Proportionale Funktion
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- Valentin Stanislaus Siegel
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1 Hilfe 1 Proportionale Funktion Seite 1 Graphen proportionaler Funktionen verlaufen immer durch den Nullpunkt. Beispiele für Funktionsgleichungen: f(x) = 3x oder f(x) = 2x oder f(x) = 1 2 x Tipp: Gleichungen ohne Bruch vorher in einen Bruch umwandeln: f(x) = 3x f(x) = 3 1 x Beispiel: f(x) = 2x als Bruch schreiben f(x) = 2 1 x 1. Schritt: Steigungsdreieck einzeichnen. Dies zeichnet man immer beim Nullpunkt ein. " 2 " bedeutet: 1 nach rechts & 2 nach oben 1 2. Schritt: Den Graphen entlang des Steigungsdreiecks einzeichnen.
2 Hilfe 1 Proportionale Funktion Seite 2 Proportionale Funktionen können auch eine negative Steigung haben. Beispiele: f(x) = -3x oder f(x) = x Merke: Die Graphen beginnen dann oben links und verlaufen nach unten rechts. Beispiel: f(x) = f(x) = x 1. Schritt: Steigungsdreieck einzeichnen. Dies zeichnet man immer beim Nullpunkt ein. " 3 " bedeutet: 2 nach rechts & 3 nach UNTEN 2 2. Schritt: Den Graphen entlang des Steigungsdreiecks einzeichnen.
3 Hilfe 2 Proportionale Funktion Seite 1 Zuerst schaut man sich den Graphen an. Da er von unten links nach oben rechts verläuft, hat er eine positive Steigung. Also: f(x) = + x Dann zieht man eine Linie vom Nullpunkt aus nach rechts. (rote Linie) Dann zeichnet man dort nach oben, wo der Graph genau eine Zahl schneidet. Zähler Nenner Werte einsetzen: f(x) = 3 4 x
4 Hilfe 2 Proportionale Funktion Seite 2 Zuerst schaut man sich den Graphen an. Da er von oben links nach unten rechts verläuft, hat er eine negative Steigung. Also: f(x) = - x Dann zieht man eine Linie vom Nullpunkt aus nach rechts. Dann zeichnet man dort nach unten, wo der Graph genau eine Zahl schneidet. Zähler Nenner Werte einsetzen: f(x) = x
5 Hilfe 3 Lineare Funktion Seite 1 Graphen Linearer Funktionen verlaufen immer durch einen Punkt der y-achse. Diesen Punkt nennt man y-achsenabschnitt. (rot markiert) Beispiele für Funktionsgleichungen: f(x) = 3x + 1 oder f(x) = 1 2 x - 2 Tipp: Gleichungen ohne Bruch vorher in einen Bruch umwandeln: f(x) = 3x f(x) = 3 1 x Beispiel: f(x) = 3x + 3 als Bruch schreiben f(x) = 3 1 x Schritt: Steigungsdreieck einzeichnen. Dies zeichnet man immer beim y-achsenabschnitt ein. " 3 " bedeutet: 1 nach rechts & 3 nach oben 1 2. Schritt: Den Graphen entlang des Steigungsdreiecks einzeichnen. y-achsenabschnitt hier markieren
6 Hilfe 3 Lineare Funktion Seite 2 Lineare Funktionen können auch eine negative Steigung haben. Beispiele: f(x) = -3x + 1 oder f(x) = - 1 x Merke: Die Graphen beginnen dann oben links und verlaufen nach unten rechts. Beispiel: f(x) = f(x) = - 4 x Schritt: Steigungsdreieck einzeichnen. Dies zeichnet man immer beim y-achsenabschnitt ein. " 4 " bedeutet: 2 nach rechts & 4 nach UNTEN 2 2. Schritt: Den Graphen entlang des Steigungsdreiecks einzeichnen. y-achsenabschnitt hier markieren
