Logarithmische Gleichungen

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1 GS g_loggl.mcd Logarithmische Gleichungen Definition: Eine Gleichung der Form log b ( ) = a mit > 0, a IR und b IR + \ {} heißt Logarithmusgleichung. Besondere Basen: Basis b = 0 heißt Dekadischer Logarithmus: 0 = a = log 0 ( a) = lg( a) Basis b = e heißt Natürlicher Logarithmus: e = a = log e ( a) = ln( a) Basis b = heißt Zweier - Logarithmus: = a = log ( a) = lb( a) Bestimmung der en: Zur Anwendung kommen die - Potenzgesetze: FS Seite 5 / C - Monotoniegesetze für Potenzen: FS Seite 6 / B - Rechengesetze für Logarithmen: FS Seite 6 / B - Indentitäten: log b ( b log ) b ( ) = und b = mit 0 - Basisumrechnung in die "Taschenrechnerbasen" 0 bzw. e: FS Seite 6 / C : () Bringe die Logarithmusgleichung durch Erheben in die Potenz zur Basis b in die Form = b a () Bei unterschiedlichen Basen stelle beide Seiten der Logarithmusgleichung als Logarithmus derselben Basis dar und löse dann wieder durch Potenzieren beider Seiten. Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten. Schreibweise in Mathcad: log b ( ) entspricht log(, b). / 0

2 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a) Gleichung: lg( + ) = ID = ] ; [ sweg: Potenzieren. : ( + ) = 0 auflösen, 0 IL = { 0 } Mathcad: log( +, 0) = auflösen, Teilaufgabe b) Darstellung der Gleichung mit Funktionen: 0 l( ) := log( +, 0) r( ) := d( ) := l( ) r( ) ln( + ) ln( 0) + Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 auflösen, 0 Graphische der Gleichung: 0 0 -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse -Achse Graph von d() : d() = 0 / 0

3 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a) Gleichung: log 5 ( ) = > 0 auflösen, < < ID = IR \ [ ; ] sweg : Substitution des Arguments t =, Potenzieren und Basis umrechnen, Resubstitution und nach auflösen. : 7 = auflösen, ln( 8) =.6 ln( ) IL = { ln( 8) } ln( ) Teilaufgabe b) Darstellung der Gleichung mit Funktionen: l( ) := 7 r( ) := d( ) := l( ) r( ) 7 Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 d( ) = 0 auflösen, ln( 8) ln( ) Graphische der Gleichung: 0 0 -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse -Achse Graph von d() : d() = 0 / 0

4 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a) Gleichung: = ID = IR sansatz: Substitution des Terms t =, quadratische Gleichung lösen, Resubstitution und nach auflösen : = auflösen, Teilaufgabe b) Darstellung der Gleichung mit Funktionen: i π ln( ) ln( ) ln( ) =.860i 0.6 keine IL = { ln( ) ln( ) } l( ) := r( ) := d( ) := l( ) r( ) Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 d( ) = 0 auflösen, i π ln( ) ln( ) ln( ) Graphische der Gleichung: 0 0 -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse -Achse Graph von d() : d() = 0 / 0

5 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a) Gleichung: : Teilaufgabe b) 6 = 6 = auflösen, Darstellung der Gleichung mit Funktionen: ln( ) ln( ) ID = IR sansatz: Substitution des Terms t =, gleichartige Terme zusammenfassen, quadratische Gleichung lösen, Resubstitution und nach auflösen = IL = { ln( ) ln( ) ; } l( ) := r( ) := 6 d( ) := l( ) r( ) Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = d( ) = 0 auflösen, ln( ) ln( ) Graphische der Gleichung: Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse 5 -Achse Graph von d() : d() = 0 5 / 0

6 Aufgabe 5: a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a) Gleichung: 5 = + ID = IR sansatz: Aufspalten der Potenzen, -Potenz und Zahlenpotenz separieren, Logarithmieren und Basisumrechnen. : 5 = + auflösen, ln 0 ln 5 =.8 IL = { ln 0 ln 5 } Aufspalten: Separieren: Logarithmieren: Teilaufgabe b) 5 = + erweitert auf = 5 9+ auflösen, Darstellung der Gleichung mit Funktionen: = 9+ 5 = 5 9+ ln 0 ln 5 =.8 ( ) = 5 9+ = 9 l( ) := 5 r( ) := 5 9+ d( ) := l( ) r( ) 5 0 Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 d( ) = 0 auflösen, ln 0 ln 5 6 / 0

7 Graphische der Gleichung: Variante A Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse 50 -Achse Graph von d() : d() = 0 7 / 0

8 Darstellung der Gleichung mit Funktionen: Variante B l( ) := 5 r( ) := + d( ) := l( ) r( ) 5 + Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d( ) = 0 d( ) = 0 auflösen, ln 0 ln 5 =.8 Graphische der Gleichung: Variante B Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse 50 -Achse Graph von d() : d() = 0 8 / 0

9 9 / 0

10 0 / 0