Dualität in der Elementaren Geometrie

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1 1 Dualität in der Elementaren Geometrie Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastic (WIAS) url: FU Berlin, 5. Mai 2012; Tag der Mathematik

2 Dualität (Einführung) 2 Was ist Dualität? Dualität = Jedes Problem hat zwei Seiten aber welche? Dualität = Man kann jedes Problem von zwei Seiten aus betrachten. Dualität = Man teilt etwas künstlich in zwei Teile, die sich ähnlich sind. Zu einem Problem kann es verschiedene zwei Seiten geben. Oft ist eine Seite einfacher als die andere. Eine Operation vermittelt den Übergang zwischen den Seiten. Oft hat man ein Problem erst dann richtig verstanden, wenn man ein Dualitätsprinzip darin gefunden hat.

3 Dualität (Einführung) 3 Beispiel für Dualität: Mein Problem und der Rest der Welt Indirekter Beweis: Man beweist nicht Aussage A sondern zeigt, daß (nicht A) falsch ist. Beispiel: Beweis des Schubfachschlusses: n Schachteln und m > n Kugeln. Dualität: Prinzip des ausgeschlossenen Dritten: Man teilt die Welt in das Gute und den Rest. Man kann ein Problem verstehen, indem man alles das, was nichts damit zu tun hat, untersucht. Das ist ein Denkprinzip, kein Naturprinzip Beispiel: Alle Raben sind schwarz. Duale Aussage: Alles was nicht schwarz ist, ist kein Rabe. In der Mathematik hilft Dualität weiter, im Leben nicht unbedingt. = Erkennen einer Dualität ist eine Denkleistung.

4 Dualität (Einführung) 4 Beispiel für Dualität in der Geometrie/Analysis: Kürzester Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum Kürzester Abstand (dist) eines Punktes P von einer Geraden g im Raum dist(p, g) = min Q g Hier ist Q ein Punkt und E eine Ebene. = Variationstheorie dist(p, Q) = max dist(p, E) E g

5 Dualität (Einführung) 5 Beispiel für Dualität: Paß im Gebirge D A P B Der Punkt P = Der höchste aller tiefsten Punkte eines Weges von A nach B. = Der tiefste aller höchsten Punkte eines Weges von C nach D. C P = min max Wege CD = max min Wege AB Minimax-Theorem (Dualität in der Variationstheorie)

6 Dualität bei Produkten 6 Dualität bei Produkten Beispiel in der Geometrie: Flächeninhalt eines Dreiecks. S = a 2 h A = b 2 h B = c 2 h C Hier: a 2 = a/2, b 2 = b/2, c 2 = c/2. Flächeninhalt S = xy = Dualität x 1 y. S = xy = x 1 y S = xy = 1 = x = 1 y

7 Dualität bei Produkten 7 Dualität beim Flächeninhalt eines Dreiecks Flächeninhalt eines Dreiecks: S = xy, Dualität: x 1 y S = a 2 h A = b 2 h B = c 2 h C = a 2 h 1, b A 2 h 1, c B 2 h 1 C Heronsche Formel (a 2 = a/2, b 2 = b/2, c 2 = c/2): S 2 = p p A p B p C = = (a 2 + b 2 + c 2 )( a 2 + b 2 + c 2 )(a 2 b 2 + c 2 )(a 2 + b 2 c 2 ) ( 1 1 S 2 = )( )( )( ) h A h B h C h A h B h C h A h B h C h A h B h C Was ist der Flächeninhalt?

8 Dualität bei Produkten 8 Flächeninhalt = Produkt zweier senkrecht aufeinander stehender Strecken r Radius des Inkreises r A Radius des Ankreises p halber Umfang p A,... Seitenabschnitte p C = a 2 + b 2 c 2 = a+b c 2 c = 2c 2 = p A + p B p C C p B pc r A I A p A r I r r p B p C r A r A A p A I C p B B p C A B S = a 2 h A = b 2 h B = c 2 h C = pr = p A r A = p B r B = p C r C

9 Dualität bei Produkten 9 Dualität beim Flächeninhalt eines Dreiecks Flächeninhalt S = a 2 h A = b 2 h B = c 2 h C = pr = p A r A = p B r B = p C r C Flächeninhalt S = xy = Dualität x 1 y Beweis, daß h A = 2r Br C r B +r C 2a 2 = p B + p C = 2 h A = 1 r B + 1 r C p = p A + p B + p C = 1 r = 1 r A + 1 r B + 1 r C p A = p 2a 2 = 1 r A = 1 r 2 h A S 2 = pp A p B p C = rr A r B r C weil S 2 = pp A p B p C = S 4 /(rr A r B r C ). Was fehlt bei S? S = Rp H