7 Hilfe 4 Lineare Funktion Seite 1 Zuerst schaut man sich den Graphen an. Da er von unten links nach oben rechts verläuft, hat er eine positive Steigung. Man liest den y-achsenabschnitt ab und schreibt ihn in die Funktionsgleichung. (siehe unten, Mitte) Dann zieht man eine Linie vom y-achsenabschnitt aus nach rechts. Dann zeichnet man dort nach oben, wo der Graph genau eine Zahl schneidet. y-achsenabschnitt Hier: +3 Zähler Nenner Werte einsetzen: f(x) = x + 3
8 Hilfe 4 Lineare Funktion Seite 2 Zuerst schaut man sich den Graphen an. Da er von oben links nach unten rechts verläuft, hat er eine negative Steigung. Man liest den y-achsenabschnitt ab und schreibt ihn in die Funktionsgleichung. (siehe unten, Mitte) y-achsenabschnitt Hier: +4 Dann zieht man eine Linie vom y-achsenabschnitt aus nach rechts. Dann zeichnet man dort nach unten, wo der Graph genau eine Zahl schneidet. Nenner Zähler Werte einsetzen: f(x) = x + 4
9 Hilfe 5 Textaufgaben Seite 1 Funktionsgleichungen und alltägliche Dinge Man kann auch für alltägliche Dinge Funktionsgleichungen aufstellen. Die einzelnen Teile der Funktionsgleichung haben dann eine bestimmte Bedeutung. Ergebnis f(x) = m x + b Dieser Wert ist fix und verändert sich nicht Dieser Wert ist festgelegt und verändert sich, wenn man Zahlen für x einsetzt. z.b. ein Preis Der unbekannte Wert (hier kann man dann verschiedene Werte einsetzen) z.b. Anzahl Ein Beispiel: In einer Pizzeria kostet jede Pizza 6 Euro. Die Lieferung kostet 2. Stelle eine Funktionsgleichung für den Gesamtpreis auf.nun musst du zuerst überlegen welcher der Buchstaben für was steht: f(x) Gesamtpreis m x b 6 (die sind festgelegt, aber ändern sich wenn sich die Anzahl ändert) Anzahl der bestellten Pizzen 2 (Lieferung kostet immer gleich viel) Hier geht s weiter
10 Hilfe 5 Ein Beispiel: Textaufgaben Seite 2 In einer Pizzeria kostet jede Pizza 6 Euro. Die Lieferung kostet 2. Stelle eine Funktionsgleichung für den Gesamtpreis auf. f(x) Gesamtpreis m 6 (die sind festgelegt, aber ändern sich wenn sich die Anzahl ändert) x Anzahl der bestellten Pizzen b 2 (Lieferung kostet immer gleich viel) Werte für m und b einsetzen: f(x) = 6x + 2 Tipp: Übersetze dir deine Gleichung nochmal in einen Satz. Daran erkennt man, ob er Sinn macht: f(x) = 6 x + 2 Gesamtpreis = 6 Anzahl der Pizzen + Lieferung.
11 Station 1 Seite 1 Funktionen 1. Aufgabe: Funktionen findet man auch im Alltag, wie hier bei Temperatur. Hier wird einer Uhrzeit genau eine Temperatur zugeordnet. Fülle die Tabelle aus. Uhrzeit x Temperatur f(x) 2. Aufgabe: Lege für die Funktionsgleichungen eine Wertetabelle von 2 bis + 3 an und zeichne den Graphen. (Nutze deinen Taschenrechner ) a) f(x) = 3x 1 b) f(x) = 2x + 2 c) f(x) = -2x +1 d) f(x) = 1 2 x - 4 Beispiel: f(x) = 3x 2 Nun alle x-werte in die Gleichung einsetzen. x= -2 f(-2) = 3 (-2) 2 = -8 x= -1 f(-1) = 3 (-1) 2 = x f(x) -8
