Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 9 2. Semester ARBEITSBLATT 9 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA

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1 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 9. Semester ARBEITSBLATT 9 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA Definition: Prismen haen deckungsgleiche (kongruente), parallele und eckige Grund- und Deckflächen. Die Seitenkanten sind alle gleich lang und zueinander parallel. Stehen die Seitenkanten normal auf die Grundfläche, so nennt man das Prisma gerade, ansonsten nennt man es schief. Beispiel: Gerades, sechseitiges Prisma Seitenkante Höhe Erklärung: Kante ist sichtar Kante ist unsichtar Definition: Unter der Höhe eines Prismas versteht man den Astand zwischen Grund- und Deckfläche. 1

2 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 9. Semester Beispiel: Schiefes, vierseitiges Prisma Höhe Satz: Für das Volumen (= Jene Menge Flüssigkeit, welche man in den Körper schütten könnte) gilt für das Prisma: Volumen = Gundfläche Höhe oder agekürzt V = G h Satz: Für die Oerfläche (= Flächeninhalt der Hülle des Körpers) gilt: Oerfläche = Grundfläche + Mantelfläche oder agekürzt O = G + M. Als Mantel ezeichnet alle Seitenflächen zusammen. Sonderformen von Prismen: DER QUADER Definition: Ein Prisma mit rechteckiger oder quadratischer Grund- und Deckfläche nennt man einen Quader. Beispiel: Rechteckiger Quader E H F G c Legende: a=länge =Breite c=höhe D C A a B Für die Volums- und Oerflächenerechnung gilt:

3 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 9. Semester Satz: V = G h O = G + M = a + ac + c DER WÜRFEL Definition: Ein Quader, ei dem alle Seitenkanten gleich lang sind (a = = c) nennt man einen Würfel. Für die Volums- und Oerflächenerechnung gilt: Satz: V = a O = 6a Beispiel: Berechne für das gegeene Prisma 1) das Volumen, ) die Oerfläche. a) Zündholzschachtel: a = 5, cm; =,4 cm, c = 1,5 cm ) Quadratischer Pfeiler: a = 6 cm, h = 1,84 m c) Würfelförmiger Baustein: a = 7,4 cm Lösung: a) Eine Zündholzschachtel ist ein rechteckiger Quader. Es gilt also: V = G h = a c = 5,, 4 15, = 7, 0cm O = G + M = a + ac + c = 5,, 4 + 5, 15, +, 4 15, = 6, 14cm ) Grund- und Deckfläche sind nun Quadrate. Es gilt: V = G h = a h = 6, 18, 4 = 707, 96dm O = G + M = a + 4ah = 6, + 4 6, 18, 4 = 5, dm c) Für den Würfel gilt: V = a = 7, 4 = 405, 4cm O = 6a = 6 7, 4 = 8, 56cm Für die folgenden Aufgaen ist noch eine Formel von Bedeutung: Masse = Volumen Dichte M = V D Die Dichte wird mit dem griech. Buchstaen ρ agekürzt. Üungen: Üungslatt 9; Aufgaen

4 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 9. Semester Umkehraufgaen: Beispiel: Ein Aluminiumquader (Dichte ρ = 700kg / m ) mit der Masse m = 9,45 kg ist 5 cm lang und 5 cm reit. Berechne die Höhe des Quaders. Lösung: Aus der gegeenen Masse und Dichte können wir uns das Volumen errechnen: M = V D /: D M V = D 9, 45 V = = 0, 005m =, 5dm 700 Nun setzen wir in die Volumsformel ein und erechnen daraus die Höhe: V = a h, 5 =, 5 0, 5 h, 5 = 175, h /: 175, h = dm Üungen: Üungslatt 9; Aufgaen ) DIE PYRAMIDE Definition: Eine Pyramide hat ein elieiges n-eck als Grundfläche und eine Spitze S. Alle Seitenkanten schneiden einander in der Spitze S. Definition: Liegt die Körperhöhe h einer Pyramide genau üer dem Umkreismittelpunkt der Grundfläche, so nennt man die Pyramide regelmäßig. Alle Seitenflächen sind dann deckungsgleiche gleichschenkelige Dreiecke. Unter der Körperhöhe h versteht man den kürzesten Astand der Spitze S zur Grundfläche. 4

5 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 9. Semester Beispiel: Regelmäßige vierseitige Pyramide. S s h D C A a B Legende: a= Länge =Breite h=höhe s=seitenkante Für die Berechnung des Volumens und der Oerfläche gilt: G h Satz: V = O = G + M Beispiel: Von einer regelmäßigen rechteckigen Pyramide kennt man die Seite a = 4 mm; = 18 mm und h = 40 mm. Berechne das Volumen. G h a h Lösung: V = = = = 10080mm = 10, 08cm Beispiel: Ein pyramidenförmiges Turmdach mit rechteckiger Grundfläche soll neu gedeckt werden. Wieviel m müssen gedeckt werden, wenn a = 4, m; =,6 m; h a = 6,1 m und h = 6, m? Lösung: Wir machen uns zunächst einmal eine Skizze: 5

6 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 9. Semester h h h a a Wenn Sie die Zeichnung etrachten, so wird hier ereits erklärt, was wir unter h a und h zu verstehen haen. Wir müssen ja den Mantel der Pyramide erechnen. Dieser setzt sich aer aus je unterschiedlichen Dreiecken zusammen. Die ersten eiden Dreiecke werden von den Kanten a,s,s geildet, die eiden anderen von den Kanten,s,s. Da wir die Fläche der Dreiecke enötigen, rauchen wir für die Berechnung die Dreieckshöhe, diese ist für das erste Dreieck h a, für das zweite h. Ich skizziere noch einmal das Dreieck a,s,s: s h a s Nun können wir also den Mantel erechnen: a ha h M = + M = a h + h a M = 4, 6, 1+, 6 6, = 4m a Üungen: Üungslatt 9; Aufgaen

7 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 9. Semester ) DER DREHZYLINDER Definition: Unter einem Drehzylinder hat zwei deckungsgleiche Kreise als Grund- und Deckfläche. Radius r DECKFLÄCHE Höhe h MANTEL GRUNDFLÄCHE Für das Volumen und die Oerfläche gilt: Satz: V = G h = r π h O = G + M = r π + r π h Beispiel: Siehe REICHEL 4; Seite 07; Beispiel A Üungen: Üungslatt 9; Aufgaen

8 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Areitslatt 9. Semester 4) DER DREHKEGEL S s h MANTEL r GRUNDFLÄCHE Legende: r = Radius h = Körperhöhe s = Erzeugende Für das Volumen und die Oerfläche gilt folgendes: Satz: V G h r π h = = O = G + M = r π + r π s Beispiel: Von einem Drehkegel kennt man den Radius r = 5, m und die Höhe h = 6,8 m. Berechne das Volumen. r πh 5, π 6, 8 Lösung: V = = = 19, 5m Üungen: Üungslatt 9; Aufgaen