Lösungsvorschlag zur Übungsklassenarbeit 10/3

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1 Lösungsvorschlag zur Übungsklassenarbeit 10/ Michael Kopp α 1.1 -Release Aufgabe 1 Bei dieser Aufgabe muss man den gegebenen Körper in Teilkörper Zerlegen. Das Spitze Ende des Hammers kann man als Pyramide mit der Spitze S, Seitenkanten der Länge a und der Grundfläche mit Kanten der Länge s sehen. Den Mittelteil des Hammers kann man als Quader mit den Seitenlängen a, b und a sehen. Den stumpfen Teil des Hammers kann man als Prisma mit dreieckiger Grundfläche sehen, mit der Höhe a und den Längen c, c und a als Kanten der Grundseite. Länge SM des Hammerkopfes Die Länge des Hammerkopfes setzt sich aus folgenden Bestandteilen zusammen: h pyr Höhe der Pyramide b Länge des Hammermittelstücks h a Höhe der Grundfläche des Prismas Höhe der Pyramide Um die Höhe h pyr der Pyramide zu berechnen, verwendet man den Satz des Pythagoras. Das dazu verwendete Dreieck ist die halbe Diagonale der Grundseite der Pyramide 1 d g, die Höhe h pyr und die Seitenkante s der Pyramide. d g = a + a = 6, , 01 7, 1cm s = ( 1 d g) + h pyr h pyr = s ( 1 d g) 6, cm Höhe der Prismengrundseite Um die Höhe h a der Prismengrundfläche zu berechnen, verwendet man den Satz des Pythagoras. Das dazu verwendete Dreieck hat die Seitenlängen c, a und h a ) + h a = c ) h a = c, 09cm Der Hammerkopf ist von S bis M also insgesamt h pyr + b + h a 6, cm + 8, cm +, 09cm = 16, 67cm lang. 1

2 Masse des Hammerkopfes Um die Masse des Hammerkopfes berechnen zu können, muss man zuerst das Volumen der Teilstücke ausrechnen. Wichtig ist dabei aber, dass man aus dem Mittelstück das Volumen der Ausbohrung abziehen muss. Volumen der Pyramide Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, verwendet man die Formel V pyr = 1 G pyr h pyr Die Grundfläche G pyr berechnet sich einfach mit G pyr = a = 6, 01cm Die Höhe h pyr ist vorher berechnet worden, also lässt sich das Volumen einfach ausrechnen: V pyr = 1 G h pyr, 01cm Volumen des Mittelteils Vom Volumen des Quaders muss das Volumen der Bohrung abgezogen werden. Das Volumen des Quaders berechnet sich mit V Q = a a b = 1, 88 Die Bohrung kann man als Zylinder sehen, mit Radius r = d und Höhe a. Das Volumen der Ausbohrung berechnet sich nach V B = r π a, 0cm Für das Volumen V M des Mittelstückes rechnet man also einfach Volumen des Prismas am Hammerende V M = V Q V B 190, 88cm Das Volumen des Prismas berechnet sich mit V pris = G pris a. Um die Grundfläche G pris zu berechnen, rechnet man Das Volumen V pris berechnet sich dann einfach mit G pris = 1 a h a, cm V pris = G pris a 7, cm Das Volumen des Körpers insgesammt ist also V pyr + V M + V pris 7, 1cm. Um Jetzt die Masse ausrechnen zu können, benutzt man die Formel ρ = m V. Aufgelöst nach m ergibt sich bei einer Dichte von ρ = 7, 8 g cm : Der Hammerkopf ist also ca.,1 kg schwer. Aufgabe Volumen des zylinderförmigen Gefäßes m = ρ V 1, 71g, 1kg G zyl = r π 78, 0cm V zyl = G zyl h zyl 78, 98cm

