GEOMETRIE (4a) Kurzskript

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1 GEOMETRIE (4a) Kurzskript Dieses Kurzskript ist vor allem eine Sammlung von Sätzen und Definitionen und sollte ausdrücklich nur zusammen mit weiteren Erläuterungen in der Veranstaltung genutzt werden. Fehler sind wahrscheinlich, und Lücken zum Teil sogar gewollt. 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

2 Kapitel 0 Konstruktion mit Zirkel und Lineal 2 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

3 Objekte: 0-dimensional 1-dimensional 1-dimensional mit Rand 2-dimensional 2-dimensional mit Rand Punkt Gerade, Kreislinie, Polygon Halbgerade, Strecke, Polygonzug Ebene, Figur Halbebene Der Rand eines n-dimensionalen Objektes ist immer ein Objekt der Dimension n 1. 3 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

4 Beim Konstruieren mit Zirkel und Lineal sind folgende Aktionen erlaubt: Markieren beliebiger Punkte in 1- oder 2-dimensionalen Objekten. Konvention: Wenn nicht ausdrücklich erklärt, -/- dann liegt solch ein Punkt nicht im Rand eines Objekts Zeichnen einer Gerade durch zwei existierende Punkte Verbinden zweier existierender Punkte durch eine Strecke Markieren von Schnittpunkten von zwei 1-dimensionalen Objekten Zeichnen eines Kreises um einen existierenden Mittelpunkt durch einen weiteren Punkt Zeichnen eines Kreises um einen existierenden Mittelpunkt mit einem bekannten Radius* Lineal Lineal -/- Zirkel Zirkel 4 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

5 Der Radius ist ein Abstand. Bekannte Abstände sind die Längen von existierenden Strecken bzw. der Abstand von zwei existierenden Punkten. Somit wird das Abtragen von Abständen zur grundlegenden Aufgabe des Zirkels. Eine typische Konstruktionsaufgabe in der Sekundarstufe I: Konstruiere ein Dreieck ABC. Gegeben sei l(c) = 3 cm, w(α) = 60, w(β) = 45 Hier sind keine Repräsentanten für Längen/Winkelgrößen vorgegeben. Deshalb nutzen wir z.b. das Geodreieck (enthält Repräsentanten für Längen/Winkelgrößen). Die Arbeit mit dem Geodreieck interessiert uns in dieser Vorlesung nicht. 5 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

6 Konventionen γ α β in einem Dreieck ABC heißen die Innenwinkel i.d.r. α, β, γ (α liegt an A, β an B, γ an C) die Dreiecksseiten werden i.d.r. als Strecken zwischen den entsprechenden Eckpunkten notiert (z.b. [AB]) a ist die Trägergerade von [BC], b ist die Trägergerade von [AC], c ist die Trägergerade von [AB] 6 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

7 vorgegebene Repräsentanten Konstruieren Sie aus den beiden gegebenen Winkeln und der gegeben Strecke ein Dreieck, so dass die Strecke von den beiden Winkeln eingeschlossen ist. 7 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

8 Gegebene Objekte benennen: 8 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

9 Grundkonstruktionen Abtragen Halbieren Lot Parallele Strecke Winkel Figur Strecke Winkel Fällen Errichten Mittelsenkrechte durch einen Punkt Mittelparallele 9 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

10 Weitere Konstruktionen im Dreieck am Kreis Vielfaches & Teilen Schwerpunkt, Seitenhalbierende Inkreismittelpunkt, Winkelhalbierende Umkreismittelpunkt, Mittelsenkrechte Höhen(geraden), Höhenschnittpunkt Mittelpunkt bestimmen Tangenten durch Punkt außerhalb des Kreises Tangente durch Punkt auf dem Kreis Strecke n-facher Länge Winkel n-facher Größe Strecke in n gleichlange Strecken teilen Winkel in n gleichgroße Winkel teile 10 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

11 Namen Punkt A, B, C, Gerade a, b,, g, h, = AB, CD, Strecke [AB], [CD], (halb-)offene Strecken ]AB[, ]CD], [EF[ Mittelpunkt M [AB] Mittelsenkrechte m [AB] Dreieck ABC = [AB] [BC] [AC] Halbgerade g S, h S (mit Anfangspunkt S) Winkel α, β, γ, = ASB oder (g S, h S ) Winkelhalbierende w α, w β, Kreis k(m, [MP]) (mit Mittelpunkt M durch P) Menge aller Punkte = Ebene E Menge aller Geraden in der Ebene G 11 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

12 Konvention: Wir notieren Winkel (so) grundsätzlich (wie möglich) gegen den Uhrzeigersinn: α = BSA = (h S, g S ) 12 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau