3 Logarithmen und Exponentialfunktion

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1 Mathematik fur Ingenieure Institut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Dr. Dirk Windelberg Universitat Hannover Stand: 8. August Logarithmen und Exponentialfunktion Aufgabe 3.: Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen a) y = x, y = e x fur 3 < x < 3, y = ln(x) fur 0 < x < 3 b) y = x, y = e x fur 3 < x < 3, y = ln(x) fur 0 < x < 3 c) y = x, y = e x fur 3 < x < 3, y = ln(x) fur 0 < x < 3 d) y = 5 e x und y = 5 e x 4 fur 3 < x < 3. Losung 3. Aufgabe 3.a) y = x (ausgezogen) y = e x (gestrichelt) y = ln(x) (gepunktet) Aufgabe 3.b) y = x (ausgezogen) y = e x (gestrichelt) y = ln(x) (gepunktet)

2 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 3 Stand: 8. August Aufgabe 3.c) y = x (ausgezogen) y = e x (gestrichelt) y = ln(x) (gepunktet) Aufgabe 3.d) y = 5 e x (ausgezogen) y = 5 e x 4 (gestrichelt) Zur Denition des Logarithmus: Da 0 = 00 ist, gilt log 0 (00) = Da e = e ist, gilt ln(e) := log e (e) = b log b (c) = c Aufgabe 3.: Berechnen Sie die Losungen x ohne Taschenrechner: a) x = log 3 (8) b) x = log c) x = log 4 4 () + log 4 (8) d) x = log p 3 6 e) x = (e ) (ln(9) ln(4)) f) x = log 0 (e ) e g) log x () = h) log 8 4 (x =3 ) = j) 6 x = (x ) 3 Losung 3.: (REP 3.7: Exponential- und Logarithmusfunktion) a) x = log 3 (8), 3 x = 8 ) x = 4 b) x = log, x = ) = 4 4 c) x = log 4 () + log 4 (8). Aufteilung x =: y + z mit y = log 4 () und z = log 4 (8), 4 y = und 4 z = 8 ) (4 y ) (4 z ) = 8 ) 4 (y+z) = 6 ) x = y + z = d) x = log p 3 6, x = 3p 6, ( x ) 3 = 6, (3 x) = 6 ) x = 4 3 e) x = (e ) (ln(9) ln(4)) = e ( ln(9)+ ln(4)) = e ln(9 )+ln(4 ) = e ln(9 ) e ln(4 ) = 6 6 = 8 8 f) x = log 0 (e ) e, e x = e 0, e ( x) = e 0 ) x = 5 g) log x () =, x ( ) =, p x =, x = 4, x = 4 h) log 8 4 (x =3 ) =, 8 ( 3) = 4 (x =3 ) 3, = ( x =3 ) ) = x =3, 3p = x ) x = 8., 3 ( 3) = (x =3 ), 3p x = j) 6 x = (x ), (4 x) = (x ), 4 x = x, x = 0 oder x = 4

3 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 3 Stand: 8. August Aufgabe 3.3 und 3.4: Anwendungen logarithmischer Rechnung (REP 3.7: Exponential- und Logarithmusfunktion) 3.3 Radioaktiver Zerfall: Ist N(0) die Anzahl der Atome zur Startzeit t = 0, so beschreibt die " Zerfallskonstante\ k > 0 die Anzahl N(t) der Atome zum Zeitpunkt t durch das " Zerfallsgesetz\ N(t) = N(0) e k t Die " Halbwertszeit\ t = ist darin die Zeit mit N(t = ) = N(0) 3.3a) Wie gro ist die Halbwertszeit t = in Abhangigkeit von k? 3.3b) Beim Zerfall von Plutonium seien nach t = 00 Jahren noch 99; 7 Prozent aller Atome intakt. Wie gro ist die Zerfallskonstante k? Wieviel Prozent der Plutoniumatome sind nach Jahren zerfallen? Losung 3.3: 3.3a) Aus der Forderung = N(t =) N(0) k t = und daraus. t = = k ln() = e k T erhalt man ln = k t=, also ln() = (Halbwertszeit) Losung 3.3b) Werden die angegebenen Daten in die Formel fur den radioaktiven Zerfall eingesetzt, so ergibt sich 0:997 = N(00) = e 00 k. N(0) Hieraus folgt fur die Zerfallskonstante k: k = ln(0:997) 00 = 3: Nach 0000 Jahren betragt der Anteil der noch nicht zerfallenen Atome also N(0 000) N(0) = e k = e 0:30045 = 0:74048 = 74:048% Gefragt war nach dem Prozentsatz der zerfallenen Atome: das sind oenbar die restlichen 5:95 %.

