0,48 0,50 0,58 0,18 0,51 0,60 0,60 0,20 0,52 0,70 0,61 Ta. 1-1 epirisch gefundene Füllfatoren für Kupfer Die Strodichte von Kupfer sollte den ert A/ 2 nicht üerschreiten, da es sonst zu zu grossen Erwärungen ot. Eenfalls ist zu eachten, dass die Durchesser it relativ grossen Toleranzen versehen sind. 1.3 Optiierung einer Spule ezüglich Verlustleistung Die Verlustleitung P C u erechnet sich allgeein wie folgt: ρ l P = I R = A A I RC u = A ρ n { l = { I n ρ l (1-3) l C u J AC u l : ittlere indungslänge der Spule ρ C u = Ω: spez. iderstand von Kupfer J: Strodichte A c u : Kupferquerschnitt P = Θ{ ρ l I n (1-4) Nun uss nur noch die ittlere indungslänge l der Spule erechnet werden: Für die Durchflutung gilt eanntlich folgender Zusaenhang: Θ Θ = I n = A n = A resp. A = (1-5) I n A C u Berechnung der Spulen Seite 3 / 13

4 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor Perspetive: von oen: l w l h w t A w w l : ittlere indungslänge h w : iclungshöhe A w : icelquerschnitt w : iclungsreite Fig. 1-2 Zeigt den Querschnitt einer Spule : Breite des agneten t : Tiefe des agneten Aus Fig. 1-2 ann an die ittlere Spulenlänge l erechnen: A l = ( + ) = + t { h = h Θ A w (1-6) In Gleichung (1-4) eingesetzt ergit dies: 2 Θ P = 2 Θ ρ + h w (1-7) Fazit: Die Verlustleistung einer Spule lässt sich 1 nicht optiieren und hängt, is auf den Füllfator, nur von der Geoetrie derselen a. Tendenziell wird die Verlustleitung ei grösseren Drahtdurchessern leiner, da der Füllfator grösser wird. Auch sollte die icelhöhe öglichst gross sein. 1 Bei onstanter Durchflutung und Strodichte Berechnung der Spulen Seite 4 / 13

5 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor Optiierung einer Spule ezüglich Grösse Kann eine Spule ezüglich ihres Voluens optiiert werden? U diese Frage zu eantworten, etrachten wir wiederu eine Rechtecspule und gehen davon aus, dass die Strodichte, sowie die Durchflutung weiterhin onstant leien: Θ = I n = c o n s t. und J = const. Das Voluen der iclung V erechnet sich zu: Θ 2 Θ V = A l = 2 + h A l (1-8) V Θ = 2 2 Θ + h (1-9) Fazit: U das Voluen einer Spule öglichst lein zu halten, gilt das gleiche wie für die Optiierung ezüglich Verlustleitung. 1.5 Optiierung einer Spule ezüglich Preis Der Preis eines Kupferdrahtes wird in Fr. / g angegeen. Nachfolgende Taelle zeigt einen Preisvergleich ezüglich des Drahtdurchessers. d [] Preis [Fr. / g] d [] Preis [Fr. / g] 0, , , , , , , , , , , , , , Ta. 1-2 einhaltet die Kilograpreise von lacisolierten Kupferdrähten (aus de Farnellatalog 2000) Berechnung der Spulen Seite 5 / 13

6 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor Tendenziell wird der Kilograpreis it zunehende Drahtdurchesser leiner. Die asse einer Spule soll nun analytisch erechnet werden. Daei wird nur das effetive Kupfer erücsichtigt. Die Durchflutung sowie die Strodichte soll weiterhin onstant eleien: Θ = I n = c o n s t. und J = const. Die asse C u erechnet sich it: = ρ V = ρ n A l = ρ A l = ρ V { V n A A l C u C u (1-10) ρ C u = g/ 3 : Dichte von Kupfer Das Voluen V einer iclung wurde erechnet (Gleichung (1-9)) und lässt sich in Gleichung (1-10) einsetzten: Θ 2 Θ = ρ 2 + h V (1-11) Θ 2 Θ Kosten pro Spule = 2 ρ + J h w Preis (1-12) Fazit: Die asse einer Spule hängt fast nicht ehr vo Füllfator a, sondern in erster Linie von der Geoetrie des icelörpers. Der Kilograpreis wird it zunehende Drahtdurchesser leiner. Berechnung der Spulen Seite 6 / 13

7 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor Berechnung des Drahtwiderstandes Der iderstand des Kupferdrahtes soll nun allgeein erechnet werden: R ρ ρ 2 Θ = n l = n 2 + A A h l (1-13) R R ρ Θ 2 Θ = 2 + A A h 123 Θ n= I ρ = 2 d π 2 AC u Θ 2 Θ + J h (1-14) R ρ = 32 d 4 2 π Θ 2 Θ + J h (1-15) Fazit: Der Kupferwiderstand nit ei onstanter Durchflutung und Strodichte, agesehen vo Füllfator it 1/d 4 a. 1.7 Schlussfolgerungen der Berechnungen elche indungszahl an wählt hängt in erster Linie von de gewählten Stro und der gewählten Spannung (also der Eletroni) a. Diese sind statisch etrachtet üer den Kupferwiderstand der entsprechenden Spule vernüpft. Tendenziell sollte an versuchen, eher einen grösseren Drahtdurchesser zu verwenden, da daei der Füllfator grösser und der Kilograpreis des Drahtes leiner wird. Zu grosse Durchesser sind jedoch schwieriger zu handhaen, da die Biegsaeit leiner wird. Berechnung der Spulen Seite 7 / 13

