Differenzenquotient und Differenzialquotient

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1 1 Differenzenquotient und Differenzialquotient 1. Die Oberfläche O eines kugelförmigen Ballons mit dem Radius r kann durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden: O(r)=4 r 2 π O(r) Oberfläche des Ballons in cm² beim Radius r r Radius des Ballons in cm Stellen Sie die Funktion O grafisch dar. Lesen Sie aus dem Graphen ab, wie sich die Oberfläche des Ballons ändert, wenn sich der Radius von r = 1 cm auf r = 3 cm ausdehnt Berechnen Sie die Zunahme der Oberfläche, wenn sich der Radius von 4,5 cm auf 9 cm ausdehnt. Geben Sie eine Formel für die durchschnittliche Änderung der Oberfläche des Ballons bezüglich der Radien im Radiusintervall [r 1 ; r 2 ] an. Berechnen Sie die relative Änderung der Oberfläche in Bezug auf die Radien aus dem Radiusintervall [10; 11]. 2. Der Luftdruck p kann bei einer Temperatur von 0 C näherungsweise durch die folgende Gleichung angegeben werden: p(x)= , ( x x+1, ) p(x) Luftdruck in Hektopascal (hpa) in der Höhe x x Höhe über dem Meeresspiegel in m Eine Seilbahn hat ihre Talstation in einer Höhe von 997 m und die Bergstation in 2020 m Seehöhe. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate für den Luftdruck zwischen Tal- und Bergstation. Um von der Tal- zur Bergstation zu gelangen, fährt die Bahn 6 Minuten. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate für den Luftdruck pro Minute. 3. Eine Radfahrerin ist auf dem Heimweg. Ihre Entfernung von zu Hause kann durch die folgende Funktionsgleichung angegeben werden: s( t)= 16 t+72 s(t) Abstand von zu Hause in km zum Zeitpunkt t t Zeit in h Zeichnen Sie den Graphen der Funktion s. Lesen Sie aus dem Graphen ab, wann sie voraussichtlich zu Hause ankommen wird. Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit der Radfahrerin zwischen der Startzeit und dem Zeitpunkt des zu Hause Ankommens. 4. Die Ausbreitung einer Schockwelle nach einer atomaren Explosion kann annähernd durch die folgende Gleichung beschrieben werden: s(t)=1,65 t 2 +3,3 t mit 0 t 3 s(t) zurückgelegter Weg der Welle in km zum Zeitpunkt t Berechnen Sie die mittlere Änderungsgeschwindigkeit der Welle in den folgenden Zeitintervallen: [0,5; 1,1][0,5; 0,6] und [0,5; 0,5001]. Berechnen Sie, wie lange die Schockwelle benötigt, um eine Insel in 11,5 km Entfernung zu erreichen. Dokumentieren Sie, wie man die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt

2 2 berechnen kann. Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. 5. In einem zylindrischen Bottich befinden sich 25 Liter Regenwasser. Das Regenwasser wird langsam ausgelassen. Das noch im Bottich vorhandene Wasservolumen kann ungefähr durch die folgende Funktionsgleichung beschrieben werden: V (t )=(25 2 t) 2 V(t) verbleibendes Volumen im Bottich in Liter zum Zeitpunkt t Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Bottich leer ist. Schreiben Sie eine Formel an, mit welcher die mittlere Volumenänderung im Intervall [t; u] berechnet werden kann. Berechnen Sie für die folgenden Zeitintervalle die mittlere Volumenänderung: [3; u] für u = 3,5; 3,1; 3,01; 3,001. Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Volumenänderung zum Zeitpunkt t = 3. Schreiben Sie eine Formel an, welche die relative Änderung des Volumens im Intervall [3; 3,001] in Prozent angibt. 6. Der Seite a (in cm) eines Quadrats wird ihr Flächeninhalt A (in cm²) zugeordnet. Erstellen Sie eine saubere Skizze des Graphen A. Stellen Sie eine Formel auf, mit welcher man die durchschnittliche Änderungsrate des Flächeninhaltes berechnen kann, wenn die Seitenlänge des Quadrats von 5 cm auf 8 cm zunimmt. Berechnen Sie die relative Änderung des Flächeninhaltes in Prozent, wenn die Länge der Seite des Quadrats von 5 cm auf 8 cm zunimmt. Berechnen Sie die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts für die Seitenlänge a Die Marktforschungsabteilung eines Unternehmens hat herausgefunden, dass bei einem Budget von x Tausend Euro für Werbung die Anzahl n der verkauften Stück ihres Produktes näherungsweise durch folgende Gleichung beschrieben werden kann: n(x)= x x mit 0 x 100 n(x) Anzahl der verkauften Stück bei einem Budget von x x Tausend Euro für die Werbung Erstellen Sie einen Graphen für die Funktion n. Achten Sie auf die richtige Beschriftung und Skalierung der Achsen. Berechnen Sie, wie sich die Anzahl der verkauften Stück durchschnittlich ändert, wenn sich das Werbebudget im Intervall [30; 60] bewegt. Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Anzahl der verkauften Stück für ein Budget von x = Als Folge der großen Überschwemmungen ist in einem Ort eine Grippeepidemie ausgebrochen. Das Gesundheitsamt stellt fest, dass die Anzahl A der Erkrankten näherungsweise durch die folgende Gleichung beschrieben werden kann: A(t )=48 t t 2 mit t [0 ; 48] A(t) Anzahl der Erkrankten zum Zeitpunkt t t Zeit in Tagen

3 Erstellen Sie den Graphen der Funktion A. Schreiben Sie eine Formel an, mit welcher man die Änderung der Anzahl der Erkrankten in Prozent vom 5.ten auf den 20.igsten Tag berechnen kann. Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl der Erkrankten pro Tag vom 15.ten auf den 30.igsten Tag. Stellen Sie die Funktionsgleichung der 1. Ableitung auf. Lesen Sie aus dem Graphen der Funktion A ab, nach wie vielen Tagen die Anzahl der Erkrankten den Höhepunkt überschritten hat. 9. Die Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers bei der absoluten Temperatur T kann ungefähr durch die folgende Funktionsgleichung beschrieben werden: I (T )=σ T 4 I(T) Intensität der Strahlung in Watt pro Quadratmeter (W/m²) bei der Temperatur T T Temperatur in Kelvin (K) σ=5, W m 2 K 4 Skizzieren Sie grob den Verlauf des Graphen dieser Funktion. Berechnen Sie die Höhe der Strahlungsintensität bei einer Temperatur von 285 K. Schreiben Sie eine Formel für die durchschnittliche Änderung der Strahlungsintensität im Zeitintervall [280; 285] an. Berechnen Sie die Änderungsrate der Strahlungsintensität bei der Temperatur 286 K. 10.Der Strömungswiderstand F eines mit dem Geschwindigkeit v fliegenden Flugzeugs kann ungefähr durch die Gleichung F (v)=2,3 v 2 beschrieben werden. F(v) Strömungswiderstand in Newton bei der Geschwindigkeit v v Geschwindigkeit in km/h Zeichnen Sie den Graphen von F für den Geschwindigkeitsbereich [400; 1000]. Lesen Sie aus dem Graphen die durchschnittliche Änderung des Strömungswiderstandes für den Geschwindigkeitsbereich [750; 900] ab. Berechnen Sie die Änderungsrate des Strömungswiderstandes für die Geschwindigkeit v = 900 km/h. 11.Der Lichtpunkt auf einem Bildschirm bewegt sich längs einer Kurve, die durch den Graphen der Funktion f beschrieben wird: f (x)=0,9 (x 3 x). Berechnen Sie die Steigung der Tangente im Punkt P = (2 / f(2)). Zeichnen Sie in den Graphen von f das Steigungsdreieck der Tangente ein. Stellen Sie eine Formel auf, mit welcher man den Steigungswinkel der Tangente berechnen kann. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen in Bezug auf das Monotonieverhalten. Lesen Sie aus dem Graphen die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von f mit den beiden Achsen ab. 12.Wird ein Körper mit der Abschussgeschwindigkeit v 0 lotrecht nach oben geschossen, so ist seine Höhe durch folgende Gleichung gegeben: h(t)=v 0 t 5 t 2 h(t) Höhe des Körpers in m zum Zeitpunkt t Erstellen Sie den Graphen der Funktion h für v 0 = 64 m/s. 3

