LSGM Leipziger Schülergesellschaft f ur Mathematik. Dreiecksgeometrie 2. Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Olympiadezirkel

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1 LSGM Leipziger Schülergesellschaft f ur Mathematik Dreiecksgeometrie 2 Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Olympiadezirkel Inhaltsverzeichnis 1 Ankreise Grundlegendes Flächeninhalt des Dreiecks ABC Nagelpunkt und Gergonnepunkt Weitere Eigenschaften der Ankreise Isogonal konjugierte Punkte Symmedianpunkt Satz vom isogonalen Punkt Folgerungen Weitere Aufgaben 8 1

2 Bekanntes Standardbezeichnungen Es gilt, soweit nicht anders ausgeführt, dass ABC ein Dreieck mit den Seitenlängen a = BC, b = AC sowie c = AB und den Innenwinkeln α = BAC, β = CBA sowie γ = ACB ist. Desweiteren gelten folgende Bezeichnungen: Umkreisradius: R Inkreisradius r Umfang: u halber Umfang s Flächeninhalt: A Bekannte Flächeninhaltsformeln Satz 1 (Bekannte Flächeninhaltsformeln) Für den Flächeninhalt A von ABC gilt: Bekannte Sätze A = ah a 2 = bh b 2 = ch c 2 (1) ab sin γ ac sin β bc sin α A = = = (2) A = s(s a)(s b)(s c) (3) A = abc 4R (4) A = rs (5) Satz 2 (Satz von Ceva und Umkehrung) Seien D, E und F Punkte auf den Seiten a, b und c des Dreiecks ABC bzw. deren Verlängerungen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. Die Strecken AD, BE und CF schneiden sich in einem Punkt. 2. Es gilt für die vorzeichenbehafteten Teilverhältnisse der Seitenabschnitte: 1 Ankreise 1.1 Grundlegendes AF F B BD DC CE EA = 1 Satz 3 (Existenz der Ankreise) Es existieren drei Kreise K a, K b und K c, die jeweils alle drei Seiten von ABC bzw. deren Verlängerungen außerhalb des Dreiecks berühren. 2

3 Ihre Mittelpunkte I a, I b und I c sind die Schnittpunkte der Außenwinkelhalbierenden mit der Innenwinkelhalbierenden des dritten Winkels. Ihre Radien seien r a, r b und r c. Beweis Analog zur Existenz des Inkreises 1.2 Flächeninhalt des Dreiecks ABC Es bezeichnen r a, r b bzw. r c die Radien der Ankreise, die a, b bzw. c berühren. Satz 4 (Ein Ankreisradius) Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC gilt: A = r a (s a) = r b (s b) = r c (s c) (6) Beweis Sei M c der Mittelpunkt des Ankreises, der c berührt. Zeichne die Lote von M c auf die Dreiecksseiten und die Strecken zu den Eckpunkten ein. Dann ergibt sich die Gleichung aus den Flächeninhalten der entstehenden (rechtwinkligen) Dreiecke. Satz 5 (Drei Ankreisradien) Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC gilt: A = rr a r b r c (7) Beweis Folgt direkt aus Satz 4 und (3). 1.3 Nagelpunkt und Gergonnepunkt Der Nagelpunkt und Gergonnepunkt sind zwei besondere Punkte im Dreieck, die mit den Berührpunkten des Inkreises und der Ankreise zusammenhängen. Satz 6 (Existenz des Gergonnepunkts) Seien F a, F b und F c die Berührpunkte des Inkreises mit den Seiten a, b und c. Dann schneiden sich die die Strecken AF a, BF b und CF c in einem Punkt, dem sogenannten Gergonnepunkt. Beweis Der Beweis basiert auf dem Satz von Ceva. Die Strecken AF c und AF b, BF c und BF a sowie CF a und CF b sind jeweils gemeinsame Tangentenabschnitt und somit gleich lang. Dann gilt: AF c F c B BF a F a C CF b F b A = 1 Und nach der Umkehrung des Satzes von Ceva folgt die Behauptung. Satz 7 (Existenz des Nagelpunkts) Seien F a, F b und F c die Berührpunkte der Ankreise mit den Seiten a, b und c. Dann schneiden sich die Strecken AF a, BF b und CF c in einem Punkt, dem sogenannten Nagelpunkt. 3

