2 Gleichmässig beschleunigte Bewegung

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1 2 Gleichmässig beschleunigte Bewegung Ziele dieses Kapitels Du kennst die Definition der Grösse Beschleunigung. Du kannst die gleichmässig beschleunigte Bewegung im v-t- und s-t-diagramm darstellen. Du kannst Berechnungen zur gleichmässig beschleunigten Bewegung durchführen. 2.1 Beschleunigung Ändert sich die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers, so führt er eine beschleunigte Bewegung aus. Beschleunigung = Geschwindigkeitsänderung abgelaufene Zeit oder a = v m t, Enheit: [a] = s s = m s 1 s = m s 2 Aufgaben 1. Freier Fall: Sieht man von der Luftreibung ab, so fallen auf der Erde alle Körper unabhängig davon wie schwer sie sind mit der gleichen Beschleunigung zu Boden. In Erinnerung an den grossen Wissenschaftler Galilei bezeichnet man die Fallbeschleunigung mit g = 9.81m/s 2. Durch einen Windstoss fällt ein Blumenstock aus einem oberen Stock auf die Strasse. Max schätzt, dass der Blumenstock zwei Sekunden unterwegs war. Mit welcher Geschwindigkeit schlägt der Blumenstock am Boden auf? 2. Beschleunigung eines Autos: Beim Autofahren wird der Tacho beobachtet. Die folgende Bildsequenz zeigt den Tacho im Abstand von jeweils 4 s. (a) Entnimm den Bildern jeweils die Geschwindigkeit und rechne sie in m/s um. (b) Berechne die mittlere Beschleunigung zwischen dem Start und der 4. Sekunde, zwischen der 4. und der 8. Sekunde, zwischen der 8. und der 12. Sekunde und zwischen der 12. und der 16. Sekunde. (c) Berechne die durchschnittliche Beschleunigung von 0 auf Airbus A-380: 11

2 Der neue Airbus A-380 beschleunigt mit a = 2.22 m/s 2. Zum Abheben braucht er eine Mindestgeschwindigkeit von v = 320km/h. Wie lange dauert die Beschleunigungsphase auf der Startbahn? 4. U-Bahnfahrt: (a) Die U-Bahn fahre mit einer mittleren Beschleunigung von 1.2 m/s 2 von der Haltestelle los. Wie lange dauert es, bis sie die Geschwindigkeit 72 km/h erreicht hat? (b) Die Bahn fährt gleichförmig 25 Sekunden lang mit der Geschwindigkeit 72 km/h. Welche Strecke legt sie dabei zurück? (c) Für das Abbremsen bis zur nächsten Haltestelle hat der Zugführer noch 14 s Zeit. Wie gross muss dafür die Bremsverzögerung der Bahn sein? 2.2 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm Beispiel zu gemäss Ein Stein fällt mit einer Beschleunigung von a = g = 10m/s 2. Seine Geschwindigkeit nimmt laufend v = a t Erstelle das v-t-diagramm. Zeit t [s] Geschwindigkeit v [m/s] 12

3 Das Diagramm zeigt, dass sich eine gleichmässig beschleunigte Bewegung im v-t-diagramm durch eine lineare Funktion darstellen lässt (eine Gerade). Die Steigung der linearen Funktion entspricht der Beschleunigung. 2.3 Der Weg bei der gleichmässig beschleunigten Bewegung Wird ein Körper gleichmässig beschleunigt, so nimmt seine Geschwindigkeit gleichmässig zu. Das heisst aber, dass der Weg, den der Körper zurückgelegt, in gleichen Zeitabschnitten t mit wachsender Geschwindigkeit immer grösser wird. Das s-t-diagramm ist also sicher keine Gerade, sondern eine Kurve mit immer grösser werdender Steigung. Wir untersuchen den Bewegungsablauf genauer mit der Luftkissenfahrbahn: Ein Wagen fährt die leicht geneigte Luftkissenbahn herunter. Durch das Luftkissen wird erreicht, dass die Reibung fast ausgeschaltet wird, durch die Neigung handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung. Schon Galileo Galilei untersuchte diese Art von Bewegungen mit einer so genannten Fallrinne: Das Ziel Galileis war es zu untersuchen, wie die Zeit, in der seine Kugel unterwegs ist, mit dem zurückgelegten Weg zusammenhängt. Mit der Luftkissenbahn erhält man das Ergebnis, dass die Zeit, die der Wagen zwischen den in immer wieder grösser werdenden Abständen im Verhältnis 1 : 3 : 5 : 7 : 9 aufgestellten Markierungen bleibt, immer gleich gross ist. 13

4 2.4 Das s-t-diagramm Der Graph im s-t-diagramm einer beschleunigten Bewegung ähnelt einem Parabelstück. Dieser Zusammenhang zwischen der vom Beginn der Bewegung an verstrichenen Zeit t und der zurückgelegten Strecke s lässt sich auch rechnerisch herleiten: Wir können den zurückgelegten Weg bisher nur berechnen, wenn wir eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit haben. Dann könnten wir die Gleichung s = v t verwenden. Bei einer beschleunigten Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit aber ständig. Diese Änderung können wir aber mit einem kleinen Kunstgriff umgehen, indem wir einfach die mittlere Geschwindigkeit v der Bewegung betrachten. Da sich die Geschwindigkeit gleichmässig ändert, ist die mittlere Geschwindigkeit v genau die Hälfte der Endgeschwindigkeit. Für den Weg gilt also: s = v t = v 2 t = 1 2 vt Will man jetzt die Geschwindigkeit durch die Beschleunigung ersetzen, setzt man für v = a t ein und erhält: s = 1 2 vt = 1 2 at t = 1 2 at2 Der zurückgelegte Weg ist also direkt proportional zum Quadrat der verstrichenen Zeit ein solcher quadratischer Zusammenhang ergibt im Graphen eine Parabel. Beispiel wird. Zeichne das s-t-diagramm für einen frei fallenden Körper, der mit a = g = 10m/s 2 beschleunigt Zeit t [s] Strecke s [m] 14