10 Dualität in der Geometrie 10 Dualität Punkt Gerade Gerade = Verbindung von zwei Punkten Punkt = Schnittpunkt zweier Geraden Sieht nach Dualität aus, aber Schönheitsfehler: Parallele Geraden Zwei Möglichkeiten: Exakte Dualität (auch parallele Geraden schneiden sich!) = Projektive Geometrie (Preis: keine Winkel, keine Streckenlängen) Nicht ganz exakte Dualität Dadurch entstehen zwei verschiedene Aufgaben (verschieden schwere Aufgaben )

11 Dualität in der Geometrie 11 Projektive Geometrie Satz von Desarges: Wenn sich die Verbindungslinien zwischen korrespondierenden Eckpunkten zweier in einer Ebene gelegenen Dreiecke in einem Punkt schneiden, so liegen die Schnittpunkte der entsprechend verlängerten Seiten auf einer Geraden Umkehrung des Satzes von Desarges: Satz von Pascal: Liegen die Eckpunkte eines willkürlich gewählten Sechsecks auf einem Kegelschnitt (Kreis, Ellipse,...), so liegen die Schnittpunkte der drei gegenüberliegenden Seitenpaare des Sechsecks auf einer Geraden Satz von Brianchon: In einem konvexen Sechseck ABCDEF, das einen Kegelschnitt umschreibt (d.h. alle Seiten sind Tangenten des Kegelschnitts), schneiden sich die Diagonalen (AD,BE,DF) in einem Punkt

12 Dualität in der Geometrie 12 Dualität zwischen Umkreis und Inkreis im Dreieck Dualität: 3 Punkte 3 Geraden 3 Punkte = Umkreis = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten 3 Geraden = Inkreis = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Mittelsenkrechte = Symmetrieachse der Seite Winkelhalbierenden = Symmetrieachse des Winkels Dualität zwischen zwei Transformationen Besonderheiten: Winkelsumme, Eindeutigkeit,... Umkreis Eckpunkte darauf Mittelsenkrechte Seiten Seitensymmetrie (SM) Inkreis Seiten tangieren Winkelhalbierenden Winkel Winkelsymmetrie (SW)

13 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 13 Kreis und Vierecke d δ c γ b Sehnenviereck (SV) = Viereck mit Umkreis Tangentenviereck (TV) = Viereck mit Inkreis Sehnentangentenv. (STV) = 4-Eck mit Um- und Inkreis SV: α + γ = β + δ(= 180 ) α a β TV: a + c = b + d Konstruktionen: SV: Aus a, b, c, d? Ja! TV: Aus α, γ, β, δ? Nein! STV: Schwer!!

14 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 14 Eine Aufgabe aus der IMO von 1962 Aufgabe A: (IMO 1962) Gegeben (blau) sind 3 Punkte (Dreieck) und ein Kreis, auf dem alle 3 Punkte liegen (Umkreis). Gesucht (rot) ist ein 4. Punkt auf dem Kreis derart, daß die 4 Punkte ein STV bilden.? Frage: Wann ist ein SV ein STV? Lösungsidee: Wir betrachten eine duale Aufgabe, hoffen, daß die einfacher zu lösen ist und versuchen den dualen Lösungsweg zu bilden und anzuwenden.

15 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 15 Duale Aufgabe Aufgabe A: (IMO 1962) Gegeben sind 3 Punkte (Dreieck) und ein Kreis, auf dem alle 3 Punkte liegen (Umkreis). Gesucht ist ein 4. Punkt auf dem Kreis derart, daß die 4 Punkte ein STV bilden. Duale Aufgabe A : Gegeben sind 3 Geraden (Dreieck) und ein Kreis, der alle 3 Geraden berührt (Inkreis). Gesucht ist eine 4. Gerade, die den Kreis berührt derart, daß die 4 Geraden ein STV bilden. Wann ist ein SV ein STV? Wann ist ein TV ein STV?

