DOWNLOAD. Grundlagen der Geometrie. Kopiervorlagen zum Grundwissen Ebene. Grundwissen Ebene Geometrie. Michael Körner

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1 DOWNLOAD Michael Körner Grundlagen der Geometrie Kopiervorlagen zum Grundwissen Ebene Michael Körner Grundwissen Ebene Geometrie Klasse Bergedorfer Kopiervorlagen Downloadauszug aus dem Originaltitel:

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3 Inhaltsverzeichnis Grundwissen Ebene Geometrie Grundlagen der Geometrie 1 Grundbegriffe 2 Koordinatensystem 3 Senkrechte Geraden 4 Parallele Geraden 5 Abstand 6 Vermischte Übungen zu Linien 7 Winkelarten 8 Winkel bis 180 mit dem Geodreieck messen 9 Winkel bis 180 mit dem Geodreieck zeichnen 10 Winkel über 180 messen und zeichnen 11 Nebenwinkel und Scheitelwinkel 12 Stufenwinkel und Wechselwinkel 13 Vermischte Übungen zu Winkeln 14 Figuren unterscheiden und bezeichnen 15 Dreieckarten und ihre Eigenschaften 16 Winkelberechnung am Dreieck (1) 17 Winkelberechnung am Dreieck (2) 18 Viereckarten en und ihre Eigenschaften 19 Winkelberechnung am Viereck (1) 20 Winkelberechnung am Viereck (2) 21 Kreise und ihre Eigenschaften (1) 22 Kreise und ihre Eigenschaften (2) 23 Vermischte Übungen zu Figuren 24 Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (1) 25 Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (2) ab Seite 26 Lösungen Zu einigen wenigen Aufgaben liegen keine Lösungen vor, da hier die Kontrolle durch die Lehrkraft erfolgen sollte. Konstruieren von Figuren 26 Mittelsenkrechte konstruieren 27 Parallele konstruieren 28 Winkelhalbierende konstruieren 29 Kongruenzsätze für Dreiecke 30 Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren 31 Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren 32 Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren 33 Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren

4 Grundbegriffe 1 Ordne die Begriffe den jeweiligen Abbildungen zu wie im Beispiel. Gerade Halbgerade Parallele Punkte Senkrechte Strecke AB AB a A und B b AB Übertrage die Punkte für jede Teilaufgabe einmal in dein Heft. a) Zeichne alle möglichen Strecken von A zu den anderen Punkten und miss ihre Längen. b) Zeichne alle möglichen Geraden durch E und einen der anderen Punkte. c) Zeichne alle le möglichen Halbgeraden von C aus zu den anderen Buchstaben. Zeichne jeweils Strecken mit den angegebenen Längen. a) 4 cm b) 6 cm c) 7,5 cm d) 2,3 cm e) 26 mm Ergänze den Lückentext. Eine Gerade hat Anfangspunkt und Endpunkt. Eine Halbgerade hat Anfangspunkt und Endpunkt. Eine Strecke hat Anfangspunkt und Endpunkt. 1

5 Koordinatensystem 2 Ordne die Begriffskarten den jeweiligen Zahlen im Koordinatensystem zu. Die Buchstaben ergeben dann in der Reihenfolge von bis ein Lösungswort. P U Koordinatenpunkt mit den Koordinaten (3/2) Koordinatenpunkt mit den Koordinaten ( 1/ 2) R x-achse (Rechtsachse) E y-achse (Hochachse) S Ursprung (Nullpunkt) Das Lösungswort lautet: Gib die Koordinaten der eingetragenen Punkte an. A( ) C( ) E( ) G( )_) B( ) D( ) F( ) H( ) Zeichne für jede Teilaufgabe ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft und trage die angegebenen Punkte ein. Verbinde sie dann in der Reihenfolge des Alphabets. Welche Figur entsteht jeweils? a) A(3 2) B( 2 2) C( 2 1) D(3 1) Figur: b) A( 1 3) B(3 3) C(3 1) D( 1 1) Figur: c) A( 1,5 0) B(0 2,5) C(1,5 0) D(0 1,5) Figur: 2

