2.4 Besondere Punkte und Teilverhältnisse von Strecken in geometrischen Figuren

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1 72 KOORDINATENGEOMETRIE 2.4 Besondere Punkte und Teilverhältnisse von Strecken in geometrischen Figuren Aufgabe Lösung Subtraktionsverfahren verwenden Durch die Punkte A (9j2), B (2 j 8) und C ( j 6) ist ein Dreieck gegeben. a) Weise rechnerisch nach, dass sich die Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC in einem Punkt S schneiden. b) Der Punkt S teilt jede Seitenhalbierende in zwei Teilstrecken. Zeige, dass die am Eckpunkt liegende Teilstrecke doppelt so lang ist wie die andere. a) Die Seitenhalbierenden sind die Verbindungsstrecken der drei Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Seitenmitten. Kennt man die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks und die Koordinaten der Mittelpunkte der Dreiecksseiten, so kann man für jede Seitenhalbierende eine Gleichung aufstellen. Die Koordinaten von S müssen dann jede dieser Gleichungen erfüllen. Wir beginnen mit der Seitenhalbierenden von CA durch B (2j8). Wir bestimmen mithilfe von Satz (Seite 6) den Mittelpunkt P(x p y p ) der Strecke CA: x p ¼ þ ¼ 5 und y p ¼ 2 þ 6 ¼ P(5j4) ist der Mittelpunkt der Seite CA. Zwei-Punkte-Form: y 4 ¼ (x 5) Normalform: y ¼ 4 7 xþ 8 7 Entsprechend geht man bei den anderen Seitenhalbierenden vor. Die Seitenhalbierende durch A(9 j 2) verläuft durch den Mittelpunkt R (6,5j7) der Seite BC. Zwei-Punkte-Form: y 7 ¼ ,5 (x 6,5) Normalform: y ¼ 2 xþ20 Die Seitenhalbierende durch C (j6) verläuft durch den Mittelpunkt Q (0,5 j 5) der Seite AB. Zwei-Punkte-Form: y 5 ¼ (x 0,5) Normalform: y ¼ 0,5 9 xþ6 2 9 Der Punkt S (x s j y s ) liegt auf der Seitenhalbierenden durch B und P und auf der Seitenhalbierenden durch A und R. Seine Koordinaten erfüllen also die Gleichungen y ¼ 4 7 xþ 8 und y¼ 2 xþ20. Das liefert das Gleichungssystem: x s þ 8 7 ¼ y 8 s 2 x s þ 20 ¼ y s, umgeformt: 7 x s ¼ y s ¼ 2x s þ 20, also: x s ¼ y s ¼ 6 Die beiden Seitenhalbierenden schneiden sich im Punkt S 7 5. Wir zeigen, dass S 7 5 auch auf der 6 Seitenhalbierenden durch C und Q mit Punktprobe: ¼ þ 6 9 der Gleichung y¼ 2 9 xþ6 2 9 liegt. 6 Punktprobe: ¼ þ Ergebnis: Alle Seitenhalbierenden 6 schneiden sich im Punkt S 7 5 Punktprobe: ¼ 6 wahr.

2 Besondere Punkte und Teilverhältnisse von Strecken 7 Weiterführende Aufgabe b) Nach dem Satz von Pythagoras gilt für j SPj und j BSj: j SPj 2 ¼ þ j SPj ¼ þ ¼ 9 2 j SPj¼ pffiffiffi 65 j BSj 2 ¼ þ j BSj ¼ þ ¼ 9 2 j BS j¼ 2 pffiffiffiffiffi 65 2 j BS j¼2 jspj Also: j BS j¼2 jspj Entsprechend zeigt man: j CSj¼2 jsq j; j AS j¼2 jsrj. Ergebnis: Die am Eckpunkt liegende Teilstrecke ist doppelt so lang wie die andere. 2. Punkt zu einem gegebenen Teilungsverhältnis bestimmen a) Gegeben ist eine Strecke AB mit A(2 ) und B(8 2). Es soll derjenige Punkt P(x p jy p ) auf der Strecke AB bestimmt werden, der die Strecke im Verhältnis : 2 teilt, d.h. für den gilt: japj jpbj ¼ 2. Zeige dazu mithilfe der Zeichnung, dass gilt: () x p 2 8 x p ¼ 2 und (2) y p 2 y p ¼ 2 Bestimme aus () und (2) dann die Koordinaten x p und y p des Punktes P. b) Gehe wie in Teilaufgabe a) vor und zeige allgemein: Gegeben ist eine Strecke AB mit Aðx a jy a Þ und Bðx b jy b Þ. Ein Punkt P(x p jy p ) auf der Strecke AB, der die Strecke im Verhältnis k teilt, hat die Koordinaten x p ¼ x a þ k x b þ k und y p ¼ y a þ k y b. þ k Übungsaufgaben. A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Zeige rechnerisch, dass sich die Höhengeraden in einem Punkt H schneiden. Bestimme dessen Koordinaten. a) Að2j 2Þ, Bð27j 8Þ, Cð0j9Þ b) Að2jÞ, Bð7jÞ, Cð8j6Þ

3 74 KOORDINATENGEOMETRIE 4. Zeige rechnerisch, dass sich bei einem Dreieck ABC die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt M schneiden. Bestimme dessen Koordinaten. a) Aðj4Þ, Bð9j0Þ, Cð0j7Þ b) Að 2j2Þ, Bð6j 4Þ, Cð8j7Þ Weise nach, dass die Strecken AM, BM und CM gleich lang sind, dass M also der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist. 5. Bestimme einen Punkt P auf der Strecke AB mit Að7j50Þ und Bð 20j 80Þ, der die Strecke AB im angegebenen Verhältnis teilt. a) 2: b) :4 c) :6 6. Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD. Auf der Seite AB liegt der Punkt P mit japj¼ jabj. Die Strecken 5 AC und DP schneiden einander im Punkt S. In welchen Verhältnissen teilt der Punkt S die Strecken AC und DP? 7. Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD mit den Seitenmitten U und V. Zeige: Die Geraden AU und CV schneiden sich auf der Diagonale BD. 8. Der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden eines Dreiecks ABC ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Zeige: Ein Dreieck mit den Ecken Aða ja 2 Þ, Bðb jb 2 Þ, Cðc jc 2 Þ hat den Schwerpunkt S ða þ b þ c Þ ða 2 þ b 2 þ c 2 Þ. 9. Satz von Varignon Gegeben ist ein Viereck ABCD, dessen Diagonalen alle im Inneren liegen. Die Ecken haben die Koordinaten Aða ja 2 Þ, Bðb jb 2 Þ, Cðc jc 2 Þ und Dðd jd 2 Þ. Zeige: Die Verbindungen gegenüberliegender Seitenmitten schneiden sich im Punkt S 4 ða þ b þ c þ d Þ 4 ða 2 þ b 2 þ c 2 þ d 2 Þ. Hinweis: Lege das Koordinatensystem so, dass möglichst viele Koordinaten null werden.

4 Kreise Kreise selbst lernen 2.5. Die Mittelpunktgleichung eines Kreises Ein Kreis ist dadurch festgelegt, dass seine Punkte von einem festen Punkt M denselben Abstand r haben. Man nennt M den Mittelpunkt und r den Radius des Kreises. Wir wollen Kreise durch Koordinatengleichungen beschreiben. Aufgabe Lösung a) Gegeben ist ein Kreis im Koordinatensystem mit dem Ursprung O (0j0) als Mittelpunkt und dem Radius r ¼4. Gib für den Kreis eine Gleichung an. b) Gegeben ist ein Kreis im Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt M ( j 2) und dem Radius r ¼ 5. Gib für den Kreis eine Gleichung an. Es sei P (x j y) ein beliebiger Punkt des Kreises. Aus der Abstandsformel ergibt sich für P(x j y): x 2 þ y 2 ¼ 4 2 Ergebnis: Die Gleichung x 2 þ y 2 ¼ 6 beschreibt den Kreis um den Ursprung mit dem Radius 4. (x ) 2 þ (y 2) 2 ¼ 5 2 Ergebnis: Die Gleichung (x ) 2 þ (y 2) 2 ¼ 25 beschreibt den Kreis um M ( j 2) mit dem Radius 5. Information Gleichung eines Kreises in Mittelpunktform Satz 4: Gleichung eines Kreises Ein Kreis ist gegeben durch den Mittelpunkt M(dje) und den Radius r. Die Koordinaten x und y aller Punkte P auf der Kreislinie erfüllen die Gleichung: (x d) 2 þ (y e) 2 ¼ r 2 (Mittelpunktform) Durch die Gleichung (x ) 2 þ (y 2) 2 ¼25 ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M (j2) und dem Radius r ¼5 gegeben. Löst man die Klammern auf, so erhält man für diesen Kreis die Gleichung x 2 þ y 2 6x 4y¼ 2. Es handelt sich um eine quadratische Gleichung mit den beiden Variablen x und y. selbst lernen

