Formeln für Formen 4. Flächeninhalt. 301 Berechne die Höhe h von einem Rechteck, einem Parallelogramm und einem Dreieck, die jeweils den Flächeninhalt

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1 1 7 Flächeninhalt 301 Berechne die Höhe h von einem Rechteck, einem Parallelogramm und einem Dreieck, die jeweils den Flächeninhalt A = cm 2 und die Grundlinie a = 4 cm haben. Rechteck: h = 2,5 cm Parallelogramm: h = 2,5 cm Dreieck: h = 5 cm 302 Berechne den Radius r eines Kreises, eines Halbkreises und eines Viertelkreises, die jeweils den Flächeninhalt A = cm 2 haben. Kreis: r = 1,78 cm Halbkreis: r = 2,52 cm Viertelkreis: r = 3,57 cm Kreisflächen und Teile davon 303 Der Radius der Figuren 1 bis 4 misst 4 cm. A Berechne den Flächeninhalt A und den Umfang u der vier Figuren. Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 A = 50,27 cm2 A = 37,7 cm2 A = 25,13 cm2 A = u = 25,13 cm u = 26,85 cm u = 20,57 cm u = 12,57 cm2 14,28 cm

2 2 7 B Stimmen die Aussagen? Begründe. Wenn ich den Flächeninhalt der Figuren 1 bis 4 kenne, kann ich jeweils den Radius und den Umfang berechnen. Ja, für den ganzen Kreis gilt die Formel A = π r 2, mit der man bei gegebenem Flächeninhalt den Radius berechnen kann. Den Umfang berechnet man mit der Formel u = π 2r. Da wir den Radius durch die gegebene Fläche berechnen können, können wir auch den Umfang berechnen. Bei den Kreisteilen muss man die Fläche zuerst zum Kreis ergänzen, bevor man den Radius errechnen kann. Bei einem Dreiviertelkreis (Figur 2) würde das so aussehen: A 4 = Fläche des ganzen Kreises. Daraus errechnet man den Radius 3 und daraus wiederum den Umfang. Im Beispiel von Figur 2 lautet die Formel u = 3 π 2r + 2r 4 Wenn ich den Umfang der Figuren 1 bis 4 kenne, kann ich jeweils den Radius und den Flächeninhalt berechnen. Ja, falls der Umfang gegeben ist, kann man daraus den Radius berechnen. Mit dem Radius kann man dann wiederum den Flächeninhalt berechnen. Wenn der Flächeninhalt verdoppelt wird, wird auch der Umfang verdoppelt. Nein, der Umfang verändert sich nicht proportional zum Flächeninhalt.

3 Berechnungen am Kreis Radius Durchmesser Umfang Flächeninhalt Kreis 1 cm Kreis 2 Kreis 3 Kreis 4 5 cm 20 cm 62,83 cm 314,16 cm 2 cm 1,59 cm 3,18 cm 31,42 cm 78,54 cm 2 cm 1,78 cm 3,57 cm 11,21 cm 7,96 cm 2 cm 2 A Betrachte die Tabelle. Gib an, welcher Kreis vermutlich den grössten Flächeninhalt hat und begründe. Kreis 1 hat den grössten Flächeninhalt, da er den grössten Radius besitzt. B Ergänze die Tabelle. Quader mit quadratischer Grundfläche 305 Die Höhe des Quaders ist doppelt so gross wie seine Seitenlänge. A Mach eine Skizze im Schrägbild. 2a a a

4 4 7 B Zeichne das Netz des Quaders. Mögliche Lösung: a 2a 2a a C Die Oberfläche des Quaders misst 1 2 cm 2. Berechne die quadratische Grundfläche G. G = 121 cm 2 D Berechne das Volumen V des Quaders. V = cm 3 E Gib zu dem vorgegebenen Quader eine Formel an oder stelle einen Ausrechnungsweg dar, wie du ausgehend von der Oberfläche die Seitenlänge bestimmst. Die Oberfläche besteht aus zwei Quadraten (a a) und vier Rechtecken (2a a). Insgesamt ist die Oberfläche a 2 = 1 2. Durch Auflösen der Gleichung erhält man a = 11 cm. 306 Das Volumen des Quaders mit quadratischer Grundfläche beträgt Wie gross kann die Seitenlänge der Grundfläche sein, wenn sie ganzzahlig ist? a 8 cm

5 5 7 Berechnungen am Zylinder 307 Die Höhe eines Zylinders ist doppelt so lang wie der Durchmesser der Grundfläche. A Mach eine Skizze im Schrägbild. 2d d B Zeichne das Netz des Zylinders. d 2d u = πd d

6 6 7 C Der Mantel des Zylinders misst cm 2. Berechne die Grundfläche G. G = 150 cm 2 D Berechne das Volumen V des Zylinders. V = 4 145,93 cm 3 E Gib zu dem vorgegebenen Zylinder eine Formel an oder stelle einen Ausrechnungsweg dar, wie du ausgehend von der Oberfläche die Seitenlänge bestimmst. Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus dem Mantel und zweimal der Grundfläche. Die Grundfläche beträgt r 2 π und der Mantel 2 (2r) 2r π = 8r 2 π. Durch Auflösen nach der Gleichung Oberfläche = 2r 2 π + 8r 2 π findet man r und somit die Seitenlänge 4r. 308 Ergänze die Tabelle. Zylinder 1 Zylinder 2 Zylinder 3 Zylinder 4 Zylinder 5 Zylinder 6 Mantel [cm 2 ] 628, , ,08 628,32 Durchmesser [cm] 5 Radius [cm] 5 Kreisfläche [cm 2 ] 78,54 314,16 2,5 19, , ,18 3, ,26 0,63 1,25 Höhe [cm] Volumen [cm 3 ] 785, ,6 196,3 785, ,5

7 Ein Rechteck, ein Rhombus, ein Trapez und ein Dreieck haben jeweils einen Flächeninhalt von 150 cm 2. Die Höhe misst jeweils. A Zeichne entsprechende Figuren. Rechteck Rhombus 12 cm Trapez 23,3 cm Dreieck 35,3 cm B Skizziere eine zweite mögliche Figur, wenn dies mit den vorgegebenen Angaben möglich ist. 17 cm Rhombus Trapez 18,3 cm Dreieck 35,3 cm