Erweiterte Beispiele 1 1/1

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1 Erweiterte Beispiele 1 1/1 Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-20/-9), B(30/-9), C(12/15)]. Die Seitenmittelpunkte D, E, F bilden ein Dreieck. Zeige, dass der Umkreis dieses Dreiecks den Inkreis des Dreiecks ABC berührt und berechne die Koordinaten des Berührpunktes. Wie berechnet man den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks in R³? [L: k U : (x-8,5)²+(y-3)² = 156,25; k I : (x-10)²+(y-1)² = 100; T(16/-7)]

2 Erweiterte Beispiele 2 1/1 Zeigen Sie die Richtigkeit der folgenden zwei Sätze am Dreieck A(0/0,5), B(0/-3), C(6/5) für den Eckpunkt A und die Seite a, bzw. für die Winkelsymmetrale w und die Streckensymmetrale m a. Fertigen Sie weiters eine Zeichnung an! a) Der Abstand eines Eckpunktes vom Höhenschnittpunkt ist doppelt so groß wie der Abstand des Umkreismittelpunktes von der dem Eckpunkt gegenüberliegenden Seite. b) Eine Winkelsymmetrale und eine Streckensymmetrale der gegenüberliegenden Seite schneiden einander auf dem Umkreis.

3 Erweiterte Beispiele 3 1/1 In den Eckpunkten des Dreiecks ABC [A(-9/-5), B(5/-5), C(12/16)] werden an den Umkreis die Tangenten gelegt. Jede Tangente wird mit der Trägergeraden der gegenüberliegenden Dreieckseite geschnitten. Zeige rechnerisch, dass diese drei Schnittpunkte auf einer Geraden liegen!

4 Erweiterte Beispiele 4 1/1 Der Inkreis des Dreiecks ABC hat den Mittelpunkt I(0/2) und berührt die Seite AB im Punkt P(6/-6). Weiters kennt man den Eckpunkt C(-10/12). Berechne die Koordinaten der Eckpunkte A und B und zeige, dass C der Höhenschnittpunkt ist. Der Schwerpunkt S teilt die Strecke HU im Verhältnis 2:1. Verwende diesen Sachverhalt zur Berechnung des Umkreismittelpunktes U. (S kann mittels Formel berechnet werden.) Skizze! [L: a) A(-10/-18), B(30/12), U(10/-3);

5 Erweiterte Beispiele 5 1/1 Von einem gleichseitigen Dreieck ABC kennt man die Koordinaten der Eckpunkte A(1/0/-2) und B(1/6/-8). Vom dritten Eckpunkt C weiß man, dass er in der xy-ebene liegt und die 1. Koordinate positiv ist. a) Erkläre deine Lösungsstrategie zur Berechnung der Koordinaten von C mit einigen Sätzen und eventuell einer Skizze. b) Berechne die Koordinaten von C und die Gleichung der Ebene, in der das Dreieck ABC liegt! c) Das Dreieck ABC ist Grundfläche eines geraden Prismas, das von der Ebene 1 : 4x+y+z= -16 geschnitten wird. Welchen Winkel schließen die Seitenkanten des Prismas mit dieser Ebene ein? Berechne, um wieviel Prozent der Inhalt der Schnittfläche A 1 B 1 C 1 größer als die Fläche des Dreiecks ABC ist!

6 Erweiterte Beispiele 6 1/1 Von einem Würfel kennt man den Eckpunkt A und die Trägergerade g [A(4/3/4), I(14/11/2)] auf der auch der Eckpunkt F liegt. Die Seitenfläche BCFG liegt in der Ebene : x = -1. Für die y-koordinate des Punktes C gilt: y C 0. a) Berechne die Koordinaten der Eckpunkte des Würfels! b) Welcher Körper ist durch die Eckpunkte ACFH festgelegt? Berechne das Volumen! [L: F(-1/-1/7), B(-1/3/4); C(-1/0/0)]

7 Erweiterte Beispiele 7 1/1 Gegeben sind die Punkte A(3/2/-3), B(5/6/1) und C(6/2/0). a) Welches spezielle Dreieck liegt vor? Berechnen Sie den Winkel bei A bzw. bei C. Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene 1 durch die Punkte ABC. b) Legen Sie durch D(0/4/0) eine Ebene 2, die zur (xz)-ebene parallel ist und bestimmen Sie die Schnittgerade s von 1 und 2. c) Berechnen Sie die Normalgerade n durch R(6/5/-3) auf 1 und bestimmen Sie den Schnittpunkt F von n und 1. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide mit der Spitze R und dem Basisdreieck ABC. [L: a) Gleichschenkl., rechtwinkl. Dreieck, 1 : 2x+y-2z = 14; b) 2 : y = 4, s: X = ( 5,4,0 ) + r.( 1,0,1 ), c) n: X = ( 6,5,-3 ) + t.( 2,1,-2 ) ; F(4/4/-1), V = 9 VE]