5 76 KOORDINATENGEOMETRIE Weiterführende Aufgaben Übungsaufgaben 2. Nicht jede quadratische Gleichung mit x und y liefert einen Kreis Stellt die quadratische Gleichung einen Kreis dar? a) 2x 2 þ 2y 2 þ 6x þ 4y¼6 b) x 2 þ y 2 þ 4x 2y¼ 4. Lage von Kreis und Gerade Gegeben ist ein Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius r ¼. Wie liegen die folgenden Geraden zum Kreis? Bestimme gegebenenfalls die gemeinsamen Punkte, wie im Beispiel rechts mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen oder auch mithilfe der quadratischen Ergänzung. g : y ¼ x þ 8 g 2 : y ¼ 2xþ p g : 2xþ ffiffi 5 y ¼ 9 g 4 : y ¼ g 5 : x ¼ g 6 : x ¼ y g 7 : y ¼ xþ Kontrolliere die Ergebnisse anhand einer Zeichnung. Kreisgleichung: x 2 þ y 2 ¼ 9 Geradengleichung: y ¼ 2x Geradengleichung in die Kreisgleichung einsetzen: x 2 þð2x Þ 2 ¼ 9 umformen: Form: x 2 þ 4x 2 4xþ ¼ 9 5x 2 4x 8 ¼ 0 x 2 +px+q=0 x x 8 5 ¼ 0 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Formel: x =2 ¼ p 2 p 2 4 q Wir erhalten qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ¼ 0,4 þ ð0,4þ 2 þ,6,7266 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 ¼ 0,4 ð0,4þ 2 þ,6 0,9266 Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir P ð,7266j2,45þ und P 2 ð 0,9266j 2,85Þ als Schnittpunkte. Lösungsformel für quadratische Gleichungen 4. Welcher der Punkte A (4j ), B ( j ), C ( j ), D (5 j 2) und E ( j5) liegt auf dem Kreis, welcher innerhalb und welcher außerhalb des Kreises? a) x 2 þ y 2 ¼ 25 b) (x 5) 2 þ (y 4) 2 ¼25 5. Der Kreis hat M als Mittelpunkt und geht durch den Punkt P. Bestimme seine Gleichung in Mittelpunktform. a) M(0 0) P(5j 2) b) M(0 0) P( j 4) c) M(4j 2) P( j4) d) M(j 2) P(4j 2) 6. Bestimme den Mittelpunkt und den Radius des Kreises. a) x 2 þ 4xþ y 2 0 y ¼ 20 b) x 2 þ 4xþ y 2 ¼2,25 7. Bestimme für den Kreis durch die Punkte A, B und C eine Gleichung. a) A(0j0), B ( j), C (7 j 7) b) A(7j2), B ( 5 j 0), C ( 0 j 5) selbst lernen 8. Bestimme die gemeinsamen Punkte von Kreis und Gerade. a) x 2 þ y 2 ¼ 25; y ¼ 2x b) x 2 þ y 2 ¼ 6; y ¼ xþ8

6 Kreise Tangente an einen Kreis Aufgabe Gegeben sind ein Kreis und ein Punkt des Kreises. Gesucht sind die Steigung der Tangente in diesem Kreispunkt und eine Gleichung für diese Tangente. a) Kreis: x 2 þ y 2 ¼ 25 Kreispunkt: P ( j 4) b) Kreis: (x 2) 2 þ (y ) 2 ¼ 25 Kreispunkt: P (6 j 4) Lösung a) b) P liegt auf dem Kreis, denn seine Koordinaten erfüllen die Kreisgleichung. Es gilt: ( ) 2 þ 4 2 ¼25 (wahr) (6 2) 2 þ (4 ) 2 ¼25 (wahr) Die Tangente an den Kreis im Punkt P ist orthogonal zum Radius OP bzw. MP. Steigung des Berührungsradius: m r ¼ 4 Steigung des Berührungsradius: m r ¼ ¼ 4 Tangentensteigung: m t ¼ 4 Tangentensteigung: m t ¼ 4 Die Punkt-Steigungsform liefert dann eine Gleichung für die Tangente: y 4¼ (xþ) 4 y 4¼ 4 (x 6) y ¼ 4 xþ 25 4 y ¼ 4 x þ 2 Information () Steigung der Tangente im Kreispunkt P (x j y ) Die Tangente an den Kreis im Punkt P ist orthogonal zum Berührungsradius. Kreisgleichung: x 2 þ y 2 ¼ r 2 Kreisgleichung: (x d) 2 þ (y e) 2 ¼r 2 Steigung des Berührungsradius: m r ¼ y für x x ¼j 0 Steigung der Tangente: m t ¼ x für y y ¼j 0 Steigung des Berührungsradius: m r ¼ y e für x x d ¼j d Steigung der Tangente: m t ¼ x d für y y e ¼j e

