Lineare Funktionen Kapitel 7

Transkript

1 . Bestimmen Sie für folgende Funktionen die fehlenden Koordinaten: a) ( x) x 3 f A 8 / y; B 6 / y f ( x) x C 4 / y; D x / 7 f 3( x) 4x E / y; F x / 4 f ( ) 4 x x 4 G / y; H x / 0,5 5x 0, K x /3,75; L x / 9,5 b) c) d) 8 e) Gegeben ist die lineare Funktion f mit der Funktionsgleichung x, 5. a) Berechnen Sie für die ganzen Zahlen von 3 bis 3 die Funktionswerte von f und erstellen Sie eine Wertetabelle. b) Zeichnen Sie anschließend den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem. c) Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte P 5 /0,5, 33 / 64,5 P /,5 auf dem Graphen der Funktion f liegen. 3 8 P und 4 3. Gegeben ist die lineare Funktion f mit der Funktionsgleichung x. a) Berechnen Sie für die ganzen Zahlen von 3 bis 3 die Funktionswerte von f, erstellen Sie eine Wertetabelle. b) Zeichnen Sie anschließend den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem. c) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte P 8 / y P so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen. x /3 und 4. Überprüfen Sie rechnerisch, welche der folgenden Punkte auf den Graphen welcher der drei folgenden Funktionen liegen! P 6; P 8 / 0; P 3 / ; 6 / 8 / 3 P ; / 4 4 x 5 ; g ( x) x 6; h ( x) 4x P ; P / 3 5 6

2 5. Für zwei bestimmte lineare Funktionen f und g ergeben sich die folgenden beiden Wertetabellen. f x y,5,5 3 3,5 4 4,5 g x 3 3 y,5,5 6,5 0,5 a) Zeichnen Sie anhand dieser Wertetabellen die beiden Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem ein. b) Zeichnen Sie zu beiden Funktionsgraphen je ein Steigungsdreieck in Ihrer Skizze ein und geben Sie die zugehörige Steigung m an. Erläutern Sie ausführlich Ihre Vorgehensweise. c) Überprüfen Sie rechnerisch, ob eine der beiden Funktionsgleichungen x 7, 5 oder g ( x) x 4, 5 zu einer der durch die Wertetabellen gegebene Funktionen gehört oder nicht. Begründen Sie! 6. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen mit Hilfe der Steigung m und des y-achsenabschnitts b in ein Koordinatensystem ein und erläutern Sie ausführlich Ihre Vorgehensweise. a), 5x b) g ( x) x 0, 5 c) h ( x) x 3 7. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen mit Hilfe der Steigung m und des y-achsenabschnitts b in ein Koordinatensystem ein und erläutern Sie ausführlich Ihre Vorgehensweise. a) k ( x) x 3 b) l ( x) 3x 4 c) p ( x) 3 x, 5

3 8. Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der folgenden linearen Funktionen, indem Sie ein Steigungsdreieck einzeichnen und die Steigung m sowie den y-achsenabschnitt b aus der Zeichnung ablesen. Funktion f ; Funktion g Funktion h 9. Gegeben sind die beiden linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen mx und g( x) 0, 75x b. a) Welchen Wert müssen die beiden Variablen m und b annehmen, damit der Punkt P 4 / 6 auf den Funktionsgraphen von beiden Funktionen liegt? b) Zeichnen Sie die beiden Funktionsgraphen unter Berücksichtigung Ihrer Ergebnisse für m und b in ein Koordinatensystem ein.

4 0. Gegeben sind die Punkte P ( / 4) ; P ( /) und P 3 ( 6 / ).. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden f, die durch P und P 3 b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden f, die durch P und P c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden f, die durch P und P 3 a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion f, deren Graph durch den Punkt P (4 / 5) verläuft und die Steigung m 0, 75 hat. b) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte Q (5 / 6) und R ( 5 /,75) auf dem Graphen von f liegen. c) Zeichnen Sie anschließend den Graphen der Funktion sowie die Punkte P, Q und R in ein Koordinatensystem.. Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen x 3 und g ( x) x 5. a) Bestimmen Sie für beide Funktionen jeweils die Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen (S x und S y ). b) Zeichnen Sie beide Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. 3. Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen 4. 5 x 7 und g ( x),75x 35. a) Bestimmen Sie für beide Funktionen jeweils die Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen (S x und S y ). b) Zeichnen Sie beide Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion g, die durch die Punkte P ( 4 / 5,5) und P( /,75) b) Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte des Funktionsgraphen von g mit den Koordinatenachsen. c) Zeichnen Sie anschließend den Graphen der Funktion sowie alle bekannten Punkte in ein Koordinatensystem.