12 Station 1 Funktionen Seite 2 3. Aufgabe: Welche Funktionsgleichungen gehört zu welcher Wertetabelle? Wie geht das? Setze einen x-wert in eine Gleichung ein. Kommt der passende f(x)-wert heraus gehören sie zueinander. a) f(x) = 3x 2 x f(x) b) f(x) = 2,5x + 1 c) f(x) = -2x + 0,5 d) f(x) = 1 2 x + 2 x f(x) 1 1,5 2 2,5 3 3,5 x f(x) 4,5 2,5 0,5-1,5-3,5-5,5 x f(x) -4-1,5 1 3,5 6 8,5
13 Lösung Aug. 2
14 Lösung Aug. 1 Temperatur f(x) Uhrzeit x Lösung Aug. 3 a) f(x) = 3x 2 b) f(x) = 2,5x + 1 x x f(x) f(x) -4-1,5 1 3,5 6 8,5 c) f(x) = -2x + 0,5 x f(x) 4,5 2,5 0,5-1,5-3,5-5,5 d) f(x) = 1 2 x + 2 x f(x) 1 1,5 2 2,5 3 3,5
15 Station 2 Proportionale Funktionen 1. Aufgabe: Zeichne die Graphen mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Hilfe 1 Hilfe 2 a) f(x) = 4x b) f(x) = 4 3 x c) f(x) = -2x d) f(x) = -1 2 x 2. Aufgabe: Gib zu den Geraden eine Funktionsgleichung an. (mit Steigungsdreieck) a) b)
16 c) d) 3. Aufgabe: Überprüfe, ob die Punkte auf der Geraden liegen. x f(x) Beispiel: f(x) = 2x Liegt der Punkt P (4/8) auf der Geraden f(x) = 2x? x = 4 in die Gleichung einsetzen: Kommt 8 raus? f(x) = 2 4 = 8 Ja! Stimmt a) f(x) = 4x P (3/12) b) f(x) = 3x C (2/7) c) f(x) = -0,5x A (4/-2) d) f(x) = 3 x P (4/3) e) f(x) = -0,1x P (-20/-2) 4
17 Lösung Aufgabe 1:
18 Lösung Aufgabe 2: a) f(x) = 2 3 x oder f(x) = 4 6 x b) f(x) = 1 3 x oder f(x) = 2 6 x c) f(x) = x oder f(x) = -4x d) f(x) = x Aufgabe 3: a) f(x) = 4x P (3/12) f(x) = 4 3 = 12 Stimmt b) f(x) = 3x C (2/7) f(x) = 3 2 = 6 Stimmt nicht c) f(x) = -0,5x A (4/-2) f(x) = -0,5 4 = -2 Stimmt d) f(x) = 3 x P (4/3) f(x) = 3 4 = 3 Stimmt 4 4 e) f(x) = -0,1x P (-20/-2) f(x) = -0,1 (-20) = 2 Stimmt nicht
19 Station 3 Lineare Funktionen 1. Aufgabe: Zeichne die Graphen mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Hilfe 3 Hilfe 4 a) f(x) = 2x 1 b) f(x) = 1 3 x + 2 c) f(x) = 3x 5 d) f(x) = -2x + 4 e) f(x) = x Aufgabe: Gib zu den Geraden eine Funktionsgleichung an. (mit Steigungsdreieck) a) b)
20 c) d) 3. Aufgabe: Bestimme die Funktionsgleichung von folgenden linearen Funktionen. a) Der Graph besitzt die Steigung 3 und geht durch den Punkt P (1/7). b) Der Graph besitzt die Steigung -2 und geht durch den Punkt P (3/5). c) Der Graph besitzt die Steigung 5 und geht durch den Punkt P (4/10). d) Der Graph besitzt die Steigung - 1 und geht durch den Punkt P (6/2). 2 Beispiel: Der Graph besitzt die Steigung 2 und geht durch den Punkt P (5/12). Merke Es gilt: P (x/f(x)) Die Grundform der linearen Funktion lautet: f(x) = m x + b (m Steigung) Nun setzt du die 3 gegebenen Werte für m, x und y in die Grundform ein und löst die Gleichung: 12 = b 12 = 10 + b = b b = 2 b und m in die Grundform einsetzen: f(x) = 2x + 2 Fertig
21