6 Senkrechte Geraden 3 Info Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich in einem rechten Winkel (90 ) schneiden. Man schreibt g h oder h g. Zum Zeichnen von Senkrechten und zum Überprüfen, ob Geraden senkrecht zueinander stehen, benutzt man oft das Geodreieck. h g Überprüfe mit dem Geodreieck, welche der Geraden senkrecht zueinander sind und notiere wie im Beispiel. Kennzeichne auch die rechten Winkel wie im Beispiel. h i Zeichne jeweils zur Geraden g die Senkrechten durch die Punkte A E. a) b) Zeichne die Punkte A(3 3), B( 3 3), C(4 2) und D( 4 2) in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) und zeichne durch die Punkte A und B eine Gerade. Zeichne dann durch die Punkte C und D jeweils eine Senkrechte zu dieser Geraden und gib die Schnittpunkte der Senkrechten mit a) der x-achse, b) der y-achse, c) der Geraden AB an. 3

7 Parallele Geraden 4 Info Geraden sind parallel zueinander, wenn sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Man schreibt g II h oder h II g. Zum Zeichnen von Parallelen und zum Überprüfen, ob Geraden parallel zueinander sind, benutzt man oft das Geodreieck. h g Überprüfe mit dem Geodreieck, welche der Geraden parallel zueinander sind und notiere wie im Beispiel. g II h Zeichne jeweils zur Geraden g die Parallelen durch die Punkte A E. a) b) Zeichne die Punkte A(3 4), B( 2 6), C( 2 2) und D(3 1) in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) und zeichne durch die Punkte A und B eine Gerade. Zeichne dann durch die Punkte C und D jeweils eine Parallele zu dieser Geraden und gib die Schnittpunkte der drei Geraden mit der x-achse und mit der y-achse an. 4

8 Abstand 5 Info Die Strecke PQ ist die kürzeste Verbindung des Punktes P mit der Geraden g. Sie wird auch als Lot von Punkt P auf die Gerade g bezeichnet und verbindet den Punkt P senkrecht mit der Geraden g. Die Länge des Lotes nennt man Abstand des Punktes P von der Geraden g. Zeichne die Abstände der Punkte A D von der Geraden g ein und miss ihre Längen. Abstand A von g: Abstand B von g: Abstand C von g: Abstand D von g: Die Geraden g und h sind parallel zueinander. Miss die Abstände der Punkte A und B von der Geraden h und der Punkte C und D von der Geraden g. Was stellst du fest? Abstand A von h: Abstand B von h: Abstand C von g: Abstand D von g: Ergänze die Regel für den Abstand von parallelen Geraden. Regel: Zueinander parallele Geraden haben. Zeichne eine Gerade in dein Heft und jeweils zwei Punkte, die von der Geraden a) 3 cm Abstand haben, b) 1,7 cm Abstand haben, c) 26 mm Abstand haben. Miss die Abstände der parallelen Geraden. a) b) c) 5

9 Vermischte Übungen zu Linien 6 Kreuze an. Zueinander senkrechte Strecken sind immer gleich lang. Zwei zueinander parallele Strecken haben überall den gleichen Abstand. Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich immer. Drei parallele Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt. Zueinander parallele Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel. Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel. falsch richtig a) Überprüfe mit dem Geodreieck, ob die Geraden bzw. Strecken parallel (II) oder senkrecht ( ) zueinander sind und notiere wie im Beispiel. f II h, f e, b) Kennzeichne Strecken mit einem roten Stift. c) Kennzeichne Geraden mit einem grünen Stift. Zeichne zu der Geraden g zwei parallele Geraden mit einem Abstand von 1,5 cm. Zeichne a) eine Senkrechte durch P zu g. Nenne diese a. b) eine Senkrechte durch P zu a. Nenne diese b. c) Was kannst du über die Beziehung von b und g aussagen? Aufgabe 5 Zeichne ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm in dein Heft. a) Zeichne durch die Punkte ( 2 4) und (4 2) eine Gerade und nenne sie g. b) Gib drei Koordinaten an, die auf dieser Geraden liegen. c) Zeichne durch den Punkt (4 4) eine Parallele zu g. d) Gib zwei Koordinaten an, die auf dieser Parallele liegen. e) Zeichne durch den Punkt (2 0) eine Senkrechte zu g. f) Gib den Schnittpunkt der Parallelen mit der Senkrechten an. 6