4 Beweis Der Beweis beruht auf dem Satz von Ceva. Seien P und Q die Berührpunkte von K c mit den Verlängerung von a und b. Dann sind folgende Strecken gemeinsame Tangentenabschnitt und es folgt: CP und CQ, also CP = CQ AP und AF c, also AP = AF c BQ und BF c, also BQ = BF c Also gilt: Analog folgt Und somit gilt CA + AF c = CB + BF c = s AF c = s b BF c = s a AF b = s c CF b = s a BF a = s c CF a = s b AF c F c B BF a F a C CF b F b A = s b s a s c s b s a s c = 1 Und nach dem Unkehrung des Satzes von Ceva folgt die Aussage. 1.4 Weitere Eigenschaften der Ankreise Satz 8 (Weitere Eigenschaften der Ankreisradien) Für die Ankreisradien r a, r b und r c des Dreiecks ABC gilt: r a + r b + r c = r + 4R (8) = 1 r a r b r c r (9) Beweis Es lässt sich (9) einfach beweisen, indem man die Brüche so erweitert, dass im Nenner A steht. Auch (8) lässt sich beweisen, indem man die entsprechenden Flächeninhaltsformeln einsetzt. 4

5 2 Isogonal konjugierte Punkte 2.1 Symmedianpunkt Definition 1 Die Symmediane Sym A von A ist das Spiegelbild der Seitenhalbierenen s a an der Winkelhalbierende w α. Analog werden die Symmediane Sym B und Sym C von C definiert. Der Schnittpunkt der drei Symmediane von ABC ist der sogenannte Symmedianpunkt Sym, auch Lemoinepunkt genannt. Die Tatsache, dass sich die drei Symmediane in einem Punkt schneiden, ist keineswegs trivial, und muss bewiesen werden. Satz 9 (Existenz des Symmedianpunkts) Die drei Symmediane Sym A, Sym B und Sym C von ABC schneiden sich in eiem Punkt. Beweis Die Existenz des Symmedianpunkts folgt aus dem allgemeineren Satz vom isogonalen Punkt (Satz 2.1). Trotzdem kann man Versuchen, diesen Satz auch ohne Referenz auf diesen Satz zu beweisen. Auch hier könnte der Satz von Ceva natürlich eine Rolle spielen. 2.2 Satz vom isogonalen Punkt Für den Beweis des Satzes vom isogonalen Punkt braucht man ein Lemma: Lemma 1 Sei P ein beliebiger Punkt außer den drei Ecken von ABC. Sei h das Spiegelbild der Geraden g = g(p C) durch P und C an der Winkelhalbierenden w γ und seien P a und P b die Spiegelbilder von P an den Seiten a und b bzw. deren Verlängerungen. Dann ist h die Mittelsenkrechte von P a P b. Analoges gilt auch für die anderen Ecken bzw. Seiten. Beweis Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Menge aller Punkte, die von den Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Um zu beweisen, dass h die Mittelsenkrechte von P a P b ist, muss also nur diese Eigenschaft gezeigt werden. Sei Q ein beliebiger Punkt auf h. Dann gilt aufgrund der Konstruktion von h: gw γ = hw γ bg = bw γ gw γ = aw γ hw γ = ha Und aufgrund der Konstruktion von P a und P b gilt: ACP = P b CA P CB = BCP a 5

6 O. B. d. A. liege P im Winkel zwischen b und w γ. Alle anderen Fälle lassen sich analog (möglicherweise unter Anpassung der Vorzeichen) behandeln. Dann gilt: P b CQ = P b CA + ACP + P CB QCB = ACP + BCP a = QCB + BCP a = QCP a Desweiteren gilt aufgrund der Konstruktion von P a und P b : sowie ganz generell P a C = P C = P b C QC = QC Nach dem Kongruenzsatz ist somit und folglich P a CQ = P b CQ P a Q = P b Q. Also ist h = g(qc) die Mittelsenkrechte von P b P c. Satz und Definition 2.1 (Satz vom isogonalen Punkt) Sei P ein beliebiger Punkt außer den drei Ecken von ABC. Seien h, j und k die Spiegelbilder der Geraden g(ap ) an der Winkelhalbierenden w α, der Geraden g(bp ) an der Winkelhalbierenden w β und der Geraden g(cp ) an der Winkelhalbierenden w γ. Dann schneiden sich die drei Geraden h, j und k in einem Punkt Q. Beweis Das Lemma sagt, dass für die Spiegelbilder P a, P b und P c von P an den Seiten a, b und c gilt: h ist die Mittelsenkrechte von P b P c, j ist die Mittelsenkrechte von P a P c und k ist die Mittelsenkrechte von P a P b. Diese drei Mittelsenkrechten von P a P b P C schneiden sich bekanntermaßen in einem Punkt, nämlich dem Umkreismittelpunkt von P a P b P c. Dieser Punkt Q heißt der zu P (bzg. ABC) isogonal konjugierte Punkt Isog ABC (P ). Bemerkung 1 Für den isogonal konjugierten Punkt Isog ABC (P ) (Kurzform, wenn ABC klar ist: Isog(P )) gibt es also zwei verschiedene, äquivalente Konstruktionen: Schnittpunkt der Spiegelbilder der Ecktransversalen durch P an den entsprechenden Winkelhalbierenden. 6