7 78 KOORDINATENGEOMETRIE (2) Gleichung der Tangente im Kreispunkt P (x j y ) Da wir einen Punkt der Tangente und ihre Steigung kennen, machen wir einen Ansatz mithilfe der Punkt-Steigungs-Form y y ¼ m t (x x ). Wir setzen x für m y t : y y ¼ x (x x y ) j y Wir setzen x d y e für m t : y y ¼ x d y e (x x ) j (y e) Wir formen um. Der Nenner soll beseitigt werden. (y y ) y ¼ x (x x ) (y y ) (y e) ¼ (x x ) (x d) Wir formen weiter um, sodass die rechte Seite der Gleichung zu 0 wird. () (x x ) x þ (y y ) y ¼ 0 () (x x ) (x d) þ (y y ) (y e) ¼ 0 Beide Tangentengleichungen lassen den Zusammenhang zur jeweiligen Kreisgleichung noch nicht deutlich genug erkennen. Da der Punkt P (x j y ) auf dem Kreis liegt, erfüllen seine Koordinaten x und y die Kreisgleichung. (2) x x þ y y ¼ r 2 (2) (x d) (x d) þ (y e) (y e) ¼ r 2 Addiert man die Gleichungen () und (2) und klammert x und y aus, so erhält man: () x x þ y y ¼ r 2 Addiert man die Gleichungen () und (2) und klammert (x d) und (y e) aus, so erhält man: () (x d) (x d) þ (y e) (y e) ¼ r 2 Die Gleichungen in dieser Form () lassen den Zusammenhang zur jeweiligen Kreisgleichung erkennen. Satz 5: Tangente an einem Kreis Die Tangente an den Kreis mit der Gleichung x 2 þ y 2 ¼r 2 im Kreispunkt P (x j y ) hat die Gleichung Gilt auch falls x x þ y y ¼r 2 x = 0 oder y =0, Die Tangentensteigung ist: siehe Aufgabe 2 m t ¼ x für y y ¼j 0. Die Tangente an den Kreis mit der Gleichung (x d) 2 þ (y e) 2 ¼ r 2 im Kreispunkt P (x j y ) hat die Gleichung (x d) (x d) þ (y e) (y e) ¼r 2 Die Tangentensteigung ist: m t ¼ x d für y y e ¼j e.

8 Kreise 79 Weiterführende Aufgaben 2. Tangenten an einen Kreis parallel zur. oder 2. Achse Bei der Herleitung der Gleichung der Tangente im Punkt P (x j y ) an einen Kreis wurden die Voraussetzungen x ¼j 0, y ¼j 0 bzw. x ¼j d, y ¼j e gemacht. Falls M (0 j 0) der Kreismittelpunkt ist, wurde vorausgesetzt: x ¼j 0; y ¼j 0 a) Zeige, dass man die Gleichung x x þ y y ¼r 2 auch verwenden kann für () P (0 j r) () P (r j 0) (2) P (0 j r) (4) P ( r j 0) Falls M (d j e) der Kreismittelpunkt ist, wurde vorausgesetzt: x ¼j d; y ¼j e b) Zeige, dass man die Gleichung (x d) (x d) þ (y e) (y e) ¼r 2 auch verwenden kann für () P (d j e þ r) () P (d þ rje) (2) P (d j e r) (4) P (d r j e) Übungsaufgaben p. Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion x 7! ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 Setzte r ¼ in der Kreisgleichung x 2 þ y 2 ¼ r 2 und betrachte dabei nur den oberen Halbkreis. Zeige: Beim Graphen der Funktion x 7! ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 mit <x< hat die Tan- p pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gente im Punkt A ðx j x 2 Þ die Steigung m¼ x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi. x 2 4. Gib für die Tangente an den Kreis im Kreispunkt P die Gleichung in der Form x x þ y y ¼r 2 an. Überführe sie anschließend in die Normalform. Kontrolliere die Rechnung durch eine Zeichnung. a) x 2 þ y 2 ¼ 25; P ( j 4) c) x 2 þ y 2 ¼00; P ( 8 j 6) b) x 2 þ y 2 ¼ 6,25; P (2,5) d) x 2 þ y 2 ¼20; P (4 j 2) 5. Bestätige, dass P auf dem Kreis liegt. Gib für die Tangente an den Kreis im Punkt P die Gleichung in der Form (x d) (x d) þ (y e) (y e) ¼ r 2 an. Überführe sie anschließend in die Normalform. Kontrolliere die Rechnung durch eine Zeichnung. a) (x ) 2 þ (y ) 2 ¼ 00; P ( j 7) c) x 2 6xþ y 2 þ 6y¼,75; P (,5 j ) b) x 2 þ 4xþ y 2 þ 2y¼ 20; P ( 5 j ) d) x 2 þ 6 x þ y 2 2y¼ 45; P ( 6 j 5) 6. Bestimme die Punkte des Kreises, in denen die Tangente die angegebene Steigung hat. a) x 2 þ y 2 ¼ 25; m ¼ 4 c) (x þ ) 2 þ (y þ ) 2 ¼64; m¼ 4 b) x 2 þ y 2 ¼ 6; m ¼ d) x 2 þ 6xþy 2 4y¼ 4; m¼0 4 Gib für die Tangenten auch Gleichungen an.