8 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor Vorgehensschea zur Berechnung von Spulen Untenstehend ist Blocdiagraes enthalten. Dies sollte eine das Diensionieren einer Spule erleichtern. agnetreis: Durchflutung, Geoetrie der Spule Strodichte J auswählen aus der Eletroni die Ströe wählen indungszahl, Drahtdurchesser estien Erwärung der Spule essen Erwärung zu gross? ja nein Spule erfolgfreich diensioniert Fig. 1-3 Blocdiagra für die Diensionierung von Spulen it de ATLAB-File spule. önnen die erte einer rechtecförig gewicelten Spule erechnet werden. Die Paraeter der Geoetrie, der Strodichte, sowie der Durchflutung önnen verändert werden. Fig. 1-4 zeigt die erechneten erte ei folgenden Paraetern: % aterialonstanten (Kupfer): ro_=(1e-6/56); % Solldaten der Spule phi=800; J_=5e6; % Geoetrie des icelörpers h_sp=40e-3; _=10e-3; t_=20e-3; % spez. Leitwert [Oh*] % Durchflutung [A] = n*i % Strodichte [A/^2] % icelhöhe der Spule % Breite des Eisenerns % Tiefe des Eisenerns Berechnung der Spulen Seite 8 / 13

9 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor (Alle Paraeter unter erücsichtigung des Füllfators) 10 5 Eletrische Daten der Kupferspule it einer Durchflutung von 600 A und einer Strodichte von 5 A/ iderstand [Oh] Stro [A] Spannung [V] Anzahl indungen [-] Verlustleistung [] Drahtdurchesser [] x 10-4 Fig. 1-4 Zeigt die erechneten Paraeter der Spule in Funtion des Drahtdurchessers ei J=const. und Θ=const. In Fig. 1-5 ist der Füllfator von Kupfer graphisch dargestellt. Es acht einen Sinn einen atheatischen Zusaenhang darin zu sehen - diese erte sind rein epirisch geessen und ausgeittelt worden. 0.7 Epirische erte des Füllfators Füllfator [-] Drahtdurchesser [] x 10-4 Fig. 1-5 Zeigt epirisch gefundene erte für den Füllfator Berechnung der Spulen Seite 9 / 13

10 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor BERECHNUNG DER SPULEN AN KONKRETEN BEISPIELEN In all diesen Berechnungen wird von einer Durchflutung von 800 A und einer Strodichte von 5 A / 2 ausgegangen. Die Höhe der iclung eträgt jeweils agnet der Grösse (30 30) 2 (Alle Paraeter unter erücsichtigung des Füllfators) 10 6 Eletrische Daten der Kupferspule it einer Durchflutung von 800 A und einer Strodichte von 5 A/ iderstand [Oh] Stro [A] Spannung [V] Anzahl indungen [-] Verlustleistung [] Drahtdurchesser [] x 10-4 Fig. 2-1 Kennlinien der iclung it eine icelörper von (3030) 2 Folgende Daten wurden erittelt: Drahtdurchesser d [] 0.60 Ohscher iderstand R [Ω] 5.24 Breite der iclung Sp [] 6.7 Höhe der iclung h Sp [] 40 Anzahl indungen N [-] 566 Länge des Drahtes l [] 83.0 Stro durch iclung I [A] 1.41 Verlustleistung der iclung (ei oige Stro) P [] Ta. 2-1 Zeigt die Kenndaten der iclung it eine gewählten Drahtdurchesser von 0.6 Berechnung der Spulen Seite 10 / 13

11 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor agnet der Grösse (30 20) 2 (Alle Paraeter unter erücsichtigung des Füllfators) 10 6 Eletrische Daten der Kupferspule it einer Durchflutung von 800 A und einer Strodichte von 5 A/ iderstand [Oh] Stro [A] Spannung [V] Anzahl indungen [-] Verlustleistung [] Drahtdurchesser [] x 10-4 Fig. 2-2 Kennlinien der iclung it eine icelörper von (3020) 2 Folgende Daten wurden erittelt: Drahtdurchesser d [] 0.60 Ohscher iderstand R [Ω] 4.53 Breite der iclung Sp [] 6.7 Höhe der iclung h Sp [] 40 Anzahl indungen N [-] 566 Länge des Drahtes l [] 71.7 Stro durch iclung I [A] 1.41 Verlustleistung der iclung (ei oige Stro) P [] 9.05 Ta. 2-2 Zeigt die Kenndaten der iclung it eine gewählten Drahtdurchesser von 0.6 Berechnung der Spulen Seite 11 / 13

12 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor agnet der Grösse (20 10) 2 (Alle Paraeter unter erücsichtigung des Füllfators) 10 5 Eletrische Daten der Kupferspule it einer Durchflutung von 800 A und einer Strodichte von 5 A/ iderstand [Oh] Stro [A] Spannung [V] Anzahl indungen [-] Verlustleistung [] Drahtdurchesser [] x 10-4 Fig. 2-3 Kennlinien der iclung it eine icelörper von (2010) 2 Folgende Daten wurden erittelt: Drahtdurchesser d [] 0.50 Ohscher iderstand R [Ω] 6.49 Breite der iclung Sp [] 6.9 Höhe der iclung h Sp [] 40 Anzahl indungen N [-] 815 Länge des Drahtes l [] 71.4 Stro durch iclung I [A] 0.98 Verlustleistung der iclung (ei oige Stro) P [] 6.26 Ta. 2-3 Zeigt die Kenndaten der iclung it eine gewählten Drahtdurchesser von 0.5 Berechnung der Spulen Seite 12 / 13

13 FH Aargau Projet Alfa-Step-otor Sizze der iclung von oen: agnet Perspetive: h Sp Sp iclung Fig. 2-4 Zeigt eine Sizze der iclung it den wichtigsten assen Berechnung der Spulen Seite 13 / 13