22 Aufgabe 2: Lösung a) f(x) = 1 4 x + 3 b) f(x) = 5 1 x 1 = 5x - 1 c) f(x) = x + 6 = -4 2 x + 6 = - 2x + 6 d) f(x) = -1 5 x Aufgabe: a) Steigung 3; Punkt P (1/7). 7 = b 7 = 3 + b 7-3 = b b = 4 f(x) = 3x + 4 b) Steigung -2; Punkt P (3/5). 5 = b 5 = -6 + b 5+6 = b b = 11 f(x) = -2x + 11 c) Steigung 5; Punkt P (4/10). 10 = b 10 = 20 + b = b b = -10 f(x) = 5x - 10 d) Steigung - 1 ; Punkt P (6/2). 2 2 = b 2 = b 2+3 = b b = 5 f(x) = x + 5
23 Station 4 Textaufgaben Hilfe 5 Aufgabe 1: Eine Putzfrau verdient pro Stunde 12. Für die Anfahrt bekommt sie 5. a) Stelle eine Funktionsgleichung für die Gesamtkosten auf. b) Wie viel muss der Auftraggeber für 5 Stunden bezahlen? Aufgabe 2: Sina möchte ein schönes Bad nehmen. Sie hat zuerst 10 Liter richtig heißes Wasser in die Wanne eingefüllt. Nun füllt sie noch den Rest mit lauwarmem Wasser. Pro Minute sind das 5 Liter. a) Stelle eine Funktionsgleichung auf für das Füllen der Wanne (Füllmenge) auf. b) Wie lange dauert es noch, wenn in die Wanne 60 Liter Wasser passen? Aufgabe 3: Thomas und Sascha machen beide eine Fahrradtour. Das Ziel ist 90 km von Thomas entfernt. a) Thomas startet zu Hause und fährt durchschnittlich 30 km/h. Stelle eine Funktionsgleichung für seine zurückgelegte Gesamtstrecke auf. (Tipp: Hier gibt s in der Gleichung kein +b am Ende) b) Wie lange braucht Thomas bis zum Ziel? c) Sascha ist früher gestartet und hat 10 km Vorsprung.. Er fährt durchschnittlich 20 km/h. Stelle eine Gleichung für seine zurückgelegte Gesamtstrecke auf. d) Nach wie vielen Stunden wird Sascha von Thomas überholt? Aufgabe 4: Clara arbeitet für eine Versicherung und hat jeden Monat ein Gehalt von Für jeden Versicherungsvertrag, den sie abschließt bekommt sie weitere 50 Bonus. a) Stelle eine Funktionsgleichung für ihr Gesamtgehalt auf. b) Emma arbeitet für eine andere Versicherung und hat ein festes Gehalt von Sie bekommt leider keinen Bonus. Beschreibe welche Gehaltsregelung du besser findest. Ab wann ist Claras Regelung besser?
24 Aufgabe 1: a) f(x) = 12x + 5 Gesamtkosten = 12 Stunden + 5 (für die Anfahrt) b) f(x) = = 65 Aufgabe 2: Aufgabe 3: Lösung a) f(x) = 5x + 10 Füllmenge = 5 Liter Minuten + 10 Liter (die schon in der Wanne sind) b) 60 = 5x + 10 x muss 10 sein, damit die Gleichung stimmt. x = 10 (10 Minuten) = 5x 50 = 5x x = 10 a) f(x) = 30x Zurückgelegte Strecke = 30 km Stunde b) 90 km = 30x x muss 3 sein, damit die Gleichung stimmt x = 3 (3 Stunden) c) f(x) = 20x + 10 Zurückgel. Strecke = 20 km Stunde + 10 km (da er Vorsprung hat) d) Nach 1 Stunde wird Sascha überholt, weil dann beide 30 km geschafft haben. Thomas ist dann 30 km gefahren. Sascha zwar nur 20 km, aber er hat ja 10 kmvorsprung. Aufgabe 4: a) f(x) = 50x Gesamtgehalt = 50 Anzahl der Verträge (festes Gehalt) b) Emmas Regelung ist eigentlich gut, da man immer ein festes und gutes Gehalt hat. Claras Regelung ist besser bzw. genauso gut, wenn sie mindestens 12 Verträge abschließt: Gesamtgehalt = = 2100
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