4 4 Lesen Sie aus dem Graphen ab, zu welchen Zeitpunkten der Körper eine Höhe von 25 m hat. Berechnen Sie, wann der Körper wieder auf dem Boden auftrifft. Ernst behauptet, dass nach 6,4 Sekunden die Geschwindigkeit des Körpers Null ist. Begründen Sie, ob Ernst mit seiner Behauptung Recht hat. 13.Eine Firma erzeugt Fernsehgeräte. Die Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E sind bekannt. K ( x)=500 x E (x)=1250 x x2 4 K(x) Erzeugungskosten in beim Verkauf von x Stück E(x) Einnahmen in beim Verkauf von x Stück x Anzahl der Fernseher Erstellen Sie die Graphen beider Funktionen in demselben Koordinatensystem. Lesen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte ab. Interpretieren Sie die Bedeutung der Schnittpunkte im Sachzusammenhang. Berechnen Sie die durchschnittliche Änderung der Kosten bei der Produktionszunahme von x = 3000 auf x = 3200 Stück. Berechnen Sie die relative Änderung der Erlösfunktion, wenn der Verkauf der Fernsehgeräte von x = 2800 Stück auf x = 2780 Stück abnimmt. Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Erlösfunktion beim Verkauf von x = 2000 Stück. 14.Das Wachstum einer Pflanze lässt sich annähernd durch folgende Funktion beschreiben: 6 w (x)=. 1+9e 0,38 x w(x)...größe der Pflanze in cm zum Zeitpunkt x x Zeit in Tagen Berechnen Sie die Größe der Pflanze nach 3, 14, 21, 56 Tagen. Vergleichen Sie die Größen und stellen Sie eine Vermutung die Größe betreffend auf. Argumentieren Sie, ob die Pflanze nach 3 oder nach 14 Tagen schneller wächst. Fertigen Sie eine Skizze an. Beschreiben und begründen Sie den Funktionsverlauf.

5 5 Ergebnisse: 1) Verneunfachung; Vervierfachung; O (r 2 ) O (r 1 ) r 2 r 1 ; 84π cm²/cm 2) -0,1027 hpa/m; -17,52 hpa/min 3) 4,5 h; 16 km/h 4) 5,94 km/s; 5,115 km/s; 4,95 km/s; 1,823 s; 9,3159 km/s 5) V (u) V (t) V (3,001) V (3) ; -74; -75,6; -75,96; -76 l/s; -52 l/s; 100 u t V (3) 6) A(8) A(5) 8 5 ; +156%; A (a 1 ) =2a 1 7) 10 Stück/Tausend ; 0 Stück/Tausend 8) A(20) A(5) 100 ; 3 Erkrankungen/Tag; A (t) = 48 2t; ab 25.Tag A(5) 9) 373,95 W/m²; I (285) I (280) ; 5,304 W/m²/K 10) 3795 N/(km/h); 4140 N/(km/h) 11) 9,9; α = arctan (9,9); streng monoton steigend: ]- ; -0,6[ und ]0,6; [, streng monoton fallend: ]-0,6; 0,6[; mit x-achse: (-1/0), (0/0), (1/0), mit y-achse: (0/0) 12) 0,4 s; 12,4 s; 12,8 s; h (6,4) = 0 13) (140/170000), (2860/ ); Gewinnbereich; 500 /Stück; +0,1%; 250 /Stück 14) 1,547, 5,747, 5,982, 6 cm; Pflanze wird nicht größer als 6 cm; w (3) = 0,436, w (14) = 0,092 => Wachstum stärker nach 3 Tagen