Radioaktiver Zerfall

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1 Radioaktiver Zerfall Betrachtet man einen einzelnen instabilen Atomkern, so kann nicht vorhergesagt werden zu welchem Zeitpunkt der Atomkern zerfällt. So könnte der Atomkern im nächsten Moment, in einigen Stunden oder aber erst in vielen Jahren zerfallen. Der radioaktive Zerfall von Atomkernen unterliegt vollständig dem Zufall. Dieses Verhalten der Atomkerne kann man sich am Beispiel des Würfelns beim Glücksspiel veranschaulichen: [65] Würfel So unterliegt auch ein Würfelwurf dem Zufall. Man spricht deshalb in der Mathematik von einem Zufallsexperiment. Genau wie beim radioaktiven Zerfall kann auch beim Würfeln nicht vorhergesagt werden, welches Ergebnis man beim nächsten Wurf erhält. Würfelt man mit einem Würfel jedoch sehr häufig und notiert jeweils die Ergebnisse, so kann eine Gesetzmäßigkeit festgestellt werden. Beim Wurf mit einem sechsseitigen Würfel ergibt sich nach sehr vielen Würfeln eine Häufigkeitsverteilung, bei der jede Würfelseite mit einer Häufigkeit von ca. geworfen wird. Für geht die Häufigkeit in die Wahrscheinlichkeit über. Man sagt, die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine beliebige Seite zu Würfeln beträgt (Gesetz der großen Zahlen). Betrachtet man beim radioaktiven Zerfall nicht mehr einen einzelnen instabilen Atomkern, sondern eine Vielzahl von instabilen Atomkernen, wie sie zum Beispiel in einem Kilogramm Uranerz vorkommen, so ergibt sich wie beim Würfeln eine Häufigkeitsverteilung. Für große Mengen an instabilen Atomkernen ergibt sich hieraus die sog. Zerfallswahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer großen Menge eines radioaktiven Stoffes innerhalb eines bestimmten Zeitraums t ein Atomkern zerfällt ist sehr hoch, wohingegen die Wahrscheinlichkeit bei einer kleinen Menge innerhalb des gleichen Zeitraums niedriger ist.

2 Die Wahrscheinlichkeit des Zerfalls eines radioaktiven Stoffes verringert sich also im Laufe der Zeit, da sich durch den Zerfall im Laufe der Zeit auch die Menge des zerfallsfähigen Stoffes verringert. Die Anzahl der zerfallsfähigen Atomkerne in Abhängigkeit von der Zeit kann mit einer Exponentialfunktion mit negativem Exponenten beschrieben werden. Die folgende Abbildung zeigt den zugehörigen Funktionsgraphen einer derartigen Exponentialfunktion. Es ist zu erkennen, dass sich die Menge der zerfallsfähigen Atomkerne in gleichen Zeitabständen halbiert. Anmerkung: In der obigen Überlegung darf die Anzahl der zerfalltsfähigen Atomkerne nicht mit der Anzahl der bereits zerfallenen Atome verwechselt werden. Addiert man beide Werte so erhält man die ursprüngliche Anzahl der Atome: Das Zerfallsgesetz: Der obige Funktionsgraph kann mit der folgenden Gleichung mathematisch beschrieben werden: Diese Gleichung bezeichnet man mit Zerfallsgesetz. Das Zerfallsgesetz gibt an, wie viele Atomkerne nach der Zeit noch von der ursprünglichen Anzahl an Atomkernen vorhanden sind. Dabei ist die sog. Zerfallskonstante. Diese gibt die Geschwindigkeit an mit der ein radioaktiver Stoff zerfällt. Sie ist je nach Stoff unterschiedlich. Einschub: Das obige Zerfallsgesetz ergibt sich experimentell aus der Messung der radioaktiven Zerfälle in Abhängigkeit von der Zeit (vgl. Experiment mit Bierschaum). Es kann jedoch auch aus theoretischen Überlegungen hergeleitet werden. So ist die Anzahl der radioaktiven Zerfälle pro Zeit (Umwandlungsrate), also gewissermaßen die Geschwindigkeit des radioaktiven Zerfalls proportional zur Anzahl der zerfallsfähigen Kerne.

3 Die Umwandlungsrate ist hier negativ, da die Anzahl der zerfallsfähigen Atome abnimmt. Mit der Proportionalitätskonstante ergibt sich somit die Gleichung: Diese Differentialgleichung kann nun durch Trennung der Variablen gelöst werden: Wie man sieht ergibt sich auch aus den theoretischen Überlegungen das aus dem Experiment bekannte Zerfallsgesetz. Trägt man die Anzahl der zerfallsfähigen Atome in Abhängigkeit von der Zeit in einem Diagramm auf, so erhält man den Graph der obigen Exponentialfunktion. Die Halbwertszeit: Die Zeit nach der genau die Hälfte der zerfallsfähigen Atome in einem Stoff zerfallen ist bezeichnet man mit Halbwertszeit. Die Halbwertszeit ergibt sich direkt aus der Zerfallskonstanten und ist deshalb auch materialabhängig. So beträgt beispielsweise die Halbwertszeit des in der Natur vorkommenden Uran-238 ca. 4,5 Milliarden Jahre. Im Gegensatz dazu besitzen andere radioaktive Elemente viel geringere Halbwertszeiten, wie zum Beispiel das Caesium Isotop C-132 mit einer Halbwertszeit von ca. 6,5 Tagen.

4 Die Halbwertszeit kann aus dem Zerfallsgesetz hergeleitet werden: vorhandenen Atom- Nach der Halbwertszeit ist nur noch genau die Hälfte der zum Zeitpunkt kerne vorhanden: Durch Einsetzen in das Zerfallsgesetz ergibt sich die Gleichung: Hierbei muss insbesondere darauf geachtet werden, dass auch auf der rechten Seite der Gleichung im Exponenten anstelle einer beliebigen Zeit die Halbwertszeit geschrieben wird. Durch Umformen nach ergibt sich schließlich die Halbwertszeit. Die Aktivität: Da in der Regel in Experimenten die Anzahl der zerfallsfähigen Atomkerne nicht bekannt ist, oder nur schwer ermittelt werden kann wird in der Kernphysik häufig ein anderer Begriff zur Beschreibung des radioaktiven Zerfalls verwendet, die Aktivität. Mit der Aktivität eines radioaktiven Stoffes bezeichnet man die Anzahl der Kernzerfälle die in einer bestimmten Zeiteinheit in einem bestimmten Stoff stattfinden.

5 Die Einheit der Aktivität ist ein Becquerel: Die Aktivität entspricht der bereits oben erwähnten Umwandlungsrate: Da auch die Aktivität einer bestimmten Menge eines radioaktiven Stoffes mit der Zeit abnimmt gilt auch für die Aktivität das obige Zerfallsgesetz: