3.1 Logarithmen. 1 Monate werden zu Tagen 2. 2 Der Logarithmus 3. 3 Der Basiswechsel 4. 4 Die Logarithmenregeln 5. 5 Exponentialgleichungen 7

Transkript

1 3. Logarithmen Inhaltsverzeichnis Monate werden zu Tagen 2 2 Der Logarithmus 3 3 Der Basiswechsel 4 4 Die Logarithmenregeln 5 5 Exponentialgleichungen 7 5. einfache Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen, die sich mit Zusammenfassen lösen lassen Exponentialgleichungen, die sich mit Substitution lösen lassen Logarithmusgleichungen 8 7 Anwendungen von Logarithmen 9 7. Die Lautstärke Die Berechnung der Anzahl Stellen einer Zahl mit dem Zehner-Logarithmus Die Logarithmusfunktion 0 9 Zusatzaufgaben

2 Logarithmen Theorie und en 2 Monate werden zu Tagen Betrachten wir folgende Tabelle: Berechne folgende Produkte ohne Taschenrechner, nur mit Hilfe der Tabelle. a) = b) = c) = 2. Berechne das Produkt mit Hilfe der schriftlichen Multiplikation. Vergleiche die Anzahl der Berechnungsschritte mit denjenigen der Aufgabe (a). Diese Idee, eine Zahl einfach als Potenz zu einer bestimmten Basis zu schreiben und dann die Potenzregeln anzuwenden, brachte die Mathematik enorm voran. Die umfangreichen Berechnungen, die vor allem in der Astronomie (z.b. Keplersche Gesetze) notwendig waren, konnten stark vereinfacht und damit beschleunigt werden. Eine Aussage von Laplace (ein bedeutender Mathematiker um 750), der mehr als 50 Jahre (!) später lebte, verdeutlicht den hohen Wert dieser Idee: Diese Erfindung verringert den Arbeitsaufwand von Monaten auf Tage. Die obige Tabelle taugt natürlich nur dazu, das Prinzip zu verdeutlichen. Sie ist sehr Lückenhaft, Berechnungen wie z.b können nicht durchgeführt werden. 3. Drücke die Zahl 5 als 2... aus, mit Hilfe der Hoch-Taste des TR. Berechne dabei 3 Stellen nach dem Komma (.,...). Die letzte hat uns gezeigt, wie mühsam einer solcher Exponent zu berechnen ist, wenn es nicht schön aufgeht. Bestimmte Mathematiker, die natürlich keinen TR hatten (für die war es also noch viel mühsamer), verbrachten fast ihr ganzen Leben damit, solche Tabellen möglichst lückenlos aufzustellen. Einer davon war Jost Bürgi aus der Schweiz: Bürgi wartete allerdings bis ca. 620 mit der Veröffentlichung seiner Tafel. Naper, ein anderer Mathematiker, veröffentlichte seine Tafel, die er unabhängig von Bürgi erstellt hatte, bereits um 64.

3 Logarithmen Theorie und en 3 2 Der Logarithmus Als erstes wollen wir kurz den Bezug zum ersten Abschnitt herstellen. Bei der 2 haben wir die Frage gestellt: 2 x = 5. Dieser Zahl x sagen wir log 2 5 (gesprochen: Der Logarithmus von 5 zur Basis 2). Wir definieren: Definition Am Anfang ist es schwierig, einen Logarithmus direkt aus der Definition zu berechnen. Wir werden deshalb ein Rezept kennenlernen. Gehen wir als Hilfe schnell zum Wurzelbegriff zurück: Nun zum Logarithmus: Frage: Wieviel ist log 2 8? Antwort: Wir müssen uns einfach überlegen: 2 hoch wieviel gibt 8? Das wir uns genau das überlegen müssen, ist wiederum Abmachungssache. Wir können hier also nicht herausfinden, was wir uns überlegen müssen! Beispiele: log 3 9 = log 4 64 = en 4. Berechne die Werte der folgenden Logarithmen. a) log 3 8 = b) log 5 25 = c) log 2 6 = d) log 2 44 = e) log 5 = f) log 0 0 = g) log = h) log = i) log = 5. lg ist die Abkürzung für log 0. Berechne die Werte der folgenden Logarithmen. a) lg0 7 = b) lg0000 = c) lg0.000 = 6. Berechne die Werte der folgenden Logarithmen (a R +,n N). [4,2,4,2,0,, 3, 2,36] [7,4, 4]

