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- Louisa Berger
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1 Die Zellteilung: Übung 1d) C(n) = 2 n C(n) G C n
2 Die Zellteilung: Übung 1g) n(c) = lb(c) n(c) G n C
3 Die Zellteilung: Übung 2d) C(n) = n C(n) G C n
4 Die Zellteilung: Übung 3c) C(t) = t 7000 C(t) G C t
5 Exponentialfunktionen: Übung 4b) f 1 (x) = 3 x f 2 (x) = ( 2 3 ) x y x
6 Exponentialfunktionen: Übung 4c) f 1 (x) = 1.5 x f 2 (x) = 2 x f 3 (x) = 3 x f 4 (x) = 4 x y x
7 Exponentialfunktionen: Übung 4d) f 1 (x) = ( 1 2 ) x f 2 (x) = 2 x y x
8 Logarithmusfunktionen: Übung 5a) f 1 (x) = log 1.5 x f 2 (x) = lbx f 3 (x) = log 3 x f 4 (x) = log 4 x y x
9 Logarithmusfunktionen: Übung 5b) f(x) = log 0.6 x y x
10 Exp.- & Log.-funktionen: Übung 6b) f 1 (x) = 1.3 x f 2 (x) = log 1.3 x y x
11 Exp.- & Log.-funktionen: Übung 6b) f 1 (x) = e x f 2 (x) = lnx y x
12 Exp.- & Log.-funktionen: Übung 6b) f 1 (x) = 10 x f 2 (x) = lgx y x
13 Exp.- & Log.-funktionen: Übung 6b) Symmetrieachse g: y = x y x
14 Exponentielle Prozesse: Übung 11 Wachstumsrate: 40% Wachstumsfaktor: = a) Nach zwei Stunden: 980 Bakterien b) B(t) = t c) B(24) = = Nach 24 Stunden: Bakterien
15 Exponentielle Prozesse: Übung 11 d) Gesuchte Zeit: t Ansatz: B(t) = t = 10 6 : t = 2000 ln(...) ln(1.4 t ) = ln(2000) Log.-gesetz t ln(1.4) = ln(2000) : ln(1.4) t = ln(2000) ln(1.4) t = Zeit bis 1 Million Bakterien: h
16 Exponentielle Prozesse: Übung 11 e) Gesuchte Zeit: T Ansatz: B(t+T) = 2 B(t) t+t = t Pot.-gesetz t 1.4 T = t : ( t ) 1.4 T = 2 ln(...) ln(1.4 T ) = ln(2) T ln(1.4) = ln(2) Log.-gesetz : ln(1.4) T = ln(2) ln(1.4) T = Verdoppelungszeit: h
17 Exponentielle Prozesse: Übung 12a) 1. Lösungsweg Ansatz: M(t) = M 0 b t Gegeben: M(1) = 9.61 M(8) = 7.24 M(1) b b b b b b b M(8) b 7 M(1) b 7 = M(8) 9.61 b 7 = 7.24 : 9.61 b 7 = 0.75 b = 0.96 M 0 b 1 = M(1) M = 9.61 : 0.96 M 0 = M(t) = t
18 Exponentielle Prozesse: Übung 12a) 2. Lösungsweg Ansatz: M(t) = M 0 b t Gegeben: M(1) = 9.61 M(8) = 7.24 M 0 b 1 = 9.61 I M 0 b 8 = 7.24 II II I : b 7 = 0.75 b = 0.96 III III in I: M = 9.61 : 0.96 M 0 = M(t) = t
19 Exponentielle Prozesse: Übung 12b) Gesucht: Abnahmerate p% Aus Aufgabe a): Abnahmefaktor b = 0.96 Es gilt: b = 1 p 100 p 100 = 1 b p = b p = 3.97 Gesuchte Abnahmerate: p = 3.97%
20 Exponentielle Prozesse: Übung 12d) Aus Aufgabe a): M(t) = t Für die Halbwertszeit T gilt: b T = T = 1 2 ln(...) ln ( 0.96 T) = ln ( 1 2 ) T ln(0.96) = ln ( 1 2 ) Log.-gesetz : ln(0.96) T = ( ) ln 12 ln(0.96) T = Halbwertszeit: T 12 = 17.13h
21 Exponentielle Prozesse: Übung 13a) Gegeben: Halbwertszeit T 12 = 30.17Jahre Für den Abnahmefaktor b gilt: b = 1 2 (...) b = ( 1 2 ) b = Für die Abnahmerate folgt: p = 2.271%
22 Exponentielle Prozesse: Übung 13b) Aus Aufgabe a): Radioaktive Masse: m(t) = m 0 b t = m t Im Zeitraum von 25 Jahren: m 0 b b b... b b b m(25) b 25 b 25 = = % von der ursprünglich freigesetzten Masse Cäsium-137 sind nach 25 Jahren noch immer nicht zerfallen.
23 Exponentielle Prozesse: Übung 13c) Aus Aufgabe a): Radioaktive Masse: m(t) = m t Im Zeitraum von t Jahren: m 0 b b b... b b b m(t) b t t Es gilt: t = 0.05 ln(...) ln ( t) = ln(0.05) Log.-gesetz t ln(0.977) = ln(0.05) : ln(0.977) t = ln(0.05) ln(0.977) t = Gesuchte Zeit: Jahre
24 Exponentielle Prozesse: Übung 14a) Anfangskapital [CHF]: K 0 = 1550 Wachstumsrate [%]: p = 2.2 Wachstumsfaktor: b = = Gesuchte Funktion: K(t) = t
25 Exponentielle Prozesse: Übung 14b) Gesuchte Zeit [Jahre]: t Gegeben: K(t) = t = 2000 : t = ln(...) ln(1.022 t ) = ln(1.290) Log.-gesetz t ln(1.022) = ln(1.290) : ln(1.022) t = ln(1.290) ln(1.022) t = Gesuchte Zeit: Jahre
26 Exponentielle Prozesse: Übung 14c) Gesuchte Zeit [Jahre]: t Gegeben: K(t) = t = 10 6 : t = ln(...) ln(1.022 t ) = ln( ) Log.-gesetz t ln(1.022) = ln( ) : ln(1.022) t = ln( ) ln(1.022) t = Gesuchte Zeit: Jahre
27 Exponentielle Prozesse: Übung 14d) Gesuchter Zinssatz [%]: p Für die neue Funktion K mit Funktionsterm K(t) = 1550 b t wird der Wachstumsfaktor b berechnet: 1550 b 50 = 10 6 : 1550 b 50 = b = Zinssatz: 13.8%
28 Exponentielle Prozesse: Übung 14e) Aus Aufgabe a): K(t) = t Für die Verdoppelungszeit T gilt: b T = T = 2 ln(...) ln ( T) = ln(2) T ln(1.022) = ln(2) Log.-gesetz : ln(0.96) T = ln(2) ln(1.022) T = Verdoppelungszeit: T = Jahre
29 Exponentielle Prozesse: Übung 14f) Aus Aufgabe a): K(t) = t Für die gesuchte Zeit t gilt: t = 1200 : t = ln(...) ln(1.022 t ) = ln(0.774) Log.-gesetz t ln(1.022) = ln(0.774) : ln(1.022) t = ln(0.774) ln(1.022) t = Kontoeröffnung: vor Jahren
30 Exponentielle Prozesse: Übung 15a) Frequenz von a : 442Hz Das Intervall a -a ist eine Oktave, d.h. das Frequenzverhältnis ist 1 : 2. Daraus folgt die Frequenz von a : 884Hz
31 Exponentielle Prozesse: Übung 15b) Eine Oktave ist in 12 gleiche Halbtonschritte unterteilt. Für die Frequenzverhältnisse einer Oktave (z.b. a -a ) gilt: f(a b b b )... b b b f(a ) b 12 2 Es folgt: b 12 = 2 b = 12 2 Gesuchtes Frequenzverhältnis: 1 : 12 2
32 Exponentielle Prozesse: Übung 15c) Das Intervall von a bis d besteht aus 17 Halbtonschritten: f(a b b b )... b b b f(d ) b 17 ( 12 2 ) 17 Es folgt: f(d ) = f(a ) b 17 = 442 ( 12 2 ) 17 = Frequenz von d : Hz
33 Exponentielle Prozesse: Übung 15d) Der Kammerton a mit der Frequenz 442Hz sei wiederum der Startpunkt. Die Variable x steht für die Anzahl Halbtonschritte von 442 Hz bis 20000Hz. b b b b b b ( 12 2 ) x Für die Anzahl x der Halbtonschritte gilt: 442 ( 12 2 ) x =
34 Exponentielle Prozesse: Übung 15d) (...Fortsetzung:) 442 ( 12 2 ) x = : 442 ( 12 2 ) x = ln(...) ln( ( 12 2 ) x ) = ln(45.249) Log.-gesetz x ln( 12 2) = ln(45.249) : ln( 12 2) x = ln(45.249) ln( 12 2) x = Halbtonschritte höher als der Kammerton a ist der Ton dis (7). Die Obergrenze des Hörbereichs liegt also zwischen d (7) und dis (7).
35 Exponentielle Prozesse: Übung 16a) Gegeben: Anfangswert K 0 = 50mg Halbwertszeit T 12 = 3h Ansatz: K(t) = K 0 b t = 50 b t Vorsicht: Zeitpunkt 0 ist eine Stunde nach dem Verzehr! Für den Abnahmefaktor b gilt: b 3 = 1 2 (...) 1 3 b = ( 1 2 )1 3 b = Funktionsgleichung: K(t) = t Koffeinmenge 5 h nach dem Verzehr: K(4) = = mg
36 Exponentielle Prozesse: Übung 16b) Aus Aufgabe a): K(t) = t Für die gesuchte Zeit t gilt: t = 0.01 : t = ln(...) ln(0.794 t ) = ln(0.0002) Log.-gesetz t ln(0.794) = ln(0.0002) : ln(0.794) t = ln(0.0002) ln(0.794) t = Gesuchte Zeit nach Verzehr: = h
37 Exponentielle Prozesse: Übung 16c) Neue Halbwertszeit: T 12 = = 1.8h Ansatz: K(t) = 50 b t Der Abnahmefaktor b wird neu berechnet: b 1.8 = 1 2 (...) b = ( 1 2 ) b = Funktionsgleichung: K(t) = t
38 Exponentielle Prozesse: Übung 16c) (...Fortsetzung:) Für die gesuchte Zeit t gilt: t = 0.01 : t = ln(...) ln(0.680 t ) = ln(0.0002) Log.-gesetz t ln(0.680) = ln(0.0002) : ln(0.680) t = ln(0.0002) ln(0.680) t = Gesuchte Zeit nach Verzehr: = h
39 Exponentielle Prozesse: Übung Lösungsweg Ansatz: C(t) = C 0 b t Gegeben: C(2) = 300 C(7) = C(2) b b b b b C(7) b 5 C(2) b 5 = C(7) 300 b 5 = : 300 b 5 = 3125 b = 5 C 0 b 2 = C(2) C = 300 : 25 C 0 = 12 C(t) = 12 5 t
40 Exponentielle Prozesse: Übung Lösungsweg Ansatz: C(t) = C 0 b t Gegeben: C(2) = 300 C(7) = C 0 b 2 = 300 I C 0 b 7 = II II I : b 5 = 3125 b = 5 III III in I: C = 300 : 25 C 0 = 12 C(t) = 12 5 t
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