16 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 16 Wann ist ein TV ein STV?? Duale Aufgabe A : Gegeben (blau) sind 3 Geraden (Dreieck) und ein Kreis, der alle 3 Geraden berührt (Inkreis). Gesucht (rot) ist eine 4. Gerade, die den Kreis berührt derart, daß die 4 Geraden ein STV bilden. Welche Gerade? Lösungsidee: Spiegeln an der Winkelhalbierenden (SW)

17 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 17 Zwei Strahlen schneiden einen Kreis... zwei parallele Geraden Spiegeln (SW) an der Winkelhalbierenden w Sehnenviereck (SW) Trapez d w c Sekantensatz ad = bc c w d Strahlensatz c a = d b β α α β a b (SW) a b α β α β

18 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 18 Konstruktion STV aus TV Gegeben Trapez mit Inkreis (spezielles Tangentenviereck) Spiegeln (SW) an w ergibt Sehnenviereck TV-Eigenschaft bleibt erhalten weil: a + b = (a + d) + (b + c) (d + c) = (a + c) + (b + d) (d + c) = a + b w w d c c d a b (SW) a b

19 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 19 Lösung der dualen Aufgabe A Duale Aufgabe A : Gegeben sind 3 Geraden (Dreieck) und ein Kreis, der alle 3 Geraden berührt (Inkreis). Gesucht ist eine 4. Gerade, die den Kreis berührt derart, daß die 4 Geraden ein STV bilden. Konstruktion: Gegeben Dreieck mit Inkreis Konstruiere Tangente an Inkreis, parallel zur Grundseite Spiegle (SW) an der Winkelhalbierenden

20 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 20 m Was ist wozu dual? Lösung von Aufgabe A Spiegeln (SW) an der Winkelhalbierenden = Spiegeln (SM) an der Mittelsenkrechten m STV gespiegelt an der Winkelhalbierenden = Trapez Was ist ein STV gespiegelt an einer Mittelsenkrechten? D d A c a Tangentenviereck a + c = b + d C b B (SM) D m c A??? viereck p( ABD ) = p( BCD ) d a C b B

21 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 21 Konstruktion eines STV aus einem SV Gesucht: STV ABCD Gespiegelt an der Mittelsenkrechten m: ABCD Gegeben: ABD mit Umkreis Gesucht: BCD mit gleichem Umkreis, gemeinsamer Seite BD und gleichem Umfang. m E D I 1 I 2 D C Aufgabe: Konstruktion eines Dreiecks aus R, c, p A B

22 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 22 Aufgabe im Programmheft Dreieck aus (R, γ, p A ) Konstruiere ein Dreieck aus 1) Der Winkel γ am Eckpunkt C. 2) Der Umkreisradius R. 3) Der Abstand p A zwischen Eckpunkt A und dem Punkt I b, bei dem der Inkreis des Dreiecks die AC berührt. p A A I b C γ p A I I c O R B Aufgabe in der Wurzel (Feb. 2012), Lösung etwa Aug.-Sept.

23 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 23 Konstruktion eines Dreiecks aus R, c und p a C γ 1. Gleichsch. ABO aus c und R. 2. Umkreis um O mit Radius R. 3. Mittelsenkrechte auf AB. X sei Schnittpunkt mit Umkreis. 4. Senkrechte g auf AB im Abstand AI c = p A vom Punkt A. 5. Kreis k um X mit Radius XB. 6. Schnittpunkt von k und g ist Inkreismittelpunkt I. 7. Inkreis um I mit Radius II c. 8. Tangenten aus A und B an Inkreis. 9. Schnittpunkt der Tangenten mit Umkreis ist C. A I r O γ p A c I c 2 R B X

24 Dualität zwischen Sehnen- und Tangentenvierecken 24 Konstruktion eines Dreiecks aus R, c und p 1. Gleichsch. ABO aus c und R. 2. Umkreis um O mit Radius R. I A 3. Mittelsenkrechte auf AB. X sei Schnittpunkt mit Umkreis. 4. Senkrechte g auf Gerade AB im x Abstand AA B = p vom Punkt A. 5. Kreis k um X mit Radius XB. 6. Schnittpunkte von k und g sind X r a Mittelp. der Ankreise I A und I A. 7. Ankreise mit Radien C C I A A B und I A A B. O x 8. Tangenten von A und B an I A Ankreise ergeben C und C. Es R r a entstehen zwei kongruente m c c Dreiecke. A B p c 2 A B