DOWNLOAD. Konstruieren von Figuren. Kopiervorlagen zum Grundwissen Ebene. Grundwissen Ebene Geometrie. Michael Körner

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1 DOWNLOAD Michael Körner Konstruieren von Figuren Kopiervorlagen zum Grundwissen Ebene Michael Körner Grundwissen Ebene Geometrie Klasse Bergedorfer Kopiervorlagen Downloadauszug aus dem Originaltitel:

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3 Inhaltsverzeichnis Grundwissen Ebene Geometrie Konstruieren von Figuren 1 Mittelsenkrechte konstruieren 2 Parallele konstruieren 3 Winkelhalbierende konstruieren 4 Kongruenzsätze für Dreiecke 5 Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren 6 Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren 7 Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren 8 Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren 9 Vermischte Übungen zu Dreiecke konstruieren 10 Mittelsenkrechte in Dreiecken 11 Winkelhalbierende in Dreiecken 12 Höhen in Dreiecken 13 Seitenhalbierende in Dreiecken en 14 Vermischte Übungen n zu besonderen Linien 15 Unregelmäßige Vierecke konstruieren 16 Rechtecke und Quadrate konstruieren 17 Parallelogramme e und Trapeze konstruieren 18 Rauten und Drachenvierecke konstruieren 19 Vermischte Übungen zu Vierecke konstruieren 20 Lernzielkontrolle zum Konstruieren ren (1) 21 Lernzielkontrolle zum Konstruieren ren (2) ab Seite 22 Lösungen Zu einigen wenigen Aufgaben liegen keine Lösungen vor, da hier die Kontrolle durch die Lehrkraft erfolgen sollte.

4 Mittelsenkrechte konstruieren Info In der Geometrie unterscheidet man zwischen (echtem) Konstruieren und Zeichnen. Beim Zeichnen verwendet man Hilfsmittel, z. B. das Geodreieck. (Echte) Konstruktionen werden ausschließlich mithilfe von Zirkel und Lineal gemacht. Befolge die Arbeitsanweisungen. (1) Zeichne bei den Strecken jeweils einen Kreisbogen um beide Eckpunkte, dessen Radius größer als die (geschätzte) Hälfte der Strecke ist. (2) Zeichne eine Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. (3) Nenne den Schnittpunkt der Geraden mit den Strecken M. (4) Miss die Länge der Strecken und Teilstrecken en und gib ihre Längen an. AB =, AM =, BM = CD =, CM =, DM = (5) Was stellst du fest? (6) Miss die Winkel am Schnittpunkt der Geraden mit den Strecken und beschreibe, was dir auffällt. Die Geraden, die du bei konstruiert hast, werden als Mittelsenkrechte bezeichnet. Zeichne folgende Strecken und konstruiere die Mittelsenkrechten. a) 6 cm b) 3,6 cm c) 48 mm d) 1 dm Beschreibe, wie man ohne zu Messen den Mittelpunkt einer 8 cm langen Strecke finden kann. 1

5 Parallele konstruieren a) Zeichne um P einen Kreisbogen, der die Gerade g in zwei Punkten schneidet. b) Nenne die Schnittpunkte A und B. c) Konstruiere nun die Mittelsenkrechte zu der Strecke AB. d) Wiederhole dein Vorgehen von a) bis c) mit einem anderen Kreisbogen. e) Was fällt dir auf? Vergleiche deine Ergebnisse auch mit deinem Nachbarn. Konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) jeweils die Senkrechte zu g durch P. a) b) c) Konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) jeweils die Parallelen allele zu g durch P. Tipp: p: Schaue dir vorher noch einmal deine e Ergebnisse von an. Konstruiere zweimal eine Senkrechte. a) b) c) Aufgabe 4 Zeichne ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft. a) Zeichne eine Gerade durch die Punkte A( 3 2) und B(1 2). b) Gib die Schnittpunkte der Geraden mit den beiden Achsen an. c) Konstruiere durch den Punkt C(2 2) eine Parallele zu der Geraden AB. d) Gib die Schnittpunkte der Parallelen mit den beiden Achsen an. 2

6 Winkelhalbierende konstruieren Die Halbgeraden, die du bei konstruiert hast, werden als Winkelhalbierende bezeichnet. Zeichne die angegebenen Winkel und konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) jeweils die Winkelhalbierende. a) spitzer Winkel b) rechter Winkel c) stumpfer Winkel a) Zeichne um die Scheitelpunkte S 1 und S 2 jeweils einen Kreisbogen, der beide Schenkel der Winkel schneidet. b) Zeichne dann jeweils zwei weitere Kreisbögen, die als Mittelpunkte die Schnittpunkte des ersten Kreisbogens mit den Schenkeln haben. c) Zeichne nun eine Halbgerade mit dem Anfangspunkt ngspu S 1 bzw. S 2 durch den Schnittpunkt der zweiten Kreisbögen. d) Wiederhole dein Vorgehen von a) bis c) bei beiden Winkeln. Verändere dabei den Radius der Kreisbögen. e) Was fällt dir auf? Vergleiche deine Ergebnisse se auch mit deinem Nachbarn. f) Miss jetzt den Winkel und die beiden Teilwinkel. Winkelgrößen bei S 1 :,, Winkelgrößen en bei S 2 :,, g) Was fällt dir auf? Vergleiche deine Ergebnisse auch hmit deinem Nachbarn. Teile nur mit Zirkel und Lineal einen beliebigen Winkel in vier gleich große Winkel. 3