4 Logarithmen Theorie und en 4 a) log a = b) log a a = c) log a a 2 = d) log a a n = e) log a a = f) log a a 2 = g) log a a n = h) log a a = i) loga 3 a = [0,,2,n,, 2, n, 2, 3 ] 7. ln (natürlicher Logarithmus) ist die Abkürzung für log e, wobei e = die Eulersche Zahl ist. Berechne die folgenden natürlichen Logarithmen. a) lne 2 = b) ln e = c) ln e = d) lne = e) ln(ln(e)) = f) e 2ln(e) = g) ln0 = 8. Schreibe einen Logarithmus auf, der den folgenden Wert ergibt: a) 4 b) -2 c) [2,, 2,,0,e2,k.W.] 9. Bestimme die Lösungsmenge der nachfolgenden Gleichungen in R. Gib Dein Ergebnis in der Form L =... an. a) log x 64 = 3 b) log 2 x = 3 c) log 5 x = 2 d) log 9 x = 0.5 e) log x 2 = 2 f) log x 6 = 2 g) log x 2 49 = 2 0. Löse die folgenden Gleichungen! [L = {4},L = {8},L = {0.04},L = {3},L = {},L = {6},L = {±49}] a) ln(x) = 0.5 b) ln(e x ) = x c) ln(ln(x)) =. Berechne die Werte der folgenden Logarithmen ohne Taschenrechner! a) 4 log 4 7 = b) 0 log 0 2 = c) 00 log 00 π = d) a log a 7 = e) e ln0 = f) e ln5 = [e 0.5,R,e e ] [7,2, π,7,0,5] 3 Der Basiswechsel Frage: Was ergibt log 3 7? Der TR stellt leider nur der Logarithmus zur Basis 0 und den Logarithmus zur Basis e zur Verfügung (manche noch den Logarithmus zur Basis 2). Wie aber können wir einen Logarithmus zur Basis 3 berechnen?

5 Logarithmen Theorie und en 5 Wir konnten also den Logarithmus zur Basis 3 auf den Logarithmus zur Basis 0 umrechnen, der auf dem TR vorhanden ist. 2. Löse die folgenden 3 Teilaufgaben: Satz a) Zwischen welchen beiden natürlichen Zahlen liegt log 5 27? b) Berechne mit dem obigen Verfahren log c) log 3 7 und log 5 27 waren konkrete Beispiele. Kannst Du eine allgemeine Umrechnungsformel notieren für log a b? Konkret sagt dieser Satz aus, dass es reicht, den Logarithmus zu einer (beliebigen!) Basis zu kennen. Dies war natürlich besonders von Vorteil, als die Tafeln noch von Hand berechnet wurden. 3. Berechne mit Hilfe des obigen Satzes die Werte der folgenden Logarithmen! Runde das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma. a) log 4 9 = [.58] b) log 2 5 = [3.9] c) log 3 2 = [2.26] 4 Die Logarithmenregeln Zuerst eine einführende : 4. Fülle die Lücken aus mit Zahlen oder + :-Zeichen. Überprüfe nachher Deine Lösung mit Nachrechnen. a) log 2 (6 8) = log 2 (...)...log 2 (...) b) log 2 (6 : 8) = log 2 (...)...log 2 (...) c) log =...log 2 (...) Es gelten die folgenden Logarithmenregeln: Satz 2 Es gelten die folgenden Gleichungen: log a (b c) =... log a (b : c) =... log a b q =...

6 Logarithmen Theorie und en 6 Beweise en 5. Schreibe als ganze Zahl. a) log 3 (27 9) = b) log 2 (8 6) = c) log 2 ( 6 5 ) = d) log 4 (2)+log 4 (8) = e) log 3 (54) log 3 (2) = f) log 2 (48) log 2 (3) = 6. Wende die Logarithmengesetze (von links nach rechts) möglichst oft an. a) log a (bc) = b) log a (b(c+d)) = c) log a (pq+ pr) = ( d) log a 4x 2 9y 2) b = e) log a c = f) log b a c+d = g) x 2 log a x 2 y 2 = h) log a b3 = i) log a (b+c) 4 = j) log a c 2 = k) log a s = [5,7,20,2,3,4]

7 Logarithmen Theorie und en 7 [log a b+log a c,log a b+log a (c+d),log a p+log a (q+r),log a (2x+3y)+log a (2x 3y),log a b log a c,log a b log a (c+d)] [log a (+x)+log a ( x) log a (x+y) log a (x y),3log a b,4log a (b+c), 2log a c, 2 log a s] 7. Forme so um, dass im Ergebnis nur ein log-zeichen vorkommt und dass vor dem log-zeichen keine Zahl steht! a) log a m+log a n = b) 3log a m = c) 2 log a m = d) log a b+log a c log a d log a c = e) 3log a b+2log a c 4log a d = f) 2log a x+3log a y 5(log a u+log a v) = [log a (mn),log a m 3 (,log bd ) ( ) ( ) b 3 c 2 a m,loga,loga d 4,log x 2 y 3 a u 5 v ] 5 8. Gib x als Dezimalzahl an. Runde Dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. a) x = lg ( ) [ ] b) x = lg ( ) [ ] c) x = ln ( ) [682.99] d) x = log 2 ( ) [ ] 5 Exponentialgleichungen 5. einfache Exponentialgleichungen Beispiel: 5 x = 4 en 9. Löse die folgenden Exponentionalgleichungen. Runde Dein Ergebnis auf zwei Kommastellen. Kontrolliere Dein Ergebnis durch Einsetzen. a) 2 x = b) 3 x = c) 0.8 x = d) e x = 00 e) 0 x = f) 7 x = 3 [3.46,-2.69,23.74,-4.6,-.43,0.32] 5.2 Exponentialgleichungen, die sich mit Zusammenfassen lösen lassen Beispiel: 3 2x + 3 2x+2 = 00

8 Logarithmen Theorie und en 8 en 20. Löse die folgenden Exponentionalgleichungen. Runde Dein Ergebnis auf zwei Kommastellen. Kontrolliere Dein Ergebnis durch Einsetzen. a) 2 4x + 2 4x+5 = 99 b) 5 3x+ 5 3x = 48 c) 5 x + 6 x = 6 x+ 5 x [3.96;0.48;-7.83] 5.3 Exponentialgleichungen, die sich mit Substitution lösen lassen Beispiel: 9 x 2 3 x = 0 en 2. Löse die folgenden Exponentionalgleichungen. Runde Dein Ergebnis auf zwei Kommastellen. Kontrolliere Dein Ergebnis durch Einsetzen. a) 0 x + 0 2x = 600 b) 2 x + 3 = 4 x c) e x = +e x [.38;.20;0.48] 6 Logarithmusgleichungen Beispiel: log a (9 x)+log a (3 x) = log a (37 x)

