Übungsarbeit zum Thema: Exponentialfunktion und. Logarithmusfunktion

Transkript

1 Übungsarbeit zum Thema: Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion a) Bestimme die Exponentialfunktion f (x) a x mit a R +, deren Graph durch den Punkt P (3 / 0,343) verläuft. b) Bestimme die Exponentialfunktion f (x) b a x mit a R +, b R, deren Graph durch die Punkte P (0,5 / 0,325) und P 2 (2 / 4,882825) verläuft. c) Bestimme die Exponentialfunktion f (x) b a x mit a R +, b R, deren Graph durch die Punkte P ( 4 / 0,375) und P 2 (0 / 3) verläuft. 2a) Bei welchem jährlichen Zinssatz würde ein Kapital in 6 Jahren um 50 % anwachsen? (Runde auf volle Prozent!) b) Nach welcher Zeit wäre das Kapital doppelt so groß wie das Anfangskapital? (Runde auf ein Viertel Jahr genau!) c) Nach welcher Zeit wäre das Kapital 8-mal so groß wie das Anfangskapital? d) Wie groß war das Anfangskapital, wenn 4 Jahre später der Kontostand 3845 beträgt? (Runde auf volle!) 3a) Ein Anfangskapital von soll in 2 Jahren auf anwachsen. Berechne den Zinssatz! (Runde auf volle hundertstel Prozent!) b) Wie groß wäre das Entkapital nach 24 Jahren? 4a) Wie lange dauert es, bis ein Anfangskapital von 6000 bei einem Zinssatz von 3,5 % auf das Kapital angewachsen ist? (Runde auf volle Jahre!) b) Nach welcher Zeit hätte sich das Anfangskapital ) verdoppelt? 2) verdreifacht? 3) vervierfacht? 5) Eine Braunalge verdoppelt alle fünf Tage ihre Höhe. a) Berechne den "Wachstumsfaktor α" in der Einheit. h Runde auf 4 gültige Ziffern. b) Zu Beginn der Betrachtung ist die Braunalge 80 cm hoch. Das Wasser ist an der Stelle 25 m tief. Wie lange dauert es, bis die Braunalge an die Wasseroberfläche gelangt? (Runde auf volle Stunden. Gib die Zeit in vollen Tagen und Stunden an!)

2

3 6) Die vom Radium ausgehende β-strahlung hat nnach dem Durchdringen einer 6,7 mm dicken Aluminiumplatte 99% ihrer ursprünglichen Intensität verloren. a) Berechne die Halbwertsdicke von Aluminium bezüglich dieser β-strahlung. b) Ersetzt man die Aluminiumplatte durch eine 0,24 mm dicke Bleiplatte, so ist hinter dieser Bleiplatte noch 50% der ursprünglichen Strahlungsintensität nachweisbar. Wie dick müßte die Bleiplatte sein,damit sie ebenfalls 99% der ursprünglichen Strahlung absorbiert? 24 7) Das Plutoniumisotop dient aufgrund seiner geringen kritischen 94 Pu Masse zur Herstellung leichter taktischer Kernwaffen. Seine Halbwertszeit beträgt 3 Jahre. Die mit solchen Sprengsätzen versehenen Waffen müssen etwa alle 2 Jahre aufbereitet werden, um sie von den inzwischen entstandenen und störenden Zerfallsprodukten zu befreien. 24 Wieviel Prozent des Nuklids sind nach zwei Jahren zerfallen? 94 Pu 8) Von einer radioaktiven Substanz sind nach 30 Tagen nur noch ein Viertel der ursprünglichen Atomkerne vorhanden. a) Bestimme die Zerfallskonstante α e in der Einheit h. b) Welche Zerfallskonstante α 0 ergibt sich, wenn man für das Zerfallsgesetz statt der Basis e die Basis 0 benutzt? c) Zur Zeit t 0 sind von der radioaktiven Substanz N 0 7, Kerne vorhanden. Berechne mit dem Zerfallsgesetzt zur Basis e und dem Zerfallsgesetz zur Basis 0 die Anzahl N der Kerne, die noch nach 200 h vorhanden sind. 9) Löse die folgenden Gleichungen durch Substitution. a) 8 x x b) 4 x x x x 6 53 c) 5 x 6 4 x d) 6 x 2 2 x x 2 64 x e) x (3 x + 2) 6 f) 8 x + 64 x x g) log 5 (x + 4) 2 + log 5 (x + 4) 5 h) log 8 2 x 3 x + 6 log 8 x x 3 4