7 Kongruenzsätze für Dreiecke Info Die Form und Größe von Dreiecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt. Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Dreiecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Dreiecken kennen, um entscheiden zu können, ob die Dreiecke kongruent zueinander sind. Aufgabe Oftmals sind drei Stücke (Seiten und Winkel) ausreichend, um über die Kongruenz von Dreiecken zu entscheiden. Diese Fälle werden in den sogenannten Kongruenzsätzen festgeschrieben. Von den sieben nachstehenden Kongruenzsätzen sind jedoch nur fünf richtig. Finde diese, indem du anhand der Zeichnungen prüfst, ob die Dreiecke, die jeweils drei gleiche Stücke haben, auch in den anderen drei Stücken übereinstimmen. (3) Zwei Dreiecke ecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlän- gen und der von den Seiten eingeschlossenen Winkelgröße übereinstimmen men (sws). (1) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seiten- längen übereinstimmen (sss). (2) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Winkelgrößen übereinstimmen (www). w). (4) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und beiden der Seite anliegenden Winkelgrößen übereinstimmen (wsw). (5) Zwei Dreiecke e sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge enlänge und zwei weiteren Winkelgrößen übereinstimmen men (sww). (6) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegenüberliegenden Winkelgröße übereinstimmen (Ssw). (7) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkelgröße übereinstimmen (ssw). Folgende Kongruenzsätze sind richtig: 4

8 Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren Ben hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion zwei Fehler gemacht. Finde diese, indem du Bens einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Notiere anschließend die gegebenen Stücke (Seiten und Winkel) und konstruiere das Dreieck richtig in deinem Heft. Konstruktionsbeschreibung (1) Mache dir eine Planfigur, d. h. eine Skizze, in der die bekannten Stücke des Dreiecks farbig gekennzeichnet sind. (2) Zeichne die Strecke c = 3 cm. (3) Benenne die Eckpunkte mit A und B. (4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius b = 2 cm. (5) Trage den Winkel a = 80 an A ab. (6) Bezeichne den Schnittpunkt des zweiten Schenkels von a mit dem Kreis(bogen) mit C. (7) Verbinde B mit C. (8) Bezeichne die Strecke AC mit b und die Strecke e BC mit a. (1) (2) und (3) (4) (5) und (6) (7) und (8) Bens Fehler: er: Gegebene Stücke: Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Seiten und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) b = 5 cm; c = 3,5 cm; a = 60 a = b = g = b) a = 4,8 cm; c = 6,2 cm; b = 110 b = a = g = c) a = 5,6 cm; b = 7,2 cm; g = 58 c = a = b = 5

9 Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren Jonas hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion zwei Fehler gemacht. Finde diese, indem du Jonas einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Notiere anschließend die gegebenen Stücke (Seiten und Winkel) und konstruiere das Dreieck richtig in deinem Heft. Konstruktionsbeschreibung (1) Mache dir eine Planfigur, d. h. eine Skizze, in der die bekannten Stücke des Dreiecks farbig gekennzeichnet sind. (2) Zeichne die Strecke c = 4 cm. (3) Benenne die Eckpunkte mit A und B. (4) Trage den Winkel a = 45 an A ab. (5) Trage den Winkel b = 75 an B ab. (6) Bezeichne den Schnittpunkt der zweiten Schenkel von a und b mit C. (7) Bezeichne die Strecke AC mit b und die Strecke BC mit a. (1) (2) und (3) (4) (5) (6) und (7) Jonas Fehler: Gegebene Stücke: Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) b = 6 cm; a = 35 ; g = 90 a = c = b = b) a = 3,8 cm; b = 120 ; g = 23 b = c = a = c) c = 5 cm; a = 40 ; b =100 a = b = g = 6

10 Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren a) Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte. Achtung: Die Zeichnungen sind nicht in der Originalgröße, sondern verkleinert (Maßstab 1:4) dargestellt. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Konstruktionsbeschreibung (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) a) Notiere die gegebenen Stücke: c) Konstruiere das Dreieck in Originalgröße in dein Heft. Beginne dabei mit der Seite a. d) Miss die drei Winkel: a) Von einem em Dreieck sind die Seiten a = 8 cm und b = 5 cm gegeben. Wie lang (in mm) muss die Seite c mindestens ns sein, damit man das Dreieck konstruieren kann? b) Von einem Dreieck sind die beiden kürzeren Seiten b und c gegeben. Wie lang muss die Seite a mindestens sein, damit man das Dreieck konstruieren kann? Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Seiten. Bestimme die fehlenden Winkel durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) a = 5,3 cm; b = 4,2 cm; c = 2,7 cm a = b = g = b) a = 3,8 cm; b = 6,4 cm; c = 6,4 cm a = b = g = c) a = 5 cm; b = 5 cm; c = 5 cm a = b = g = 7

11 Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren Alexander hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion Fehler gemacht. Finde diese, indem du Alexanders einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Konstruiere das Dreieck anschließend richtig in dein Heft. Konstruktionsbeschreibung (1) Mache dir eine Planfigur, d. h. eine Skizze, in der die bekannten Stücke des Dreiecks farbig gekennzeichnet sind. (2) Zeichne die Strecke c = 2,2 cm. (3) Benenne die Eckpunkte mit A und B. (4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit einem Radius von b = 2,8 cm. (5) Trage den Winkel b = 72 an B ab. (6) Bezeichne den Schnittpunkt des zweiten Schenkels von b mit dem Kreis(bogen) mit C. (7) Verbinde A mit C. (8) Bezeichne die Strecke AC mit b und die Strecke BC mit a. (1) (2) und (3) (4) (5) und (6) (7) und (8) Alexanders Fehler: er Gegebene Stücke: Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) a = 3,7 cm; c = 5,3 cm; g = 115 b = a = b = b) b = 5,2 cm; c = 4,4 cm; b = 49 a = a = g = c) a = 6,6 cm; b = 4,2 cm; a = 89 c = b = g = 8

12 Vermischte Übungen zu Dreiecke konstruieren a) Woran kannst du erkennen, dass man das Dreieck aus den gegebenen Längen konstruieren kann? Seite a Seite b Seite c (1) 7,5 cm 3,9 cm 3,4 cm (2) 5,2 cm 4,3 cm 8,1 cm (3) 34 mm 59 mm 35 mm (4) 84 mm 31 mm 53 mm b) Zeichne wenn möglich die Dreiecke und gib die fehlenden Winkel an. Gib jeweils den Kongruenzsatz an und konstruiere die Dreiecke. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Benenne auch die Dreiecksart. rt. a) a = 5,2 cm; c = 6,4 cm; g = 56 b) b = 3,4 cm; c = 4,6 cm; a = 45 Kongruenzsatz: Kongruenzsatz: b = a = b = a = b = g = Dreiecksart: Dreiecksart: c) a = 6,6 cm; b = 60 ; g = 60 d) a = 3 cm; b = 4c cm; c = 5 cm Kongruenzsatz: Kongruenzsatz: nzsa b = c = a = a = b = g = Dreiecksart: rt: Dreiecksart: Familie Bettner möchte über ihren Gartenteich eine e Brücke bauen. Wie lang müssen die Bretter er sein, damit sie die Brücke bauen können? Achtung: Die Zeichnung ng ist nicht maßstabsgerecht. sg Aufgabe 4 Konstruiere e die Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). Gib näherungsweise die Koordinate des fehlenden Punktes an und miss die fehlenden Stücke. a) A(5 2) B(9 4) a = 2,8 cm b = 4,5 cm C( ) c = a = b = g = b) A(6 2) C(1 5) a = 37 g = 65 B( ) a = b = c = b = 9

13 Mittelsenkrechte in Dreiecken a) Konstruiere jeweils die Mittelsenkrechten zu allen drei Seiten der Dreiecke. b) Was stellst du fest? Bei stumpfwinkligen Dreiecken Bei spitzwinkligen Dreiecken Bei rechtwinkligen Dreiecken a) Zeichne die gegebenen Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft. b) Konstruiere e jeweils die drei Mittelsenkrechten und gib die Koordinate ordina des Schnittpunktes M der drei Mittelsenkrechten enk an. c) Zeichne jeweils einen Kreis um M, der durch den Eckpunkt A geht. d) Beschreibe, was dir auffällt. (1) A(7 3) B(8 6) C(2 3) M( ) (2) A( 3 2) B( 3 2) C(3 2) M( ) (3) A( 2 6) B( 6 6) C( 4 2,5) M( ) Der bei gefundene Kreis wird als Umkreis bezeichnet. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann den Umkreis des Dreiecks und gib seinen Radius an. a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90 r = b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm r = c) a = 5,2 cm b = 28 g = 117 r = 10

14 Winkelhalbierende in Dreiecken a) Konstruiere jeweils die Winkelhalbierende zu allen drei Winkeln der Dreiecke. b) Was stellst du fest? Bei stumpfwinkligen Dreiecken Bei spitzwinkligen Dreiecken Bei rechtwinkligen Dreiecken a) Zeichne die gegebenen Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft. b) Konstruiere e jeweils die drei Winkelhalbierenden n und gib die Koordinate des Schnittpunktes W der drei Winkelhalbierenden an. c) Bestimme den Abstand des Schnittpunktes W von der Seite AC. d) Zeichne jeweils einen Kreis um W, der den Radius des Abstandes W von AC hat. e) Beschreibe, was dir auffällt. (1) A(7 3) B(8 6) C(2 3) W( ) (2) A( 3 2) B( 3 2) C(3 2) W( ) (3) A( 2 6) B( 6 6) C( 4 2,5) W( ) Der bei gefundene Kreis wird als Inkreis bezeichnet. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann den Inkreis des Dreiecks und gib seinen Radius an. a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90 r = b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm r = c) a = 5,2 cm b = 28 g = 117 r = 11