5 5. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion k, die durch die Punkte P (3 0,5/ ) und P,5 / 7) (4 b) Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte des Funktionsgraphen von k mit den Koordinatenachsen. c) Zeichnen Sie anschließend den Graphen der Funktion k sowie alle bekannten Punkte in ein Koordinatensystem. 6. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion g, die durch die Punkte P ( / 4,5) und P6 ( 4/ 4,5 ) 5 b) Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte des Funktionsgraphen von g mit den Koordinatenachsen. c) Zeichnen Sie anschließend den Graphen der Funktion g sowie alle bekannten Punkte in ein Koordinatensystem. 7. Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f x) x 5 und g ( x) x, 5. ( a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der beiden Funktionsgraphen. b) Zeichnen Sie beide Graphen mit Hilfe der y-achsenabschnitte und des Schnittpunktes S in ein geeignetes Koordinatensystem ein. 8. Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen x 0 und g ( x) 4 x 4. 5 a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der beiden Funktionsgraphen. b) Zeichnen Sie beide Graphen mit Hilfe der y-achsenabschnitte und des Schnittpunktes S in ein geeignetes Koordinatensystem ein. 9. Berechnen Sie jeweils den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen a) x 3 g ( x),5 x, 5 b) 3x g ( x) 3x c) x 3 g ( x) 4x 4

6 0. Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen, 5x b und g ( x) mx 6. a) Bestimmen Sie die fehlenden Variablen m und b so, dass sich die Graphen der Funktionen im Punkt / 4 S schneiden. b) Zeichnen Sie beide Graphen mit Hilfe der y-achsenabschnitte und des Schnittpunktes S in ein geeignetes Koordinatensystem ein.. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion h, die durch die Punkte S ( 5 / 4,5) und T(/ 0,75) b) Berechnen Sie anschließend die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von h mit der Funktion k ( x) 0,75x 4. c) Zeichnen Sie die Graphen von h und k in ein Koordinatensystem und markieren und benennen Sie alle bekannten Punkte.. Gegeben ist die Funktion f mit f x) x, 5. ( a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die parallel zur Geraden von f durch den Punkt Q ( / ) b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h, die orthogonal zur Geraden von f durch den Punkt R ( / 0,5) c) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Orthogonalen h mit dem Graphen von f. d) Zeichnen Sie die drei Graphen in ein Koordinatensystem und bezeichnen Sie alle bekannten Punkte. 3. Der Graph der linearen Funktion f verläuft mit der Steigung m 0, 5 durch den Punkt P ( / ), und der Graph der linearen Funktion g verläuft durch die Punkte R ( / 7,5) und Q (,5 / 6,5 ). a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der beiden Funktionen. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen. c) Verlaufen die beiden Funktionsgraphen orthogonal zueinander? Begründen Sie! d) Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem und bezeichnen Sie alle bekannten Punkte.

7 4. Die Punkte A ( /), B (8 / 4 ), C (5 / 4 ) und D (/ ) sind gegeben. a) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. b) Bestimmen Sie den Umfang dieses Parallelogramms. c) Überprüfen Sie, ob die Punkte auch ein Rechteck bilden. 5. Die Punkte A ( 0,5 /,5 ), B ( 5,5 /,5 ) und C ( 3,5 / 5,5 ) bilden das Dreieck ABC. a) Prüfen Sie rechnerisch nach, ob dieses Dreieck rechtwinklig ist. b) Prüfen Sie rechnerisch nach, ob dieses Dreieck gleichschenklig ist. 6. Mario arbeitet als Krankenpfleger in einer Rehabilitationsklinik. Sein Lohn setzt sich aus seinem Grundgehalt und eventuellen Überstundenvergütungen zusammen. Zur Zeit muss er besonders viele Überstunden leisten. Sein Bruttolohn im letzten Monat betrug daher 3.85, wobei er 4 Überstunden geleistet hatte. Im Monat davor waren es Bruttolohn mit 34 Überstunden. a) Mit Hilfe einer linearen Funktion kann man berechnen, wie hoch der Bruttolohn in Abhängigkeit von der Zahl x der geleisteten Überstunden ist. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion. Wie hoch ist Marios Grundgehalt, und wie viel bekommt er pro geleistete Stunde? b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wie viele Überstunden er theoretisch leisten müsste, um einen Bruttolohn von mindestens 4000 zu erreichen. c) Mario bekommt ein Angebot von einer anderen Klinik. Dort wird bei einem Grundgehalt von 3.80 eine Überstundenpauschale von 6,50 pro Stunde gezahlt. Erstellen sie auch hierfür eine Funktionsgleichung, die angibt, wie groß der Bruttolohn bei x Überstunden ist. d) Berechnen und erläutern Sie anhand der beiden Funktionsgleichungen, unter welchen Bedingungen dieses Angebot günstiger ist und wann nicht.