4

5 0) Fasse erst geschickt zusammen und löse dann. a) 7 2 x + x x + x b) 3 x + 3 x + 3 x x x + 5 x + 2 c) 7 x2 9 5 x x x + 3 d) 7 x x x x

6 L ö s u n g e n a) a 3 0,343 3 a 0,343 0,7 Die Exponentialfunktion lautet: f (x) 0,7 x b) b a 0,5 0,325 ( ) b a 2 4, lg b + 0,5 lg a lg 0,325 lg b + 2 lg a lg 4,882825,5 lg a lg 4, lg 0,325 lg a lg 4, lg 0,325,5 lg a 0, a 6,25 in ( ) b 6,25 0,5 0,325 b 2,5 0,325 b 0,25 Die Exponentialfunktion lautet: f (x) 0,25 6,25 x c) b a 4 0,75, weil ist. b a 0 3 b 3 a 0 3 a 4 0,75 a 4 0,25 a 4 0,25 0,25 a 4 a 4 4 a 2 ± 2 a,2 ± 2 Da die Exponentialfunktion nur für positive Basen definiert ist, gilt: a + 2 Die gesuchte Exponentialfunktion ist: f (x) 3 ( 2 ) x

7 2a) K n p K 0 ( + 00 ) n mit K n,5 K 0 und n 6 p,5 K 0 K 0 ( + 00 ) 6 p,5 ( + 00 ) 6 p ,5 6 p, Der Zinssatz beträgt 7 %. 2b) Mit K n 2 K 0 folgt: p ( + mit 00 ) n 2 p 7 folgt:,07 n 2 n lg,07 lg 2 lg 2 n 0,24 0,25 0 lg,07 4 Nach 0 4 J a h r e n hätte sich das Anfangskapital verdoppelt. 2c) Nach der dreifachen Verdoppelungszeit hätte sich das Anfangskapital verachtfacht. Diese Zeit beträgt J a h r e. 2d) K n K 0 ( + p 00 ) n K K ,07 4 Das Anfangskapital betrug K n ( + p 00 ) n 3a) K n K 0 ( + p 00 ) n ( + P n K n 00 K 0 P ,75 Der Zinssatz beträgt 4,75 %. p 00 ) n K n K 0 3b). Lösung K 24 K 0 K 2 2 K K 0 K Das Anfangskapital würde nach 24 Jahren 280 betragen.

8 3b) 2.Lösung p Benutzt man die Formel K n K 0 ( + 00 ) n Zinssatz, so erhält man das gleiche Ergebnis. K (, ) Das Anfangskapital würde nach 24 Jahren 280 mit dem ganz genauen betragen. 4a) K0,035 n K n,035 n n lg,035 lg K n lg K 0 K n K 0 n lg K n lg K 0 lg,035 lg lg 6000 lg,035 0 Die Zeit beträgt 0 J a h r e. 4b) ) Mit K n 2 K 0 und p 3,5 % folgt,035 n 2 n lg,035 lg 2 n lg 2 lg, Das Kapital verdoppelt sich in 20 J a h r e n. 4b) 2) n lg 3 lg, Das Kapital verdreifacht sich in 32 J a h r e n. 4b) 3) Es ist die zweifache Verdoppelungszeit vergangen. Das Kapital vervierfacht sich in 40 J a h r e n. 5a) x : Höhe der Braunalge, T : 5 Tage 20 h 2 x 0 x 0 e α T e α T 2 ln e α T ln 2 α ln 2 T ln 2 20 h 5, h Die Wachstumskonstante beträgt α 5, h. 5b) x x 0 e α T α t ln x ln x 0 t ln x ln x 0 α t 24 d 20 h Die Braunalge gelangt nach Wasseroberfläche. ln 25 ln 8 5, h 596 h 24 T a g e n u n d 20 S t u n d e n an die-