8 Erweiterte Beispiele 8 1/1 Ein Lichtstrahl geht von einer Lampe in P 1 (-2/-1/13) aus und fällt durch P 2 (2/-3/9) auf die durch A(4/-5/-3), B(5/-1/-11) und C(7/-3/3) bestimmten Ebene 1. a) Gib die Normalform der Gleichung der Ebene 1 an! b) Bestimme den Punkt S 1, in dem der Strahl auf 1 reflektiert wird! c) Der reflektierte Strahl wird in S 2 (2/-1/3) an einer zweiten Ebene 2 erneut reflektiert und geht danach durch den Punkt T(0/3/7). Gib die Gleichung der Ebene 2 an! d) Zeige, dass der an 2 reflektierte Strahl durch T geht! e) Wie lange braucht das Licht, um von P 1 nach T zu gelangen (Lichtgeschw.: km/s, Abstände in dm)?

9 Erweiterte Beispiele 9 1/1 Drei Orte P, Q und R einer kleinen Landgemeinde, die mit drei weitgehend geradlinigen Wegen miteinander verbunden sind, sollen eine gemeinsame Kläranlage erhalten. Diese soll sich aus wirtschaftlichen Gründen in gleichem Abstand von den drei Wegen befinden. Ein vor einigen Jahren errichtetes Wasserreservoir ist von allen drei Orten gleich weit entfernt. Zur leichteren Orientierung haben die Raumplaner markante Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem erfaßt: Ort P(-3km/1,5km), Q(9km/-2km), R(3km/6km) a) Fertige eine Zeichnung im Maßstab 1 : an und konstruiere die Lage der drei Orte, der Kläranlage und des Wasserreservoirs! b) Hat das Dreieck PQR eine besondere Eigenschaft? Stelle eine Vermutung auf und beweise sie! c) Berechne die Koordinaten des Wasserreservoirs und der Kläranlage! d) Wie viele km Kanalrohre müssen zu jedem der drei Verbindungswege gelegt werden? e) Wie hoch waren bei der Errichtung des Wasserreservoirs die Kosten für jeden Ort für die Verlegung der Wasserleitung, wenn für 1 km Leitung S verrechnet wurden?

10 Erweiterte Beispiele 10 1/1 Gegeben ist das Viereck ABCD [A(-5/-4) B(10/-1) C(6/7) D(l/8)]. a) Zeige dass dieses Viereck ein Sehnenviereck ist. b) Zeige, dass der an der Seite AC gespiegelte Punkt D Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC ist. c) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

11 Erweiterte Beispiele 11 1/1 Die Gerade g: 3 1 x 2 k und der Punkt P(8/4/-3) sind gegeben. a) Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch g und P festgelegt ist, in parameterfreier Form. b) Wie weit liegt der Punkt P von der Geraden g entfernt? c) Der Punkt P wird an der Geraden g gespiegelt. Welche Koordinaten hat der Spiegelpunkt P*? d) In welchen Punkten S1 und S2 wird die Kugel K: x 3 + y 3 + z 3-12x - 12y - 6z + 25 = 0 von der Geraden g geschnitten?

12 Erweiterte Beispiele 12 1/1 Die Geraden c: [ 2y + x = 7], a: [ X t 5 1 ] und b: [y = x +2] schneiden sich in den 1 5 Punkten A(c b), B(c a), und C(a b) und schließen ein Dreieck ein. a) Zeige, daß A(1/3),B(5/1) und C(4/6) die Eckpunkte sind! b) Berechne die Gleichung der Winkelhalbierenden w! c) Berechne die Winkel des Dreiecks! d) Berechne die Fläche des Dreiecks(ohne Heronsche Formel) e) Fertige eine Skizze an!

13 Erweiterte Beispiele 13 1/1 In jedem Dreieck ist die Summe der Abstände des Umkreismittelpunkts von den Dreiecksseiten gleich der Summe von Inkreis- und Umkreisradius. Weise die Gültigkeit dieses Satzes rechnerisch für das Dreieck mit den Eckpunkten A(-10/8), B(14/0) und C(20/18) nach! Zeige dabei rechnerisch, dass das gegebene Dreieck rechtwinkelig ist, und verwende diese Tatsache zur schnelleren Ermittlung des Umkreismittelpunkts und seines Abstands von den Seiten! (Überlegung anhand einer entsprechenden Skizze des Dreiecks).

14 Erweiterte Beispiele 14 1/1 Das Dreieck ABC [A(5/10/6), B(-5/11/7), C] ist Basis einer Pyramide mit der Spitze S(-2/0/11). a) C ist der Schnittpunkt der Geraden g: X = (7/6/-3) + s (4/-6/-5) und der Ebene E: 5x - 2y + 6z = 3. Berechne C! b) Wie groß ist die Höhe? Welchen Volumsinhalt hat diese Pyramide? c) Wie groß ist der Winkel zwischen der Seitenkante AS und der Grundfläche? d) Wie lautet die Gleichung der Kugel, die man der Pyramide umschreibt?