15 Höhen in Dreiecken Info Als Höhen in Dreiecken werden die Abstände der Eckpunkte von den gegenüberliegenden Seiten bzw. deren Verlängerungen bezeichnet. a) Konstruiere jeweils die Höhen zu allen drei Seiten der Dreiecke. b) Was stellst du fest? Bei stumpfwinkligen Dreiecken Bei spitzwinkligen Dreiecken Bei rechtwinkligen n Dreiecken a) Zeichne die gegebenen n Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft. b) Konstruiere jeweils die drei Höhen und gib die Koordinate des Schnittpunktes H der drei Höhen bzw. der Höhengeraden an. c) Bestimme den Abstand des sschnittpunktes H von den drei Seiten. (1) A(7 3) B(8 6) C(2 3) H( ) (2) A( 3 2) B( 3 2) C(3 2) H( ) (3) A( 2 6) B( 6 6) C( 4 2,5) H( ) Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann die Höhen und gib ihre Längen an. a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90 h a = h b = h c = b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm h a = h b = h c = c) a = 5,2 cm b = 28 g = 117 h a = h b = h c = 12

16 Seitenhalbierende in Dreiecken Info Als Seitenhalbierende in Dreiecken werden die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Seitenmitten bezeichnet. a) Konstruiere jeweils die Seitenhalbierenden der Dreiecke. b) Was stellst du fest? Bei stumpfwinkligen Dreiecken Bei spitzwinkligen Dreiecken Bei rechtwinkligen Dreiecken a) Zeichne die gegebenen Dreiecke in ein Koordinatensystem em (Einheit 1 cm) in dein Heft. b) Konstruiere jeweils die Seitenhalbierenden enden und gib (näherungsweise) die Koordinate des Schnittpunktes S der Seitenhalbierenden an. (1) A(7 3) B(8 6) C(2 3) S( ) (2) A( 3 2) B( 3 2) C(3 2) S( ) (3) A( 2 6) B( 6 6) C( 4 2,5) S( ) Den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bezeichnet man als Schwerpunkt des Dreiecks. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann den Schwerpunkt und gib die Länge der Seitenhalbierenden an. a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90 s a = s b = s c = b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm s a = s b = s c = c) a = 5,2 cm b = 28 g = 117 s a = s b = s c = 13

17 Vermischte Übungen zu besonderen Linien Zeichne jeweils eine Gerade durch den Schnittpunkt der beiden besonderen Dreieckslinien und des freien Eckpunktes und untersuche die Eigenschaft dieser Geraden. Was stellst du fest? Konstruiere den Umkreis des Dreiecks mit a = 40, b= 5,1 cm und g = 100 und gib den Umkreisradius an. Benutze möglichst wenige Konstruktionsschritte. Konstruiere den Inkreis des Dreiecks mit b = 6,3 cm, a = 81 und c = 4,7 cm und gib den Inkreisradius an. Benutze möglichst wenige Konstruktionsschritte. tionss Aufgabe 4 Konstruiere den Schwerpunkt des Dreiecks mit b = 60, a = 3,9 cm und g 60. Benutze möglichst weni- ge Konstruktionsschritte. onsschritte. Aufgabe 5 Konstruiere den Höhenschnittpunkt nittpun des Dreiecks b = 4,5 cm, a = 38 und c = 4,5 cm. Benutze möglichst wenige Konstruktionsschritte. tio sschri Aufgabe 6 Sascha möchte sich aus einem Brett (Maße siehe Skizze) eine möglichst große runde Scheibe ausschneiden. Welchen Durchmesser hat die Scheibe? Aufgabe 7 Die Städte Echzell, Hungen und Wölfersheim planen den Bau eines gemeinsamen Biokraftwerkes. Der Standort soll so gewählt werden, dass die Anlage von allen drei Orten gleich weit entfernt ist (Luftlinie). Für die Entfernungen der Städte gilt: Echzell Wölfersheim 5 km Echzell Hungen 8 km Hungen Wölfersheim 9 km Bestimme die Entfernung des Biokraftwerkes zu den Städten durch eine Konstruktion. 14

18 Unregelmäßige Vierecke konstruieren Info Die Form und Größe von Vierecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt. Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Vierecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Vierecken kennen, um entscheiden zu können, ob Vierecke kongruent zueinander sind. Jan hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Viereck konstruiert. Dabei hat er jedoch zwei Fehler gemacht. Markiere diese in den Konstruktionsschritten. Notiere dann die gegebenen Stücke und konstruiere das Viereck richtig in dein Heft. Konstruktionsbeschreibung (1) Mache dir eine Planfigur. (2) Zeichne die Strecke a = 4 cm und benenne die Eckpunkte mit A und B. (3) Trage den Winkel a = 85 an A und den Winkel b = 85 an B ab. (4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius d = 2,5 cm und bezeichne den Schnittpunkt des Kreis(bogens) mit dem zweiten Schenkel von a mit td. (5) Zeichne einen Kreis(bogen) en) um B mit Radius b = 3 cm und bezeichne den Schnittpunkt des Kreis(bogens) mit dem zweiten Schenkel von b mit C. (6) Verbinde C mit D und vervollständige die Bezeichnung. (1) (2) (3) (4) (5) (6) Gegebene Stücke: Konstruiere jeweils die Vierecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) a = 5 cm; b = 4 cm; c = 6 cm; d = 7 cm; b = 70 a = g = d = b) a = 3,5 cm; b = 3 cm; d = 2 cm; a = b = 95 c = g = d = 15

19 Rechtecke und Quadrate konstruieren Info Normalerweise benötigt man mindestens fünf Stücke (Seiten und Winkel), um ein Viereck eindeutig konstruieren zu können. Oftmals werden aber weniger als fünf Stücke eines Vierecks angegeben. Damit die Konstruktion trotzdem eindeutig ist, werden dann zusätzlich die Eigenschaften von besonderen Vierecken (siehe Arbeitsblatt 18) ausgenutzt. a) Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte. Achtung: Die Zeichnungen sind nicht in der Originalgröße, sondern verkleinert (Maßstab 1:4) dargestellt. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Konstruktionsbeschreibungnsbeschreibung (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) b) Notiere die gegebenen gebenen Stücke: c) Konstruiere das Viereck in Originalgröße in dein Heft. Beginne dabei mit der Seite a. d) Gib die Viereckart an: Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw. die Längen der Diagonalen durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen die Eigenschaften der Figuren benutzen. a) Rechteck mit a = 6 cm und b = 3 cm e = f = b) Rechteck mit a = 7 cm und e = 7,2 cm b = f = c) Quadrat mit a = 5 cm e = f = d) Quadrat mit e = 5,6 cm a = f = 16

20 Parallelogramme und Trapeze konstruieren Info In Parallelogrammen und Trapezen wird der Abstand der jeweils zueinander parallelen Seiten als Höhe bezeichnet. Ergänze in den Koordinatensystemen jeweils den Punkt A, sodass sich ein Parallelogramm ergibt. Gib auch die Koordinate von A an. a) A( ) b) A( ) c) A( ) Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw. die Länge der Höhen durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen nen die Eigenschaften der Figuren benutzen. a) Parallelogramm mit a = 5 cm, b = 3 cm und a = 50 b) Parallelogramm mit a = 6 cm, h a = 4 cm mund b = 73 c) Trapez mit a = 3cm, b = 3,8 cm, c = 4,6 cm und b = 56 a c d) Trapez mit a = 4 cm, d = 3,2 cm, a = b = 103 a c Konstruiere die Parallelogramme in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). Gib näherungsweise die Koordinaten der fehlenden Punkte an und miss die fehlenden Stücke. a) A( 2 3) B(4 3) b = 5 cm f = 9 cm C( ) D( ) e = a = g = b = d = b) B(6 3) C(6 2) a = 8 cm d = 65 A( ) D( ) e = f = a = g = b = 17

21 Rauten und Drachenvierecke konstruieren Ergänze in den Koordinatensystemen jeweils den Punkt A, sodass sich eine Raute ergibt. Gib auch die Koordinate von A an. a) A( ) b) A( ) c) A( ) Ergänze in den Koordinatensystemen jeweils den Punkt A, sodass sich ein Drachenviereck mit der Symmetrieachse BD ergibt. Gib auch die Koordinate von A an. a) A( ) b) A( ) c) A( ) Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw. die Längen der Diagonalen durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen die Eigenschaften der Figuren nutzen. a) Raute mit a = 5 cm und a = 50 b) Raute mit c = 6 cm, f = 4 cm c) Drachenviereck mit a = 3 cm, b = 3,8 cm, f = 4,6 cm (Symmetrieachse ist AC) d) Drachenviereck mit a = 4 cm, e = 3,2 cm, f = 5,5 cm (Symmetrieachse ist BD) 18

22 Vermischte Übungen zu Vierecke konstruieren a) Trage die Punkte A 1 (2,5 3,5), B 1 (1 2,5), C 1 (2,5 0,5), A 2 ( 1,5 0,5), B 2 ( 1 2), C 2 ( 4 3), A 3 ( 1,5 1), B 3 ( 3,5 1), C 3 ( 4,5 2,5), A 4 (0,5 2), B 4 (2 3), C 4 (3,5 2) in das Koordinatensystem ein. b) Ergänze die Punkte D 1 bis D 4, so dass sich die angegebene Figur ergibt. c) Zeichne bei allen Figuren die Diagonalen e 1 bis e 4 und f 1 bis f 4 ein und gib näherungsweise die Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte S 1 bis S 4 an. S 1 ( ) S 2 ( ) S 3 ( ) S 4 ( ) Übertrage die Figuren in dein Heft, zeichne die Höhen ein und gib ihre Längen n an. Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Stücke durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen onen teilweise die Eigenschaften der Figuren benutzen. a) Unregelmäßiges elmäßige Viereck mit a = 3,9 cm; b = 5,4 cm; c = 2,6 cm; d = 4,7 cm; g = 70 e = f = a = b = d = b) Raute mit a = 6 cm, f = 4 cm e = h a = a = g = b = d = c) Drachenviereck mit a = 5,2 cm, b = 2,8 cm, e = 4,6 cm (Symmetrieachse ist BD) f = a = b = g = d = d) Parallelogramm mit b = 5 cm, h b = 4,2 cm und g = 73 a = e = f = h a = a = b = d = e) Quadrat mit f = 6 cm. a = e = 19