4 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 3 Stand: 8. August Verknupfungen von Schallpegeln Summe von L n gleichzeitg auftretenden Schallpegeln: n Die Summe L i= i von n Schallpegeln L i (mit i n) ist deniert durch nm i= L i := 0 log 0 nx i= 0 0: L i Mittelwert von J n Schallpegeln: n Der Mittelwert L i= i von n Schallpegeln L i (mit i n) wird deniert durch nk i= L i := 0 log 0 n nx i=! 0 0: L i Mittelung von n zeitlich hintereinander auftretenden Schallpegeln: Der Mittelwert N n i= (L i; i ) von n Schallpegeln L, L,... L n, von denen - der Pegel L i zur Zeit t i beginnt und zur Zeit t i mit t i > t i endet (fur i n) ist deniert durch mit i := t i t i a ). no i= " (L i ; i ) := 0 log 0 t n t 0 nx i=! i 0 0: L i # a ) Bemerkung: Nach heutigem deutschem Recht werden samtlicher Schallpegel einer Nacht (d.h. sowohl Vorbeifahrpegel als auch Ruhepegel) addiert. Die zeitliche Verteilung der Vorbeifahrpegel wird nicht berucksichtigt, d.h. es gilt (L ; ) O (L ; ) = (L ; ) O (L ; ) (So wird nicht berucksichtigt, ob ein lauter Pegel um :0 Uhr oder um 03:30 Uhr auftritt.) Ist es sinnvoll, Larm und Ruhe zu addieren? Gestort wird ein Mensch nicht durch einen Mittelwert aus Larm und Ruhe, sondern nur durch den Larm selbst. Wenn aber jemand Larm verursacht, dann ist er interessiert daran, wegen des von ihm verursachten Larms nicht verurteilt zu werden - und deshalb wird er argumentieren, dass der von ihm verursachte Larm nicht kontinuierlich wirkt, sondern dass " Larmpausen\ entstehen. Und gern wurde der Larm-Verursacher seinen Larm nicht durch den Einzelpegel, sondern durch den Mittelwert aus seinem Larm und den Larmpausen beschreiben: Je langer diese Larmpausen sind, desto geringer ist der Mittelungspgel. Daher wird auch in Gesetzen bei Industrie- und Verkehrslarm nicht der Einzelpegel, sondern der uber die Zeit gemittelte Pegel aus Larm und Ruhe als Grenzwert formuliert. Bei Verkehrslarm fuhrt diese Formulierung von Grenzwerten insbesondere bei Schienen- und Flugverkehrslarm zu den im folgenden formulierten Problemen.

5 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 3 Stand: 8. August Aufgabe 3.4a) L Es seien L = 60 db(a) und L = 80 db(a) Schallpegel. Berechnen Sie die Summe L J L sowie den Mittelwert L L. L Losung 3.4a) Es ist die Summe\ L " L der beiden Schallpegel L = 60 db(a) und L = 80 db(a) deniert durch M L M L = i= L i = 0 log 0 Der " Mittelwert\ L J L dieser beiden Schallpegel betragt L K L = = 80:04 db(a) K L i = 0 log = 77:03 db(a) i= Aufgabe 3.4b) Der Mittelwert der Musik einer Disco soll wahrend der Tageszeit (von 06:00 bis :00 Uhr) den Grenzwert von 60 db(a) nicht uberschreiten. In der Disco soll aber nur in der Zeit von :00 bis :00 Uhr Musik gemacht werden. Wie laut darf diese Musik (maximal) sein, wenn in der restlichen Zeit " Ruhe\ herrscht? (Runden Sie diese maximale Lautstarke auf eine naturliche Zahl L max ab.) Losung 3.4b) Die maximale Lautstarke der Disco wahrend der Zeit von :00 bis :00 Uhr sei L max, die Lautstarke wahrend der Zeit von 06:00 bis :00 Uhr sei L min. Dann ist der Tagesmittelwert O i= (L i ; i ) = (L min ; 5 h) O (L max ; h) = 0 log : L min + 0 0: Lmax und es soll gelten also (L min ; 5 h) O (L max ; h) 60 db(a) (3.4.) 0 log : L min + 0 0: Lmax 60 oder log : L min + 0 0: Lmax < 6 oder : L min + 0 0: Lmax < 0 6 oder 5 0 0: L min + 0 0: Lmax < oder 0 0: Lmax < : L min oder 0: L max < log : L min oder L max < 0 log : L min Zunachst sei L min = 0. Dann lautet (wegen 0 0 = ) fur L max die Bedingung L max < 0 log Also darf die Discomusik (im Stundenmittel) maximal L max L min = 0 ist. = 7 db(a) betragen, wenn Auch wenn L min = 50 ist, darf die Discomusik noch maximal L max = 7 db(a) betragen. Wenn L min 55 ist, darf die Discomusik noch maximal L max = 7 db(a) betragen. Wenn L min = 56 ist, darf die Discomusik noch maximal L max = 70 db(a) betragen.