3 Volumen des kegelförmigen Gefäßes G keg = r π 78, 0cm V keg = 1 G keg 61, 799cm a) Wenn das kegelförmige Gefäß gefüllt ist, ist von 0,9 l Wasser - also 900cm - nur noch V zyl,neu = 900 V keg 68, 01cm vorhanden. Diese werden nun in das zylinderförmige Gefäß gegeben. Um die Höhe h zyl,neu zu berechnen, stellt man die Formel V zyl,neu = G zyl h zyl,neu nach h zyl,neu um: h zyl,neu = V zyl,neu G zyl 8, 16cm Ist das kegelförmige Gefäß voll, so beträgt der Wasserstand im zylinderförmigen ca. 8,16 cm. b) Wenn das zylinderförmige Gefäß gefüllt ist, ist von 900cm Wasser nur noch V keg,neu = V w = 900 V zyl 11, 60cm vorhanden. Diese werden nun in das kegelförmige Gefäß gegeben. Um die Höhe,neu = h w zu berechnen, muss man zuerst die Wasserfläche G w berechnen. Es geht schließlich nicht um das Volumen des Gefäßes, sondern nur um das Volumen des kegelförmigen Gefäßes, in dem Wasser ist. 1 Dazu verwendet man den Strahlensatz. Aufgrund der Schwerkraft wird der Wasserspiegel in dem kegelförmigen Gefäß immer parallel zum Grundkreis sein. Der Radius r w der Wasserfläche verhält sich deshalb zum Radius der Grundfläche r wie die Höhe des Wassers h w zur Höhe des kompletten kegelförmigen Gefäßes : Aufgelöst nach r w ergibt sich: r w r = h w r w = h w r Nun setzt man das in die Formel V w = 1 G w h w, wobei G w = r w π ist: V w = 1 ( ) hw r π h w Das kann man nun einfach auflösen nach h w : h w = V w h keg π r 7, 9cm Ist das zylinderförmige Gefäß voll, so beträgt der Wasserstand im kegelförmigen Gefäß ca. 7,9 cm. Aufgabe Der kleine, innere Kreis hat den Radius r k und den Flächeninhalt A k, der Große, äußere Kreis hat den Radius r g und den Flächeninhalt A g. Es soll nun gelten, dass alle Teilstücke der Zeichnun gleich groß sind. Ein Teilstück des äußeren Ringes lässt sich berechnen, indem man die Fläche A g ausrechnet, davon A k abzieht und diesen Wert durch teilt: A t = A g A k 1 Bei der vorangegangenen Aufgabe war das nicht nötig, weil in einem Zylinder die Fläche des Wassers immer gleich der Fläche des Gefäßes ist, weil hier ja die Gefäßwände nicht aufeinander zu laufen. Der waagerechte Querschnitt des Zylinders ist an jeder Stelle gleich groß.

4 Eines dieser Teilstücke soll nun so groß sein, wie der komplette innere Kreis A k. Es gilt also: A t = A k A g A k = A k Setzt man für die einzelnen Kreisflächen A = r π ein und multipliziert die Gleichung mit durch, so ergibt sich: r k π = r g π r k π Addiert man nun zu jeder der beiden Seiten der Gleichung rk π, so ergibt sich: r k π = r g π Teilt man nun durch π und und zieht anschließend die Wurzel, so ergibt sich: r g r k = = 1 r g Da für r g kein richtiger Wert vorliegt, ist die Lösung der Aufgabe: r muss so gewählt werden, dass r = rg gilt. Aufgabe Umfang Der Umfang der zu berechnenden Fläche setzt sich aus folgenden Einzelteilen zusammen: zwei Kreisbögen, die jeweils 1 Kreis mit Radius a ausmachen (am rechten Ende der Fläche) einem Kreisbogen, der 1 Kreis mit dem Radius b ausmacht (am linken Ende der Fläche). zweimal der Strecke a - an der oberen und an der unteren Seite linker Kreisbogen Um auf den Radius des linken Kreisbogens zu kommen, benötigt man den Satz des Pythagoras. Die gestrichelte Länge sei b. Da man weiß, dass in der Mitte der Figur ein Quadrat ist, kann man ein Dreieck aussuchen, das die Seiten b, b und a hat (das linke, gestrichelte Dreieck). In ihm gilt nun: b + b = a b = a Da b der Radius des linken Kreisbogens ist, hat dieser nun also die Länge: Nun kann man b ersetzen und vereinfachen: U l = b π U l = a π = b π = a π rechte Kreisbögen Da die rechte Spitze genau über der Mitte der Strecke a liegt, kann man folgern, dass rechts ein gleichseitiges Dreieck zwischen die Spitze und die Ecken des Quadrates in der Mitte der Figur gezeichnet werden kann. Man macht sich dann die Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks zunutze, dass alle Seiten gleich lang sind. So ist der Radius der beiden Kreisbögen a. Eine weitere Eigenschaft des gleichseitigen Dreiecks ist, dass es drei Winkel mit β = 60 hat. Für die beiden Kreisbögen gilt also jeweils: 60 U r = a π 60 = a π

5 Es ergibt sich also insgesammt als Umfang: Flächeninhalt U = U l + a + U r = a π + a + a π = a ( ( 1 + π + )), 0 a Die Fläche der Figur kann man intelligent berechnen, wenn man von dem mittleren Quadrat das linke Kreissegment abzieht und rechts zu der Gleichseitigen Dreieck die beiden Kreissegmente dazuzählt. linkes Kreissegment Das linke Kreissegment ist 1 Kreis mit Radius b, von dem man ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite b und Höhe b abziehen muss: S l = b π 1 ( π b b = b 1 ) Nun kann man b wieder ersetzen und vereinfachen: rechte Kreissegmente S l = a ( π 1 ) ( ) π = a 8 Das rechte Kreissegment ist ein Kreis mit dem Radius a, von dem man ein Gleichseitiges Dreieck mit den Seiten a abziehen muss. Die Höhe dieses gleichseitigen Dreiecks berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras: ) h D = a = a Seine Fläche ist also: A D = 1 a h D = a Für das Kreissegment ergibt sich also: ( S r = a 60 π 60 a = a π ) 1 Insgesammt ergibt sich für die Fläche also: ( ) ( π A = a S l + A D + S r = a a + 8 a + a π ) 1 ( ( ) ( π = a π )) 1, 71 a 6 da α = 90