Elementare Geometrie

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Heidi Egger
vor 6 Jahren
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1 Elementare Geometrie Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 1 (SS 019) 1 Abgabetermin: Donnerstag, 11. April Vorbemerkung: Dies ist eine erste Nachbereitung der ersten Vorlesung vom 4. April. Manche Dinge fehlen oder sind nur angedeutet, andere Dinge sind hier etwas ausführlicher beschrieben. Wichtig war mir, daß sie die Aufgaben bearbeiten können. Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per oder in der Vorlesung). Vorbemerkungen Notation. Die Länge einer Strecke PQ wird mit PQ bezeichnet. Dies ist auch der Abstand der Punkte P, Q. Der Mittelpunkt einer Strecke Der Mittelpunkt M einer Strecke P Q wird mit Zirkel und Lineal folgendermaßen konstruiert: Man zeichnet um die beiden Punkte P und Q jeweils einen Kreis vom gleichen Radius r. Die beiden Schnittpunkte der Kreise verbindet man durch eine Gerade g. Der Schnittpunkt von g mit der Geraden PQ ist der Mittelpunkt M. Bemerkung (Korrigierte Fassung). Der gemeinsame Radius r der beiden Kreise kann dabei nach eigenem Gutdünken gewählt werden, aber groß genug, damit die beiden Kreise sich treffen. Genauer: r muß mindestens halb so groß wie die Strecke PQ sein (ist r kleiner, so schneiden sich die Kreise nicht). In Formeln: 1 Fassung vom 6. April, 00:00 r PQ

2 Man kann den Mittelpunkt M algebraisch durch eine einfache Formel beschreiben: M = P +Q oder (1) M = P +Q Bemerkung. Bei der Formel (1) handelt es sich um eine sogenannte affine Gleichung zwischen Punkten der Ebene. Der Begriff affin wurde in der Vorlesung bisher nicht erklärt. Es reicht aber völlig aus, die Gleichung (1) als eine Gleichung zwischen Vektoren anzusehen. Dazu wählt man sich einen Ursprungspunkt O und betrachtet einen Punkt A als Vektor OA (der Vektor von O nach A). In Vektorschreibweise lautet die Gleichung (1) dann () OM = OP + OQ Zur Herleitung der Formel: Man erhält den Mittelpunkt M in dem man von P die halbe Strecke PQ anlegt, also OM = OP + 1 PQ Damit ergibt sich OM = OP + 1 ( ) OQ OP = 1 OP + 1 OQ Nach Multiplikation mit erhält man die Gleichung (). Natürlich kann man Gleichung () auch direkt interpretieren: Man zeichne das Parallelogramm mit den Punkten O, P, Q und mit dem Endpunkt von OP + OQ als vierten Punkt. Dann ist OM die Hälfte dieses Vektors. Noch konkreter wird es, wenn man ein Koordinatensystem wählt. Wie üblich spreche ich meist von einem (x, y) -Koordinatensystem mit x-achse, y-achse etc. Ist dann P = (a,b) Q = (c,d)

3 so hat der Mittelpunkt M die Koordinaten ( a+c M =, b+d ) Anders formuliert: Die gesuchten Koordinaten von M sind gegeben durch Zusammengefaßt hat man M = (e,f) e = a+c f = b+d (3) (e,f) = (a,b)+(c,d) (Hier verwendet man komponentenweise Multiplikation bzw. Addition, was man auch als konkrete Vektorrechung in Koordinaten bezeichnen könnte). Bemerkung. Vielleicht wird nun klar, warum mir die affine Gleichung (1) viel sympathischer ist als die Gleichungen () und(3). Die Beziehung zwischen M und P, Q ist ja unabhängig von der Wahl eines Vektoren-Bezugspunktes O oder von der Wahl eines(x, y)-koordinatensystems. Der Punkt M ist eben der Mittelpunkt der Strecke P Q und diese rein geometrische Aussage braucht keinen weiteren Punkt O oder ein Koordinaten-System. Das Seitenmittendreieck 3 Notation. Für ein Dreieck mit den Punkten A, B, C schreibe ich oft kurz = ABC Das Seitenmittendreieck von = ABC ist das Dreieck = A B C dessen Punkte dieseitenmitten desdreiecks sind. Dabeibezeichnet A dieseitenmitte der dem Punkt A gegenüberliegenden Seite BC. Entsprechend sind B, C zu verstehen. Man mache eine Zeichnung! In algebraischen Formeln: A = B +C B = C +A C = A+B...(Hier fehlen einige Ergänzungen, insbesondere zum Schwerpunkt.)

4 4 Die Eulersche Gerade Dies wurde in der Vorlesung bisher nur kurz erwähnt. Zum Aufwärmen können Sie sich schon einmal externe Quellen anschauen. Es gilt die Euler-Gleichung 3S = U +H wobei S der Schwerpunkt, U der Umkreis-Mittelpunkt und H der Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks sind. Übrigens, in der englischsprachigen Literatur sind folgende Bezeichnungen üblich: G = S (center of gravity, centroid), O = U (circumcenter), H (gleicher Buchstabe, orthocenter). Die Euler-Gleichung lautet damit 3G = O+H Wenn wir schon dabei sind: Der Inkreismittelpunkt I heißt auf Englisch incenter.

5 Aufgabe 1. Es sei = ABC ein Dreieck und H der Schnittpunkt der Höhen in. Was ist der Schnittpunkt der Höhen im Dreieck BCH? Hinweis. Die Antwort wurde bereits in der Vorlesung gegeben. Sie sollen hier eine ausführliche Begründung geben. Etwa so: Der Schnittpunkt der Höhen von Dreieck BCH ist..., denn...und...sind zwei Höhen in BCH... Machen Sie eine Zeichnung zur Erläuterung. 5 Aufgabe. (a) Begründen Sie, warum sich die Mittelsenkrechten in einem Dreieck in einem Punkt schneiden. (Dieser Punkt ist der Umkreismittelpunkt U.) (b) Begründen Sie, warum sich die Winkelhalbierenden in einem Dreieck in einem Punkt schneiden. (Dieser Punkt ist der Inkreismittelpunkt I.) Hinweis. Diese Dinge wurden bisher nicht näher besprochen, sind aber hoffentlich Schulstoff gewesen. Sie können in jedem Fall gerne externe Quellen aufsuchen. Wichtig ist, daß Sie eine Begründung verstanden haben und diese verständlich formulieren. Wir können gerne am Montag darüber sprechen. Aufgabe 3. Begründen Sie: Die Mittelsenkrechten in einem Dreieck sind die Höhen im Seitenmittendreieck. Hinweis. Machen Sie eine Zeichnung. Benutzen Sie, daß die Seiten des Seitenmittendreiecks parallel zu den Seiten des ursprünglichen Dreiecks sind. Dies folgt aus einer algebraischen Rechnung (B C = 1/(C B)) oder einem Strahlensatz. Zu den Strahlensätzen: Irgendwann werde ich diese formulieren müssen. Sie können aber jetzt schon alle Strahlensätze verwenden. Auch hierüber können wir gerne am Montag darüber sprechen. Anmerkung. Mit Aufgabe (a) erhält man daraus, daß sich die Höhen in einem Dreieck in einem Punkt schneiden (dem Schnittpunkt der Höhen H). Denn jedes Dreieck ist Seitenmittendreieck eines anderen Dreiecks (von welchem?).

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