23 Lernzielkontrolle zum Konstruieren (1) 45 a) Konstruiere die beiden Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). (1) A 1 ( 2 2,5) C 1 (1,5 4) a 1 = 51 g 1 = 66 (2) A 2 ( 3 4,5) B 2 (2 2,5) a 2 = 4,2 cm b 2 = 96 b) Gib näherungsweise die Koordinaten der fehlenden Punkte an. (1) B 1 ( ) (2) C 2 ( ) c) Miss die fehlenden Stücke. a 1 = b 1 = c 1 = b 1 = b 2 = c 2 = a 2 = g 2 = Konstruiere zu dem nebenstehenden Kreis den Mittelpunkt. telpu Tipp: Denke an den Umkreis eines Dreiecks. Konstruiere jeweils den Umkreis und gib seinen Radius an. a) Quadrat mit a = 3,7 cm r Umkreis = r Umkre b) Rechteck mit b = 5,1 cm und f = 6,3 cm r Umkreis = mkreis = Aufgabe 4 a) Konstruiere das Viereck nach der vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung. (1) Zeichne eine 6 cm lange Strecke BC. (2) Trage an der Strecke BC in Punkt C den Winkel 70 ab. (3) Trage an der Strecke BC in Punkt B den Winkel 110 ab. (4) Zeichne einen Kreisbogen um C mit dem Radius 3,8 cm und bezeichne den Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem zweiten Schenkel des 70 -Winkels mit D. (5) Zeichne zur Strecke BC durch den Punkt D eine Parallele. (6) Bezeichne den Schnittpunkt der Parallelen mit dem zweiten Schenkel des 110 -Winkels mit A. (7) ABCD ist das gesuchte Viereck. b) Gib an, welche Stücke gegeben waren. c) Gib an, um welche Viereckart es sich handelt. 20

24 Lernzielkontrolle zum Konstruieren (2) 46 Beschreibe, wie man ohne zu Messen einen Winkel von 45 konstruieren kann. Konstruiere die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden n Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. a) a = 7 cm; b = 4 cm; r Umkreis = 5 cm c = ; a = ; b = ; g = b) a = 5 cm; b = 4 cm s a = 4,5 cm c = ; a = ; b = ; g = Erkläre, warum in einem Dreieck die Seitenhalbierende erende einer Seite nie kleiner sein kann als die zu der Seite gehörende Höhe. Aufgabe 4 Konstruiere jeweils den Inkreis und gib seinen Radius an. a) Quadrat mit f = 6,8 cm r Inkreis = b) Raute mit a = 2,8 cm und g = 50 r Inkreis = Aufgabe 5 Welche Bedingungen müssen mindestens erfüllt sein, damit a) zwei Quadrate zueinander kongruent sind? b) zwei Rauten zueinander kongruent sind? c) zwei Rechtecke zueinander kongruent sind? 21

25 Lösungen 62 Seite 1 a) bis d) Individuelle Lösungen. e) Es fällt auf, dass immer die gleiche Halbgerade entsteht. f) Winkelgrößen bei S 1: 40, 20, 20 Winkelgrößen bei S2: 150, 75, 75 g) Es fällt auf, dass die Halbgerade den Winkel jeweils halbiert. Individuelle Lösungen. Individuelle Lösungen, wobei der Winkel zuerst halbiert werden muss und die beiden Teilwinkel dann wieder halbiert wer- den müssen. Seite 4 Aufgabe Folgende Kongruenzsätze sind richtig: (1) (3) (4) (5) (6) Seite 5 Ben hat die Bezeichnung des Dreiecks im Uhrzeigersinn gemacht und nicht gegen den Uhrzeigersinn. n. Außerdem hat er α = 100 statt α = 80 abgetragen. Gegebene Stücke: b = 2 cm; c = 3 cm; α = 80 Richtiges Dreieck: a) a = 4,4 cm β = 77 γ = 43 b) b = 9,1 cm α = 30 γ = 40 c) c = 6,4 cm α = 48 β = 74 Seite 6 Jonas hat bei der Planfigur die Bezeichnung mit dem Uhrzeigersinn und nicht gegen den Uhrzeigersinn gemacht und den Winkel β = 65 statt β = 75 genommen. Gegebene Stücke: c = 4 cm; α = 45 ; β = 75 Richtige Planfigur: Richtiges Dreieck: a) a = 7,3 cm c = 4,2 cm β = 55 b) b = 5,5 cm c = 2,5 cm α = 37 c) a = 5 cm b = 7,7 cm γ = 40 Seite 7 a) Konstruktionsbeschreibung (1) Mache eine Planfigur. (2) Zeichne die Strecke c = 3,5 cm und benenne die Eckpunkte mit A und B. (3) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius r1 = 4 cm. (4) Zeichne einen Kreis(bogen) um B mit Radius r2 = 4,5 cm. (5) Bezeichne den Schnittpunkt der beiden Kreisbögen mit C. (6) Verbinde A mit C. (7) Verbinde B mit C. (8) Bezeichne die Strecke AC mit b und die Strecke BC mit a. b) a = 4,5 cm; b = 4 cm; c = 3,5 cm d) α = 73 β = 59 γ = 48 a) Die Seite c muss s mindestens 31 mm lang sein, damit man das Dreieck konstruieren kann. b) Die Seite a muss länger als die Summe der Seiten b und c sein, damit man das Dreieck konstruieren kann, also a > b + c. a) α = 98 β = 52 γ = 30 b) α = 34 β = 73 γ = 73 c) α = 60 β = 60 γ = 60 Seite 8 Alexander hat die Seite b = 3,2 cm statt b = 2,8 cm genommen und den Winkel β = 72 an A und nicht an B abgetragen. Daher hat er auch den Punkt B mit C verbinden müssen und nicht den Punkt A mit C, wie es in der Konstruktionsbeschreibung stand. Gegebene Stücke: b = 2,8 cm; c = 2,2 cm; β = 72 Richtiges Dreieck: 22

26 Lösungen 64 a) b = 2,5 cm α = 39 β = 26 b) a = 6,9 cm α = 91 γ = 40 c) c = 5,1 cm β = 40 γ = 51 Seite 9 a) Die Summe der beiden kürzeren Strecken muss immer größer sein als die dritte Strecke. b) Die Dreiecke (1) und (4) können nicht gezeichnet werden. (2) α = 35 β = 28 γ = 117 (3) α = 31 β = 32 γ = 117 a) ssw; spitzwinkliges Dreieck b = 7,6 cm α = 42 β = 82 b) sws, spitzwinkliges Dreieck a = 3,3 cm β = 48 γ = 87 c) wsw; gleichschenkliges Dreieck b = 6,6 cm c = 6,6 cm α = 60 d) sss; rechtwinkliges Dreieck α = 37 β = 53 γ = 90 Die Bretter müssen (mindestens) 3,8 m lang sein. Aufgabe 4 a) C(7 6) c = 4,5 cm α = 36 β = 72 γ = 72 b) B(4 7) a = 3,6 cm b = 5,8 cm c = 5,4 cm β = 78 Seite 10 a) b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dieser Punkt liegt außerhalb des Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dieser Punkt liegt innerhalb des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dieser Punkt liegt auf der Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. b) (1) M(4,5 5,5) (2) M(0 0) (3) M( 4 2) d) Es fällt auf, dass der Kreis nicht nur durch den Eckpunkt A geht, sondern durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks. a) r = 2,5 cm b) r = 3,9 cm c) r = 4,5cm Seite 11 a) b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser liegt innerhalb des Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser liegt innerhalb des Dreiecks. ec Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser liegt innerhalb des Dreiecks. a) bis d) Die Zeichnungen sind verkleinert dargestellt. (1) W(6,3 4) (2) W( 1,6 0,6) (3) W( 4 4,4) e) Es fällt auf, dass der Kreis auch die anderen beiden Seiten berührt. a) r = 1 cm b) r = 1,7 cm c) r = 1,1 cm Seite 12 a) b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich alle drei Höhen bzw. deren Verlängerungen. Der Schnittpunkt liegt au- ßerhalb des Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich alle drei Höhen. Der Schnittpunkt liegt innerhalb des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich alle le drei Höhen. Der Schnittpunkt ist der Eckpunkt, bei dem der rechte Winkel ist. (1) H(8 1) (2) H( 3 2) (3) H(4 5,5) a) ha = 4 cm hb = 3 cm hc = 2,4 cm b) h a = 6,3 cm h hb b = 4,3 cm hc = 5,1 cm c) h a = 3,8 cm hb = 4,6 cm hc = 2,5 cm 23

27 Lösungen 65 Seite 13 a) b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden ieren en in einem Punkt im inneren des Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden en in einem Punkt im inneren des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden en in einem Punkt im inneren des Dreiecks. (1) S(5,7 4) (2) S( 1 0,7) (3) S( 4 3,2) a) s a = 4,3 cm sb = 3,6 cm sc = 2,5 cm b) sa = 6,5 cm sb = 4,4 cm sc = 5,7 cm c) s a = 5,9 cm sb = 6,5 cm sc = 2,5 cm Seite 14 Es sollte auffallen, dass die Gerade der dritten besonderen Linie entspricht. Daraus kann man schließen, dass zum Konstruieren des Höhenschnittpunktes, des Inkreismittelpunktes, des Umkreismittelpunktes und des Schwerpunktes jeweils zwei besondere Linien ausreichen. r = 4 cm r = 1,6 cm Aufgabe 6 Aufgabe 7 Der Inkreis hat in der Zeichnung einen Radius Die Entfernung des Biokraftwerkes von 1,7 cm, also einen Durchmesser von 3,4 cm. zu den Städten beträgt 4,5 km. Somit hat die Scheibe einen Durchmesser von 34 cm. Seite 15 Jan hat den Winkel β = 95 anstatt β = 85 abgetragen und die Seite b = 2,5 cm statt b = 3 cm genommen. Gegebene Stücke: Richtiges Viereck: a = 4 cm b = 3 cm d = 2,5 cm α = 85 β = 85 a) α = 103 γ = 141 δ = 46 b) c = 4,1 cm γ = 71 δ = 99 Seite 16 a) Konstruktionsbeschreibung (1) Mache eine Planfigur. (2) Zeichne die Strecke a = 3,5 cm und benenne die Eckpunkte mit A und B. (3) Trage einen rechten Winkel bei α ab. (4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius r1 = 3,5 cm und bezeichne den Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem Schenkel von α mit D. Kre 5) Trage (6) Zeich Kr og (5) Trage einen rechten Winkel bei β ab. (6) Zeichne einen Kreis(bogen) um B mit Radius r 2 = 3,5 cm und bezeichne den Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem Schenkel von β mit C. (7) Verbinde C mit D und vervollständige die Bezeichnung. b) a = 3,5 cm; b = 3,5 cm; α = 90 ; β = 90 d) Es handelt sich um ein Quadrat. a) e = 6,7 cm f = 6,7 cm b) b = 2 cm f = 7,2 cm c) e = 7,1 cm f = 7,1 cm d) a = 4 cm f = 5,6 cm Seite 17 a) A(0 3) b) A(2 1,5) c) A( 1 2) a) ha = 2,3 cm hb = 3,8 cm b) b = 4,2 cm h b = 5,7 cm c) d = 4,9 cm h a = 3,2 cm d) b = 3,2 cm c = 5,4 cm ha = 3 cm a) C(2,3 1,7) D( 3,7 1,7) e = 6,4 cm α = γ = 109 β = δ = 71 b) b) A( 1,3 0,4) D( 1,3 5,4) e = 7,4 cm f = 11,1 α = γ = 115 β = 65 24