5 2.5 s als Fläche im v-t-diagramm Auch bei der beschleunigten Bewegung kann die zurückgelegte Strecke s als Fläche im v-t-diagramm berechnet werden. Bemerkung: Die Strecke kann für jede Art von Bewegung als Fläche im v-t-diagramm berechnet werden. Im allgemeinen Fall handelt es sich dabei um ein Integral (siehe Differenzial- und Integralrechnung 3. und 4. MAR). Beispiel Ein Körper wird mit a = g = 10m/s 2 beschleunigt. Nach 10 s hat er eine Geschwindigkeit von 100 m/s erreicht. Das v-t-diagramm ist Die gesuchte Fläche ist eine Dreiecksfläche s = 1 2 vt 2.6 Zusammenfassung Für die gleichmässig beschleunigte Bewegung mit Start aus dem Stillstand ergeben sich folgende Formeln: a = konstant v = 1 2 v v = at = 2as s = 1 2 vt = 1 2 at2 = v2 2a Die letzte Gleichung ergibt sich, indem für t = v a eingesetzt wird. 15

6 Aufgaben 5. Ein Auto beschleunigt von 0 auf 100 km/h in 15 s. Berechne die Beschleunigung und den zurückgelegten Weg. 6. Ein Stein fällt von einem hohen Turm im freien Fall ohne Lufwiderstand hinunter. (a) Wie gross ist die Geschwindigkeit nach zwei Sekunden? (b) Welchen Weg fällt der Stein zwischen der dritten und vierten Sekunde? (c) Wie lange braucht der Stein, um eine Geschwindigkeit von 30 m/s zu erreichen? 7. Wanderfalken lassen sich vor dem Greifen einer Beute frei herabstürzen und erreichen dabei Geschwindigkeiten bis zu 130 km/h. Von welcher Höhe muss sich der Falke mindestens fallen lassen, um diese Geschwindigkeit zu erreichen? 8. Diagramme über Diagramme: In den folgenden Aufgaben sind Diagramme von Bewegungen vorgegeben. Die Aufgabe ist es, das gegebene Diagramm in ein gesuchtes Diagramm zu übersetzen. (a) (b) (c) 16

7 (d) hat Simon Ammann auf der Titlis-Schanze in Engelberg mit der Flugweite von 137 m einen neuen Schanzenrekord aufgestellt. Dabei erreichte er mit der Anlauflänge 120 m die Absprunggeschwindigkeit 90 km/h. Wie gross war die mittlere Beschleunigung beim Anlauf, und wie lang dauerte dieser Anlauf? 10. Eine Motorradfahrerin muss bei einem Rotlicht warten. Sobald die Ampel auf Grün geschaltet ist, startet sie mit der Beschleunigung von 4.5m/s 2. Wie viel Zeit benötigt sie für die ersten 20 m, und wie gross ist dann ihre Geschwindigkeit? 11. Eine Velofahrerin fährt eine Strecke von 60km mit einer Geschwindigkeit von 30km/h. Auf dem Rückweg eilt es und sie fährt mit 50km/h zurück. Wie gross ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für den Hin- und Rückweg zusammen? Lösungen 1. v = a t 20m/s = 72km/h 2. (a) t = 0s : v = 0m/s, t = 4s : v = 9.4m/s, t = 8s : v = 18m/s, t = 12s : v = 24m/s, t = 16s : v = 28m/s. (b) 2.4m/s 2, 2.2m/s 2, 1.5m/s 2, 1.0m/s 2. (c) 1.8m/s 2 17

8 3. t = v a = 88.89m/s 2.22m/s 2 = 40s s, 0.5 km, 1.4 m/s 2 5. a = 1.85 m/s 2, s = 1 2 at2 = 208 m 6. v = gt = 19.6 m/s, s 3 = 1 2 g 32, s 4 = 1 2 g 42, s = s 4 s 3 = 34.3m, t = v g = 3.1s 7. s = v2 2a = 66m 8. (a) (b) (c) 18

9 (d) 9. s = 120m und v = 90km/h = 25m/s Aus v 2 = 2as folgt a = v2 2s = 2.60m/s2 und aus a = v t folgt t = v a = 9.6s. 10. a = 4.5m/s 2, s = 20 m Aus s = 1 2 at2 folgt t = 11. s = 60km 2s a = 2.98s und v = 2as = 13.42m/s. Hinfahrt: v 1 = 30km/h, t 1 = s v 1 = 2h Rückfahrt: v 2 = 50km/h, t 2 = s v 2 = 6 5 h = 1h12min Durchschnittsgeschwindigkeit: v = s+s t 1+t 2 = 120km 16 5 h = 37.5km/h Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist nicht 40 km/h! 19