10 Winkelarten 7 Info Ein Winkel (hier a) wird von zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Anfangspunkt eingeschlossen. Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels, der gemeinsame Anfangspunkt heißt Scheitelpunkt S. S Winkel werden oft mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet. Am häufigsten kommen dabei a (Alpha), b (Beta), g (Gamma), d (Delta) und e (Epsilon) vor. Teilweise wird auch das Winkelzeichen benutzt. Man schreibt dann: a, b usw. Verbinde die Bilder mit den zugehörigen Winkelnamen. Die Buchstaben ergeben eben dann in der Reihenfolge von (1) bis (6) ein Lösungswort. (S) (A) spitzer Winkel (T) gestreckter Winkel (K) stumpfer Winkel (N) Vollwinkel überstumpfer Winkel (E) rechter Winkel Das Lösungswort lautet: Ergänze den Schenkel so, dass die angegebene Winkelart entsteht. a) spitzer Winkel b) rechter Winkel c) stumpfer Winkel d) gestreckter eckter Winkel e) überstumpfer Winkel f) Vollwinkel Neben der Bezeichnung mit griechischen Buchstaben kann man Winkel auch mit der Punkte- bzw. Buchstabenfolge angeben. Gib die Winkel jeweils durch Punkte an wie im Beispiel. a) b) a = BAD / DAB b = a = b = g = d = g = d = e = 7

11 Winkel bis 180 mit dem Geodreieck messen 8 Info Winkelgrößen werden in Grad angegeben. 1 Grad (geschrieben 1 ) erhält man, wenn man einen Kreis (den Vollwinkel) in 360 gleich große Teile teilt. Zum Messen von Winkeln verwendet man oft das Geodreieck. Dieses wird mit dem Nullpunkt auf den Scheitelpunkt des Winkels gelegt und die Winkelgröße wird an der Skala abgelesen. Miss jeweils die Größe der Winkel und gib an, um welche Winkelart es sich handelt. Tipp: Verlängere, wenn nötig, die Schenkel. a) b) c) d) Bestimme jeweils alle angegebenen ebenen Winkelgrößen. Schätze zuerst. a) b) c) Geschätzt / Gemessen Geschätzt / Gemessen Geschätzt / Gemessen a = / a = / a = / b = / b = / b = / g = / g = / g = / d = / d = / e = / Gib jeweils die Größe bzw. den Größenbereich in ganzen Grad und die Winkelart an. a) b) c) d) Rechter Winkel 1 a 89 a = a a = Zeichne einen beliebigen Winkel (ohne zu messen). Dein Nachbar und du schätzen jetzt die Winkelgröße. Anschließend wird nachgemessen. Wer mit seiner Schätzung näher an der tatsächlichen Winkelgröße liegt, bekommt einen Punkt. Anschließend zeichnet dein Nachbar, ihr schätzt, messt usw. Wer zuerst 5 Punkte hat, hat gewonnen. 8

12 Winkel bis 180 mit dem Geodreieck zeichnen 9 Unten siehst du zwei Anleitungen zum Zeichnen von Winkeln bis 180. Leider ist dabei sowohl die Reihenfolge der Texte als auch die Reihenfolge der Bilder durcheinandergeraten. Bringe die Texte und Bilder wieder in die richtige Reihenfolge. a) Gewünschten Winkel an der Winkelskala markieren. Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen. Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen. Markierungspunkt mit dem Scheitelpunkt verbinden. (1) (1) Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen. b) Zweiten Schenkel des Winkels zeichnen. Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen. Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen. Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen. Geodreieck bis zum gewünschten Winkel drehen. Ergänze den Schenkel nach oben und nach unten, sodass je zweimal der angegebene Winkel entsteht. a) 30 b) 75 c) 112 d) 152 Zeichne jeweils einen Winkel mit der angegebenen Größe in dein Heft. a) 20 b) 43 c) 66 d) 95 e) 135 f) 164 g) 180 9