9 6a) Intensität I : I I 0 e α d mit I e α d α d H : 00 ln 0,0 d 00 I 0 folgt: α d ln 0,0 Halbstwertsdicke ln 0,0 6,7 mm 0, mm I I 0 e α d H mit I 0,5 I 0 folgt: e α d H 0,5 α d H ln 0,5 d H ln 0,5 α ln 0,5 0, mm,008 mm Die Halbwertsdicke des Aluminiums beträgt,008 mm. 6b) I I 0 e α d mit folgt: I 0,5 I 0 Mit e α d 0,5 α d ln 0,5 α I d ln 0,5 d ln 0,5 0,24 mm 2, mm folgt 00 I α d ln 0,0 0 ln 0,0 α ln 0,0 2, mm,595 mm Die Bleiplatte müßte,595 mm dick sein. 7) N N 0 e α t mit N und folgt: 2 N 0 t 3 a e α t 0,5 α t ln 0,5 α α ln 0,5 3 a 0, a N e 0, a 2 a 0, ,88 % 90 % N 0 ln 0,5 t Nach zwei Jahren sind ca. 0 % des Plutoniumisotops zerfallen.

10 8a) N N 0 e α e t mit N 0,25 N 0 und t 720 h folgt: α e t ln 0,25 α e α e ln 0,5 720 h ln 0,5 t 9, h Die Substanz hat die Zerfallskonstante α e 9, h. 8b) N N 0 e α 0 t lg 0,5 α 0 4, h 720 h Benutzt man für das Zerfallsgesetz die Basis 0, so erhält man für die radioaktive Substanz die Zerfallskonstante α 0 4, h. 8c) N N 0 e α e t N 7, e 9, h 200 h 6, Nach 200 Stunden sind noch 6, K e r n e vorhanden. N N 0 e α 0 t N 7, , h 200 h 6, Nach Stunden sind noch vorhanden , K e r n e Die Ergebnisse stimmen bis auf Rundungsfehler überein, weil man den "Exponentiellen Zerfall" durch eine Exponentialfunktion mit beliebiger Basis beschreiben kann. 9a) 8 x x Setze x 2 u 8 u u u u u u ± u u ,25 Macht man nun die Substitution x 2 u wieder rückgängig, dann gilt: x,2 ± u ± 49 ± 7 x 3,4 ± u 2 ± 2,25 ± 3,5 L 3,5; 3,5; 7; 7

11 9b) 4 x x x x ( 2 x x 6) + 2 x x 6 57 Setze 2 x 2-3 x - 6 u 7 u + 8 u 57 7 u u 7 u 2 57 u 8 u u 8 7 u 57 4 u ± 55 4 u 2 4 u Durch "Rückgängigmachen" der Substitution erhält man: 2 x x x x 4 x x 7 x x x + 3 ± 4 4 x 4 4 x x x x x 43 7 x x 43 4 x x ,5 2 x ±, x 3 0,563 x 4 2,6563 L 3,5; 2,6563; 0,563; 2

12 9c) 5 x 6 4 x Setze x 3 u 5 u 2 4 u 352 u u u u u u 2 ± u 5 u Durch "Rückgängigmachen" der Substitution erhält man. x x x x 2 L 2; 2, x 2, x 2 2 9d) 6 x 2 2 x x 2 64 x ( 2x 2 4 x + 9 ) + 6 ( 2 x 2 4 x + 9 ) 95 3 ( 2 x 2 4 x + 9 ) x 2 4 x + 9 ) 95 Setze 2 x 2-4 x + 9 u 3 u + 4 u 95 3 u 95 4 u 9 u u u 9 u u 9025 u u u u u 293 ± u 36 9 u