9 Logarithmen Theorie und en 9 en 22. Löse die folgenden Gleichungen (a R + ). a) 3log a x = 2log a 8 b) log a (x+4)+log a (x) = log a (x+) c) log a x 2 log a 8 = log a 8 log a 27 d) 2 log a (x+) = log a 0 log a 2 e) log 2 (x+9) = 4+log 2 (x 6) [ ± ] 7 Anwendungen von Logarithmen 7. Die Lautstärke Die Lautstärke wird eigentlich in W/m 2 gemessen. Wir erhalten so allerdings sehr unhandliche Zahlen. Wir rechnen mit der folgenden Formel um: 23. Welche Lautstärken (in Dezibel) gehören zu folgenden Schallintensitäten J? a) J = J 0 b) J = 0 J 0 c) J = 00 J Welche Schallintensitäten J, ausgedrückt als Vielfache von J 0 gehören zu den folgenden Lautstärken? a) 0 Dezibel (Hörschwelle) b) 20 Dezibel (Flüstersprache) c) 40 Dezibel (Unterhaltungssprache) d) 60 Dezibel (Schreibmaschinengeklapper) e) 80 Dezibel (Motorrad mit Schalldämpfer) f) 00 Dezibel (Motorrad ohne Schalldämpfer) g) 20 Dezibel (Flugzeugmotor in 4 m Abstand) h) 30 Dezibel (Schmerzgrenze) 25. Ein Sänger erzeugt eine Lautstärke von 65 Dezibel. a) Welche Lautstärke erzeugen 2 Sänger? b) Wieviele Sänger braucht es für die Lautstärke 75 Dezibel? 7.2 Die Berechnung der Anzahl Stellen einer Zahl mit dem Zehner-Logarithmus log = 2,... log = 3,... log 0 00 = 2, hundert ist aber dreistellig log = 3, tausend ist aber vierstellig

10 Logarithmen Theorie und en 0 Mit folgendem Rezept kann man die Anzahl Stellen berechnen: 26. Welche der beiden Zahlen ist grösser? a) oder 3 26 b) oder Die Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion ist folgendermassen definiert: Definition 2 Wie sieht der Graph einer Logarithmusfunktion aus? Das kommt natürlich darauf an, welchen Wert wir für den Parameter a einsetzen. Setzen wir mal a = 2. Wir erhalten die folgenden Wertetabelle: x log 2 x Wir zeichnen die Punkte ins Koordinatensystem ein: Skizziere die Graphen der Funktionen f mit den folgenden Vorschriften: a) f(x) = log 3 x b) f(x) = log 0.5 x

11 Logarithmen Theorie und en 28. Stelle rechnerisch fest, ob der angegebene Punkt oberhalb, unterhalb oder auf dem Graphen mit der Vorschrift f(x) = log 2 x liegt. a) P = (7 3) [oberhalb] b) P 2 = (32 5) [auf] 29. Bestimme, falls möglich, die Basis der Funktion f mit der Funktionsvorschrift f(x) = log a x, wenn der Punkt P auf dem Graphen der Funktion liegt. a) P = (6 2) [a = 4] b) P = (0.25 3) [a = 0.5] 30. Die Höhe über dem Boden kann aus dem Luftdruck nach der Formel ( ) p0 h = 8.4km log 0 p bestimmt werden; dabei ist p 0 der Luftdruck am Boden. In welcher Höhe befindet sich an einem Tag mit p 0 = 00 hpa ein Messballon, wenn ein mitgeführtes Barometer einen Druck von 900 hpa anzeigt? 9 Zusatzaufgaben 3. Wie heisst die Endziffer (=Einerziffer) von 5 50 ; welche Ziffer steht am Anfang? (Hinweis: Betrachte den Zehnerlogarithmus dieser Zahl). 32. Wieviele Endnullen hat die Zahl 50 50? Mit welcher Ziffer beginnt sie? 33. Welches ist die erste und die letzte Ziffer von 2 000? 34. Welches ist die erste und die letzte Ziffer von (4 4 ) 4,(7 7 ) 7 und (3 4 ) 5? 35. Otto erkundigt sich bei seiner Schwester Ute, einer Schülerin der Kollegstufe, welche Punktzahl sie bei ihrer letzten Mathematikarbeit erreicht habe. Viermal darfst Du fragen, sagt Ute. Otto weiss, dass in der Kollegstufe die Punktezahlen 0,,2,...,5 vergeben werden. Er meint, es sei doch ziemlich aussichtslos, mit nur vier Fragen unter 6 Zahlen die richtige zu finden. Doch, sagt Ute, das ist möglich. Welche Fragen muss Otto stellen?