8 7. Johann Meyer hat sich eine kleine Werkstatt gemietet, in der er aufwendige Lampensysteme zusammenbaut. Seine Miet- und Heizkosten betragen.450 pro Monat. Für die einzelnen Bauteile gibt er zusammen 480 für jedes Lampensystem aus. Sein Verkaufspreis liegt bei 65 für ein Lampensystem. a) Geben Sie die Kostenfunktion an (monatliche Kosten in Abhängigkeit von der Zahl der produzierten Lampensysteme) und erläutern Sie deren Herleitung. b) Geben Sie die Erlösfunktion an (monatlicher Erlös in Abhängigkeit von der Zahl der verkauften Lampensysteme) und erläutern Sie deren Herleitung. c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionen aus a) und b), wie viele Lampensysteme er im Monat mindestens verkaufen muss, um Gewinne zu erzielen. 8. Eine Computer-Firma produziert spezielle hochwertige Tablet-PCs. Die Kosten für die Produktion dieser PCs setzen sich aus den sogenannten Fixkosten (für Strom und Maschinenkosten und anderes) sowie den Produktionskosten für jeden einzelnen PC zusammen. Die Gesamtkosten für die Produktion dieser PCs können daher mit einer linearen Funktion in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl x beschrieben werden. Die Buchprüfer der Firma haben festgestellt, dass bei der Produktion von 5 PCs insgesamt Kosten von.50 entstehen. Bei der Produktion von 40 PCs beliefen sich die Kosten auf Die Tablet-PCs werden für 350 das Stück verkauft, und aufgrund der großen Nachfrage kann die Firma auch alle produzierten PCs verkaufen. a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Kostenfunktion K (x) auf, die die Produktionskosten in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl x darstellt. Erläutern Sie ihre Vorgehensweise. b) Stellen Sie eine Funktionsgleichung der linearen Funktion E(x) auf, die den Erlös aus dem Verkauf der PCs in Abhängigkeit von der verkauften Stückzahl x angibt und erläutern Sie ihre Vorgehensweise. c) Die Firmenleitung beschließt, in den nächsten Monaten maximal für die Produktion auszugeben. Wie viele PCs können dann produziert werden, und wie hoch sind die Einnahmen in diesem Fall? Beantworten Sie die Fragen mit Hilfe der Funktionsgleichungen aus a) und b). d) Berechnen und erläutern Sie anhand der beiden Funktionsgleichungen aus a) und b), bei welchen Stückzahlen die Firma Gewinne erzielen kann. (Gewinn = Erlös - Kosten)

9 9. In einer Klinik wird ein Patient an den Tropf gelegt. Ihm wird aus einer Infusionsflasche Kochsalzlösung langsam und gleichmäßig in die Blutbahn eingeträufelt. Nach Minuten stellt die Krankenschwester fest, dass noch 450 Milliliter (ml) in der Flasche sind, nach 6 Minuten sind es noch 330 ml. a) Geben Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion f an, die den Inhalt der Flasche nach x Minuten angibt. b) Nach 5 Minuten möchte die Krankenschwester die Infusion nochmals überprüfen. Berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wie viele ml noch in der Flasche sein sollten, wenn sich die Tropfgeschwindigkeit nicht verstellt hat. c) Berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wann die Flasche leer ist. d) Wie lange würde die Infusion dauern, wenn bei gleicher Tropfgeschwindigkeit eine Flasche mit 0,75 Litern Inhalt benutzt würde? Berechnen sie dies mit Hilfe einer weiteren Funktionsgleichung f. 30. Die Kantine der Marienschule verkauft jeden Tag 46 Flaschen Cola. 8 Tage nach dem letzten Einkauf befinden sich noch 54 Flaschen im Kühlraum. a) Geben Sie die Funktionsgleichung an, die diesen Sachverhalt nach x Tagen beschreibt. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wie viele Flaschen sich nach 4 Tagen im Kühlraum befinden. c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wann spätestens nachgekauft werden muss, wenn immer mindestens 50 Flaschen im Lager sein sollen. 3. Der Öltank der Marienschule soll ausgetauscht werden, weil er undicht ist. Aus diesem Grund muss er vollständig leergepumpt werden. Nach 3 Minuten enthält er noch genau 50 und nach weiteren 0 Minuten nur noch 550 Liter. a) Bestimmen Sie die dazugehörige Funktionsgleichung. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wie viele Liter vorher im Tank waren. c) Unser Hausmeister hat zum Beaufsichtigen der vollständigen Leerung nur 45 Minuten Zeit. Überprüfen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), ob der Tank bis dahin geleert ist.