28 Lösungen 66 Seite 18 a) A(2,5 1) b) A(1 0) c) A( 4,5 1,5) a) A(0 2) b) A( 1,5 3) c) A( 2 0,5) a) e = 9,1 cm f = 4,2 α = γ = 50 β = δ = 130 b) e = 11,3 cm α = γ = 39 β = δ = 141 c) e = 5 cm α = 100 β = δ = 93 γ =7 74 d) b = 2,4 cm α = γ = 115 β = 48 δ = 82 Seite 19 a) bis c) D 1(4 2,5) S1(2,5 2,5) D 2( 4,5 1,5) S2( 2,8 1,8) D3(0,5 2,5) S3( 2,5 1,5) D 4(2 1) S4(2 2). a) e = 6,6 f = 5,1 cm α = 73 β = 89 δ = 28 b) e = 11,3 cm h a = 3,8 cm α = γ = 141 β = δ = 39 c) f = 6,3 cm α = 53 β = 99 γ = 109 δ = 99 d) a = 4,4 cm e = 7,6 cm f = 5,6 cm h a = 4,8 cm α = 73 β = δ = 107 e) a = 4,2 cm e = 6 cm Seite 20 a) (1) B 1( 0,9 6,3) (2) C2(4 6,2) b) a 1 = 3,3 cm b1 = 3,8 cm c1 = 3,9 cm β1 = 63 b2 = 7,2 cm c2 = 5,4 cm α2 = 36 γ2 = 48 (1) Zeichne eine beliebige Sehne des Kreises. (2) Zeichne zu dieser Sehne die Mittelsenkrechte. (3) Zeichne eine weitere beliebige Sehne des Kreises (diese darf auch mit der ersten Sehne einen gemeinsamen Punkt auf der Kreislinie haben). (4) Zeichne auch zu dieser Sehne die Mittelsenkrechte. (5) Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Kreises. a) r = 2,6 cm b) r = 3,1 cm Aufgabe 4 a) b) Gegeben waren b = 6 cm; c = 3,8 cm; β = 110 und γ = 70. c) Es handelt sich um ein Parallelogramm. Seite 21 Man kann ohne zu Messen einen Winkel von 45 konstruieren, indem man zu einer Geraden (oder Strecke) durch einem Punkt eine Senkrechte konstruiert und den dadurch erhaltenen 90 -Winkel dann halbiert. Oder man benutzt den Satz des Thales. a) c = 9,3 cm α = 44 β = 24 γ = 112 b) c = 6,1 cm α = 55 β = 41 γ = 84 Die Höhe in einem Dreieck ist der Abstand eines Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite. Da der Abstand die kürzeste Verbindung ng eines Punktes von einer Strecke ist, kann die Seitenhalbierende nie kleiner als die Höhe sein. Die Seitenhalbierende ist nur dann gleich groß wie die Höhe, wenn beide aufeinander fallen, also identisch sind, z. B. in einem gleichseitigen Dreieck. Aufgabe 4 a) r = 2,4 cm b) r = 1,1 cm Aufgabe 5 a) Zwei Quadrate sind zueinander kongruent, wenn n sie in einer Seite übereinstimmen. b) Zwei Rauten sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Seite und einem Winkel übereinstimmen. c) Zwei Rechtecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei nichtparallelen Seiten übereinstimmen. 25

29 Bergedorfer Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ertu ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit Persen Verlag, Buxtehude AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Die AAP Lehrerfachverlage GmbH kann für die Inhalte externer Sites, die Sie mittels eines Links oder sonstiger Hinweise erreichen, keine Verantwortung übernehmen. Ferner haftet die AAP Lehrerfachverlage GmbH nicht für direkte oder indirekte Schäden (inkl. entgangener Gewinne), die auf Informationen zurückgeführt werden können, die auf diesen externen Websites stehen. Illustrationen: Sven Lehmkuhl Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH Bestellnr.: 21000DA2