7 Umkreismittelpunkt der Spiegelbilder von P an den Dreiecksseiten, d. h. Umkreismittelpunkt des Bilds P von P bei Dreiecksspiegelung an ABC. Bemerkung 2 (Eigenschaften der Abbildung P Isog(P )) Die Abbildung P Isog(P ) hat folgende Eigenschaften: Sie ist auf R 2 \{A, B, C} erklärt und bildet in den P R 2 ab, d. h. in die euklidische Ebene mit einer unendlich entfernten Gerade. Das Urbild der unendlich entfernten Gerade ist der Umkreis von ABC. Der Inkreimittelpunkt I und die Ankreismittelpunkte von ABC sind die einzigen Fixpunkte. Die Abbildung ist auf R 2 \(g(ab) g(bc) g(ac)) eine Involution, d. h. sie ist bijektiv und ihre eigene Umkehrabbildung. 1 Dementsprechend kann man sagen, zwei Punkte P und Q außerhalb der Dreiecksseiten seien isogonal konjugiert, wenn P = Isog(Q) und Q = Isog(P ) gilt. 2.3 Folgerungen Einige Punkte von ABC stehen im Verhältnis der isogonalen Konjugiertheit. Dies sind: Der Schwerpunkt und der Symmedianpunkt sind isogonal konjugiert. Der Inkreismittelpunkt ist zu sich selbst isogonal konjugiert. Der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt sind isogonal konjugiert. Die Ecken des Antimedialdreiecks und die Ecken des Tangentendreiecks von ABC sind isogonl konjugiert. Diese Aussagen lassen sich durch elementare Strecken- und Winkelbetrachtungen wie im Beweis von Satz 2.1 beweisen. Eine Folgerung der letzten Aussage wurde als Olympiadeaufgabe gestellt, die sehr schlecht ausgefallen ist. Dies lag aber möglicherweise auch daran, dass die Schüler den Beweis der letzten aufgezählten Aussage nicht mehr machen wollten. Satz 10 Der Symmedianpunkt von ABC ist der Gergonnepunkt seines Tangentendreiecks 2. 1 Genau genommen, muss auch hier die projektive Ebene betrachtet oder der Umkreis ausgeschlossen werden. 2 Das Tangentendreick von ABC ist das Dreieck aus den Schnittpunkten der Tangenten des Umkreises in den Eckpunkten von ABC. 7

8 Beweis Sei A B C das Antimedialdreieck und A B C das Tangentendreieck von ABC. Dann ist ABC das Gergonnedreieck von A B C. Der Gergonnepunkt von A B C ist also der Schnittpunkt der Geraden h = g(aa ), j = g(bb ) und k = g(cc ). Da die Ecken des Tangentendreiecks isogonal konjugiert zu den Ecken des Antimedialdreiecks sind, bedeutet das, dass die Spiegelbilder h von h an w α, j von j an w β und k von k an w γ durch die Ecken des Antimedialdreiecks gehen. Eine elementare Betrachtung, die schon mit Schülern niedrigerer Klassenstufe bezüglich des Seitenmittendreiecks durchgeführt wird, zeigt, dass h, j und k gleichzeitig die Seitenhalbierenden von A B C sind. Sie schneiden sich im Schwerpunkt von A B C. Führt man die Spiegelung zurück aus, landet man bei... 3 Weitere Aufgaben Aufgrund der Heterogenität des Olympiadezirkels wurden einige Zusatzaufgaben gestellt: Satz 11 (Taylorkreis (Zusatzaufgabe der Olympiade)) Seien H a, H b und H c die Fußpunkt der Höhen von ABC und seien Ha, b Ha, c Hb a, Hc b, Ha c und Hc b die Fußpunkte der Lote von diesen Punkten auf die jeweils anderen beiden Seiten. 3 Dann liegen diese 6 Punkte auf einem Kreis, dem sogenannten Taylorkreis. Satz 12 (Lamoenkreis) Seien M a, M b und M c die Mittelpunkte der Seiten von ABC und S sein Schwerpunkt. Dann liegen die Umkreismittelpunkte der Dreiecke AM c S, BM c S, AM b S, CM b S, BM a S und CM a S auf einem Kreis, dem sogenannten Lamoenkreis. 3 Diese Lote heißen Nebenhöhen und die Lotfußpunkte folglich Nebenhöhenfußpunkte. 8

9 Literatur [ETC] Encyclopedia of Triangle Centers, Clark Kimberling, [Grinberg] Über einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie, Darij Grinberg, [Tour] A Tour of Triangle Geometry, Paul Yiu, Florida Atlantic University MAAFlorida pdf 9