13 Winkel über 180 messen und zeichnen 10 a) Betrachte jeweils die Winkelpaare und beschreibe, was dir auffällt. Es fällt auf, b) Gib die gesuchten Winkelgrößen ohne zu messen an. a = b = g = d = e = c) Gib die gesuchten Winkelgrößen an. a = b = g = d = e = d) Beschreibe, wie man Winkel über 180 mit dem Geodreieck messen en oder zeichnen kann. Erkläre anhand der Bildfolge, wie man den überstumpfen en Winkel mit der Größe 260 zeichnen kann. (1) (2) 260 (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) Zeichne die überstumpfen Winkel mit der angegebenen Größe. a) 195 b) 225 c) 247 d) 286 e) 302 f) 321 g) 333 h)

14 Nebenwinkel und Scheitelwinkel 11 Ergänze den Lückentext mit den angegebenen Wörtern. Achte auf die Zeichnungen. Einzusetzende Wörter: Scheitelwinkel(paar), Nebenwinkel(paar), Geradenkreuzung Schneiden sich zwei Geraden, so spricht man von einer. Die dabei entstehenden Winkel a 1 und a 2 werden als bezeichnet, da sie nebeneinander liegen. Die Winkel b 1 und b 2 werden als bezeichnet. Kennzeichne die Nebenwinkel zu a 1 und a 2 rot, die Scheitelwinkel zu b 1 und b 2 blau. a) Miss jeweils die vier Winkel und notiere ihre Größe. a 1 = b 1 = a 2 = b 2 = g 1 = d 1 = g 2 = d 2 = b) Notiere alle Nebenwinkelpaare. enwin c) Was kannst du über die Summe der Größe von Nebenwinkeln aussagen? d) Notiere alle Scheitelwinkelpaare. elw e) Was kannst du über die Größe von Scheitelwinkeln aussagen? Berechne die Größe der fehlenden Winkel an der Geradenkreuzung. a) a = 50 b = g = d = b) a = b = 75 g = d = c) a = b = g = 112 d = d) a = b = g = d = 173 e) a = 90 b = g = d = 11

15 Stufenwinkel und Wechselwinkel 12 Ergänze den Lückentext mit den angegebenen Wörtern. Die Zeichnungen helfen dir dabei. Einzusetzende Wörter: Wechselwinkel(paar), Stufenwinkel(paar), doppelte Geradenkreuzung Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, entsteht eine. Die Winkel g 1 und g 2 werden als bezeichnet, sie haben Ähnlichkeit mit Winkeln bei Treppenstufen. Die Winkel d 1 und d 2 werden als bezeichnet. Kennzeichne die Stufenwinkel zu g 1 und g 2 mit rot, die Wechselwinkel zu d 1 und d 2 mit blau. a) Miss jeweils die acht Winkel und notiere ihre Größe. a 1 = b 1 = g 1 = d 1 = a 2 = b 2 = g 2 = d 2 = b) Notiere alle Stufenwinkelpaare. c) Was kannst du über die Größe von Stufenwinkeln aussagen? d) Notiere alle Wechselwinkelpaare. e) Was kannst du über die Größe von Wechselwinkeln aussagen? Berechne die Größe der fehlenden Winkel an der doppelten Geradenkreuzung. a) a 1 = 55 b 1 = g 1 = d 1 = a 2 = b 2 = g 2 = d 2 = b) a 1 = b 1 = g 1 = d 1 = a 2 = b 2 = 122 g 2 = d 2 = c) a 1 = b 1 = g 1 = d 1 = 98 a 2 = b 2 = g 2 = d 2 = 12

