Exponentialfunktion / Wachstum

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1 1. Die Eponentialfunktion Eponentialfunktion / Wachstum Spezialfall: = 0: a 0 = 1 P(0 1). Dies bedeutet, alle Graphen - unabhängig ihrer Basis - laufen durch den Punkt (0 1). Der Graph einer Eponentialfunktion ist von seiner Basis abhängig. Wir unterscheiden daher drei Fälle: 1. Fall: a = 1 Die Funktion f : a a mit a > 0, R, heisst Eponentialfunktion mit der Basis a. 2. Fall: a > 1 3. Fall: 0 < a < 1 1

2 Übungen 1. Für welche a R + \ {1} hat die Eponentialkurve von y = a die folgende Eigenschaft: a) Die Eponentialkurve geht durch den Punkt (0 1). b) Die Eponentialkurve geht durch den Punkt (1 3). c) Auf der Eponentialkurve liegt ein Punkt mit der Ordinate Der Punkt P liegt auf der Kurve f: y = a. Berechne a. a) P(3/2 27) b) P(4 9) c) P(-5/ ) d) P(-6 π 3 ) 3. Zeichne im gleichen Koordinatensystem die Kurven f, g, h und i und entscheide, ob durch eine Spiegelung an der - Achse, y - Achse oder am Nullpunkt a) die Kurve f auf die Kurve g abgebildet werden kann. b) die Kurve f auf die Kurve h abgebildet werden kann. c) die Kurve f auf die Kurve i abgebildet werden kann f : y = g : y = h : y = i : y = Bestimme rechnerisch, ob der angegebene Punkt oberhalb, unterhalb oder auf dem Graphen der Funktion f() = 2 liegt: a) P(4 15) b) P( ) c) P(3 8) 5. Die Spannung U [Volt] einer 12-Volt-Batterie während des Einschaltvorgangs im Zeitpunkt t [Sekunden] lässt sich mit folgender Formel beschreiben: U(t) = 12 (1 e kt ) Man misst U(0.1) = a) Berechne k. b) Welches ist die Spannung im Zeitpunkt t = 0.2 [Sekunden]? c) In welchem Zeitpunkt beträgt die Spannung 6 Volt? 2

3 2. Wachstumsformen Von Wachstum sprechen wir, wenn sich ein Bestand mit der Zeit verändert. Wachstum bedeutet nicht immer eine Zunahme des Anfangsbestandes, es kann sich auch um eine Abnahme handeln. Bei einem Wachstumsvorgang interessiert vor allem, wie schnell sich der Bestand ändert. Die Änderung des Bestandes pro Zeitschritt heisst Änderungsrate des Bestandes. 1. Lineares Wachstum Ein Wachstum heisst lineares Wachstum, wenn die Änderungsrate konstant ist. Bei linearem Wachstum gilt für den Bestand B(t) nach t (t N) Zeitschritten: B(t) = m t + c Dabei ist m die Änderungsrate und c der Anfangsbestand B(0). 2. Eponentielles Wachstum Ein Wachstum heisst eponentielles Wachstum, wenn für jeden Zeitschritt Bestandneu = a Bestandalt gilt mit einer für alle Zeitschritte gleichen Zahl a (Wachstumsfaktor). Bei eponentiellem Wachstum gilt für den Bestand B(t) nach t (t N) Zeitschritten: B(t) = B(0) a t Übungen 6. Prüfe bei welchen Vorgängen es sich um ein lineares oder eponentielles Wachstum handeln könnte. Begründe deine Antwort. a. Es wurde der Durchmesser eines Baumes über mehrere Jahre gemessen, dabei ergab sich folgende Tabelle: Jahre Durchmesser b. Die Bevölkerung einer Stadt am 1. Januar: Jahre Durchmesser c. Der Tankinhalt eines PKW s wurde gemessen zu bestimmten gefahrenen Kilometern. Zurückgelegte KM Tankinhalt in L