13 Fortsetzung von Aufgabe 9d Durch "Rückgängigmachen" der Substitution erhält man: 2 x 2 4 x + 9 x 2 2 x x 2 2 x x 2 2 x x ± 4,06885 x 5,06885 x 2 3, x 2 4 x x 2 4 x 6 x 2 2 x 8 x 2 2 x + 9 x ± 3 x 3 4 x 4 2 L 3,06885; 2; 4; 5, e) x (3 x +2) x x x u 2 7 u x Setze 7 3 x + u u u 3364 u u 2 7 u u u u u u ± u

14 Fortsetzung von Aufgabe 9e Durch "Rückgängigmachen" der Substitution erhält man: 7 3 x ( 3 x + ) ln 7 ln 6807 ( 3 x + ) ln 7 ln x + ln6807 ln 7 ln 6807 x + ln x ( 3 x 2 + ) ln 7 ln 7 (nicht definiert) Also ist x 2 die einzige Lösung. L 2 9f) 8 x + 64 x x x x x x x x x x 436 Setze 8 x u 64 u u 436 u u 57 8 u u u + 5 ± u u Durch "Rückgängigmachen" der Substitution erhält man: 8 x 8 x 3 und 8 x x ln 8 ln (nicht definiert) Also ist x 3 die einzige Lösung. L 3

15 9g) log 5 ( x + 4 ) 2 + log 5 ( x + 4 ) 5 Setze x + 4 u log 5 u 2 + log 5 u 5 2 log 5 u + log 5 u 5 3 log 5 u 5 log 5 u 5 u Durch "Rückgängigmachen" der Substitution erhält man: x x 32 L 32 9h) log 8 2 x 3 x + 6 log 8 x x 3 log 8 u log 8 u 4 Setze 2 x - 3 x u mit log 8 log bzw. folgt u 8 u log 8 log u 8 u log 8 u + log 8 u 4 2 log 8 u 4 log 8 u 2 u Durch "Rückgängigmachen der Substitution erhält man: 2 x 3 x x 3 64 x x 387 x a) 7 2 x + x x + x 7 2 x x x + x x 7 2 x x + x x 2 x ln x ln 7 ln 2 + x ln 2 x ln 7 x ln ln 2 ln 6 L x ( 2 ln 7 ln ) ln 2 ln 2 x 0,46398 L 0, ln 7 ln

16 0b) 3 x + 3 x + 3 x x x + 5 x x x x x 5 x x 40 3 x 26 5 x ln 40 + ( x ) ln 3 ln 26 + ( x ) ln 5 ln 40 + x ln 3 ln 3 ln 26 + x ln 5 ln 5 x ln 3 x ln 5 ln 26 ln 5 ln 40 + ln 3 x ( ln 3 ln 5 ) ln 26 ln 5 ln 40 + ln 3 x ln 26 ln 5 ln 40 + ln 3 ln 3 ln 5 x,2467 L,2467 0c) 7 x2 9 5 x x x x x x x x2 9 5 x + 3 ( x 2 9 ) ln 7 ( x + 3 ) ln5 ( x 3) ln 7 ln 5 x 3 x ln 5 ln 7 ln 5 ln ,82709 x 2 3,weil dann x und L 3; 3,82709 x gilt.

17 0d) 7 3 x x x x 7 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ln x ln 7 ln 244 ln x ln 3 3 x ln 7 4 x ln 3 ln 244 ln 729 ln 392 x ( 3 ln 7 4 ln 3 ) ln 244 ln 729 ln 392 x ln 244 ln 729 ln ln 7 4 ln 3 x 4, L 4,895627