6 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 3 Stand: 8. August Aufgabe 3.4c) Wie " laut\ darf der mittlere Pegel der Musik aus der Aufgabe 3.4b) in der restlichen Zeit (von 06:00 bis :00 Uhr) sein, wenn der mittlere Pegel von :00 bis :00 Uhr 70 db(a) betragt und der Tagespegel als Mittelungspegel uber die 6 Tagesstunden maximal 60 db(a) erreichen darf? Losung 3.4c) In der Zeit von :00 bis :00 Uhr betragt die Lautstarke der Discomusik L max = 70 db(a) (nach Losung 3.4b)), und wahrend der restlichen Zeit (von 06:00 bis :00 Uhr) betragt die Lautstarke L min. Es wird nach der maximal moglichen Lautstarke L min gesucht, nach (3.4) also nach der grossten Zahl L min mit (L min ; 5 h) O (70; h) 60 db(a) Zur Berechnung der maximalen Lautstarke L min der Discomusik in der restlichen Zeit (also wahrend 5 Stunden von 06:00 bis :00 Uhr) wird folgendes Programm geschrieben: Gesucht ist eine Zahl n IN (n > 0) mit (n; 5 h) N (70; h) 60 oder 0 log : n , FOR n = TO 70 y = 0 * LOG( / 6 * ( 5 * 0^(.*n) + * 0^7 ) ) / LOG(0) IF y <= 60 THEN PRINT "L_{min}="; n; " db(a) : bei diesem Pegel IF y <= 60 THEN PRINT " ist der Mittelungspegel = ";y;", also <= 60 db(a)" NEXT n Dann ergibt sich: L min = 56 db(a). Zur Kontrolle: Es ist (L min ; 5 h) O (L max ; h) = 0 log : : 70 < 60 db(a)

7 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 3 Stand: 8. August Darstellung der energetischen Mittelung Es wird eine Funktion f : IR! IR gesucht, die jedem Pegel L IR einen x-wert x = f(l) zuordnet, so dass gilt:. Der x-wert f(l 3 ) des energetischen Mittels L 3 := L J L der beiden Pegel L und L liegt genau in der Mitte zwischen den x-werten f(l ) und f(l ), d.h. Dazu zeigen wir: Wenn f deniert wird durch f(l 3 ) = f(l K L ) = (f(l ) + f(l )) (3.4.) f(x) = a + b 0 0: x wobei a und b reelle Zahlen sind, dann gilt die Gleichung (3.4.). Es ist nach Denition vo J : L 3 = L K L = 0 log 0 00: L + 0 0: L und damit f(l 3 ) = a + b 0 0: f0 log 0[ (00: L +0 0: L )]g = a + b 0 log 0[ (00: L +0 0: L )] = a + b 00: L + 0 0: L = a + b 0 0: L + 0 0: L = a + b 0 0: L + a + b 0 0: L = (f(l ) + f(l )) Aufgabe 3.4d) Geben Sie eine Funktion f : IR! IR an, fur die gilt: (i) f(60) =, d.h. einem Pegel L = 60 db(a) soll der x-wert x = auf der x-achse zugeordnet werden. (ii) f(80) = 4, d.h. einem Pegel L = 80 db(a) soll der x-wert x = 4 auf der x-achse zugeordnet werden. (iii) f(60 J 80) = 3, d.h. dem Pegel L J L soll der Mittelpunkt x = 3 zwischen den x-werten x = und x = 4 auf der x-achse zugeordnet werden. Berechnen Sie mit dieser Funktion den x-wert des Pegels L 3 = 70 db(a). Hinweis: Verwenden Sie eine Funktion der Form f(x) = a + b 0 0: x und bestimmen Sie fur diese Funktion a IR und b IR, so dass die obigen Bedingungen (i) und (ii) erfullt sind.

8 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 3 Stand: 8. August Losung 3.4d) Nach (i) und (ii) sollen a und b so bestimmt werden, dass gilt: = f(60) = a + b 0 0: 60 = a + b 0 6 () 4 = f(80) = a + b 0 0: 80 = a + b 0 8 () = 4 = b ) b = : = 0 8 (3) 6 Wenn der Wert von b aus Gleichung (3) in die Gleichung () eingesetzt wird, ergibt sich fur a: a = J b 0 6 = :9798 (4) Nach Deniton von ist f(60 K 80) = f 0 log = f (0 log 0 [ ]) = f (77:03) = a + b 0 7:703 und mit a und b aus (3) und (4): = : : :703 3 Damit sind die drei Eigenschaften (i), (ii) und (iii) erf ullt, d.h. der x-wert des Mittelwertes der beiden Pegel L und L liegt genau in der Mitte zwischen den x-werten von L und L. Fur diese Funktion soll nun der x-wert des Pegels L 3 = 70 db(a) berechnet werden: Es ist f(70) = a + b 0 0: 70 = : : :8 Aufgabe 3.4e) Ein Guterzug verursache bei der Vorbeifahrt wahrend 0 s direkt vor einem Schlafzimmerfenster einen Vorbeifahrpegel von L g uter = 80 db(a) ). Wahrend einer Nacht (von :00 Uhr bis 06:00 Uhr) fahren jedoch viele dieser Guterzuge ), und in den Larmpausen betragt der (Ruhe-)Pegel 40 db(a). Aufgabe 3.4e) Bestimmen Sie den Nacht-Mittelungspegel L R (n) von n (gleichen) Guterzugen der oben genannten Art (also jeweils mit einem Vorbeifahrpegel von 80 db(a) wahrend 0 s), deren Vorbeifahrpegel jeweils mit Ruhe\ abwechseln. " D.h. es ist L R (n) = n+m O (L i ; i ) i= Li = L mit g uter = 80 fur i f; 3; 5; 7; :::; ( n )g i = 0 s und L P i = L ruhe fur i f; 4; 6; 8; :::; ( n )g sowie i = n i= i = 8 h zu bestimmen. Bemerkung: Hier werden Vorbeifahrpegel und Ruhepausen zusammengezahlt; N weder die Reihenfolge nocht die zeitliche Verteilung der Vorbeifahrpegel wird in berucksichtigt. Es kann also angenommen werden, dass alle Vorbeifahrten zeitlich direkt hintereinander stattnden. ) Bei einem Abstand von 5 m von einem Gleis treten (bei einer Geschwindigkeit von 00 km=h) Vorbeifahrpegel hinter einer Larmschutzwand in dieser Groenordnung auf. ) In Hannover fahren an der Hauptguterumgehungsbahn pro Nacht zum Teil mehr als 00 Guterzuge.

9 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 3 Stand: 8. August Losung 3.4e): Es gibt neben den n 0 s, wahrend derer Guterzuge vorbeifahren, in einer Nacht noch in s n 0 s Ruhe\. Daher ist " L(n) = " O n O (80; 0 s)# (40 ; ( n 0) s) i= und damit 3 ) 0 L(n) = 0 lg n : 80 = 0 lg [n] + 0 lg = 0 lg [n] 3: = 0 lg [n] + 48: lg 0 8 Aufgabe 3.4e) Gibt es eine (maximale) Zahl n 0 von Guterzugen, so dass zwischen - dem Vorbeifahrpegel eines einzelnen Guterzuges (also 80 db(a)) und - dem Mittelungspegel aus den Vorbeifahrpegeln und den Larmpausen wahrend einer Nacht eine Dierenz von 0 db(a) auftritt? (Wenn es eine solche Zahl gabe, ware bei dieser Zugzahl die Beschreibung des Schienen-Guterverkehrslarms durch den Mittelungspegel um 0 db(a) niedriger als die n 0 eventuell zum Aufwachen fuhrenden Vorbeifahrpegel.) Losung 3.4e): Es soll fur n 0 Guterzuge gelten: L(n 0 ) = 0 lg [n 0 ] + 48: = 60 also 0 lg [n 0 ] :6 oder lg [n 0 ] :6 und damit n 0 0 :6 4:5, d.h. n 0 = 4. Das sind z.b. Guterzuge in jeder Stunde zwischen :00 und 06:00 Uhr - oder aber auch 4 Guterzuge in der Zeit von :00 bis 3:00 Uhr und kein Guterzug in der Zeit von 3:00 bis 06:00 Uhr. Aufgabe 3.4e3) Es wird angenommen, dass wahrend der Nacht 00 Guterzuge (jeweils mit einem Vorbeifahrpegel von 80 db(a) wahrend 0 s) vorbeifahren, und dass wahrend der ubrigen Nacht ein Ruhepegel von 40 db(a) herrscht. Wie hoch ist der Mittelungspegel? Losung 3.4e3): Der Vorbeifahrpegel jedes der Zuge bleibt bei seinem Schallpegel von 80 db(a), und der Mittelungspegel kann gema 3.4e) bestimmt werden: Es ist L(00) = 0 lg [n] + 48:4 = 0 lg [00] + 48:4 = :8 = 68:8 Der Mittelungspegel erhohte sich zwar (und der Unterschied zwischen Mittelungspegel und Vorbeifahrpegel verringerte sich) gegenuber der Aufgabe 3.4e), aber aber die Zahl der Vorbeifahrten und damit moglicher Aufweckreaktionen erhohte sich ebenfalls. 3 ) in der technischen Litertur wird oft lg anstelle log 0 verwendet.