4 7. Bei einer Bakterienkultur ohne Raum- und Nahrungsmangel wächst die Bakterienzahl eponentiell. Um 8 Uhr waren es 2300 und um 12 Uhr Bakterien. Wie viele Bakterien hat es um 9 Uhr, 10 Uhr, 11 Uhr, Uhr? 8. Die Anzahl der radioaktiven Atomkerne in einem Präparat nimmt eponentiell ab. Zu Beginn des Eperimentes waren radioaktive Kerne vorhanden, nach 5 Stunden waren es noch deren Wie viele radioaktive Atomkerne hatte es nach 1, nach 2, nach 4 und nach 8 Stunden? 9. Ein Jungwald, in dem kein Holz geschlagen wird, wächst eponentiell. Der Waldbestand beträgt heute m 3. Vor 12 Jahren betrug er m 3. a. Welches war der Waldbestand heute vor 5 Jahren? b. Welches wird der Waldbestand heute in 7 Jahren sein? 10. Prüfe, ob es sich um lineares oder eponentielles Wachstum handelt, wenn a. täglich 2 % des Monatslohns für Esswaren ausgegeben werden b. der Vater bei einer Abmagerungskur wöchentlich 2 % seines Gewichts verliert c. ein Baby jede Woche 150 g zunimmt d. Opa jedes Jahr 1 % seines enormen Wissens vergisst. 11. Ein Auto verliert jedes Jahr an Wert; im 1. Jahr ist die Wertminderung am grössten, danach wird sie von Jahr zu Jahr geringer. Der Autohandel geht (bei einem bestimmten Fahrzeugtyp und mittlerer Fahrleistung) von 18 % Wertminderung pro Jahr aus. Stelle die Wertminderung für ein Auto, dessen Neupreis Fr. 25'000.- ist, graphisch dar. Berechne die Halbwertszeit. 12. Zinseszins: a. Berechne das Kapital nach n Jahren: K = 1000 Fr., p = 4%, n = 5. b. Um wieviel Prozent seines Anfangswertes wächst ein Kapital bei 5% in 10 Jahren? c Fr. werden zu 5.5% angelegt. Der Anleger möchte erreichen, dass sein Guthaben auf Fr. anwächst. Wie viele Jahre würde das (ungefähr) dauern? Nach welcher Zeit hat sich das Kapital verdoppelt? 13. Eine Nährlösung enthält pro cm Keime. Nach Zugabe eines Desinfektionsmittels enthält die Lösung nach 2 Stunden noch Keime. a. Stelle die Zerfallsgleichung auf! b. Gib die prozentuale Änderung pro Stunde an. - Stelle die entsprechende Gleichung auf! c. Wie viele Keime enthält die Lösung nach 5 Stunden? d. Wann enthält die Lösung genau halb so viele Keime pro cm 3 wie zu Beginn? 14. Von Cäsium 137 zerfallen innerhalb eines Jahres etwa 2.3% seiner Masse. a. Stelle die Zerfallsgleichung auf. b. Wieviel Prozent des beim Reaktorunfall in Tschernobyl 1986 ausgetretenen Cäsiums sind noch vorhanden? c. Bestimme die Halbwertszeit von Cäsium

5 Lösungen 1. a) alle b) a = 3 c) keine 2. a) a = 9 b) a = 3 c) a = 2-9/5 d) a = π -1/2 3. a) Spiegelung an y-achse b) Spiegelung an y-achse c) Spiegelung an - und y-achse 4. a) unterhalb b) unterhalb c) auf 5. a) k = b) V c) s 6. a) linear b)eponentiell c) eher linear 7. a = 2: 4'600, 9'200, 18'400, a = : , , 31.4, a) m 3 b) m a) linear b) ep. c) linear d) ep. 11. B(220) = 175 Autos 12. a) Kn = b) 63% c) 13 Jahre 13. a) B(t) = t b) 8.7 % c) 19' d) 7.6 h 14. a) B(t) = B(0) t b) 47.87% c) a 5