16 Vermischte Übungen zu Winkeln 13 Zeichne jeweils einen Winkel mit der angegebenen Größe in dein Heft. a) 10 b) 52 c) 96 d) 165 e) 235 f) 264 g) 300 h) 360 Kreuze an. Stumpfe Winkel sind größer als 180. Spitze Winkel sind kleiner als 90. Der gestreckte Winkel ist doppelt so groß wie der rechte Winkel. Scheitelwinkel sind zusammen 180 groß. Nebenwinkel sind gleich groß. Stufenwinkel sind gleich groß. falsch richtig Gib alle Nebenwinkelpaare, Scheitelwinkelpaare, elwi e, Stufenwinkelpaare e und Wechselwinkelpaare are an. Nebenwinkelpaare: Scheitelwinkelpaare: Stufenwinkelpaare: Wechselwinkelpaare: Berechne jeweils die fehlenden Winkel an der Geradenkreuzung. a) a = 60 b = 40 g = d = e = φ = b) a = b = g = 47 d = e = 74 φ = c) a = b = g = d = 90 e = φ = 14 d) a = 111 b = g = d = e = 44 φ = Aufgabe 5 Welche zwei Winkel bilden jeweils die beiden Uhrzeiger? Bestimme die Winkel ohne zu messen. Tipp: Denke an den Vollwinkel. a) / b) / c) / d) / 13

17 Figuren unterscheiden und bezeichnen 14 Geometrische Figuren werden bis auf wenige Ausnahmen nach der Anzahl der Ecken unterschieden. Ordne die Begriffe der entsprechenden geometrischen Figur zu, indem du die entsprechende Zahl in die Figur schreibst. (1) Dreieck (2) Viereck (3) Fünfeck (4) Sechseck (5) Achteck (6) Kreis Schreibe hinter die Begriffe die zugehörigen Buchstaben. Eckpunkt: Seite: (Eck)Winkel: Diagonale: Diagonalenschnittpunkt: Vervollständige e die Bezeichnungen. Achtung: Bei geometrischen etris Figuren wird linksherum, also gegen den Uhrzeigersinn, rsinn bezeichnet. a) b) Trage jeweils die angegebenen Punkte in das Koordinatensystem ein, verbinde sie und bezeichne die Seiten. Welche Figur entsteht? a) A(4 1) B(4 1,5) C(1,5 1,5) D(1,5 1) Figur: 14

18 Dreiecke und ihre Eigenschaften 15 Ergänze den Lückentext. Einzusetzende Wörter: Winkeln, unregelmäßiges, stumpfwinkliges, spitzwinkliges, Seiten, rechtwinkliges, gleichseitigen, gleichschenkliges, Arten Dreiecke kann man auf zwei unterschiedliche einteilen. Eine Möglichkeit ist eine Einteilung nach. Sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang, spricht man von einem Dreieck. Sind nur zwei Seiten gleich lang, wird das Dreieck als Dreieck bezeichnet. Haben alle le Seiten unterschiedliche Längen, so ist es ein Dreieck. Die andere Art der Einteilung von Dreiecken erfolgt nach. Auch hier gibt es drei unterschiedliche Möglichkeiten. Hat ein Dreieck eck drei spitze Winkel, wird es als Dreieck bezeichnet. eichne Hat es einen rechten Winkel, wird es als Dreieck bezeichnet. Hat das Dreieck einen stumpfen Winkel, nennt man es Dreieck. Bestimme durch messen, sen, um welche Dreiecksart es sich handelt. (1) (2) (3) (4) Einteilung nach Seiten Einteilung nach Winkeln Dreieck 1: Dreieck 2: Dreieck 3: Dreieck 4: Zeichne jeweils die Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft und gib an, um welche Dreiecksart (sowohl nach Seite als auch nach Winkel) es sich handelt. a) A(3 2), B(1 2), C( 1 2) b) A( 3 1,5), B(2,5 2), C( 3 2) 15

19 Winkelberechnung am Dreieck (1) 16 Teamarbeit für drei Schüler. (1) Zeichnet auf ein Blatt Papier jeweils ein Dreieck: Schüler 1 ein spitzwinkliges Schüler 2 ein rechtwinkliges Schüler 3 ein stumpfwinkliges (2) Bezeichnet die drei Winkel in den Dreiecken mit a, b und g. (3) Färbt die drei Winkel in verschiedenen Farben ein. Alle Winkel eines Dreiecks sollen aber die gleiche Farbe haben. (4) Schneidet die Dreiecke aus. (5) Schneidet anschließend die drei Ecken der Dreiecke ab. (6) Legt die drei gleichfarbigen Eckwinkel jeweils zu einem (gesamten) Winkel zusammen. (7) Vergleicht eure Ergebnisse in der Gruppe. Was fällt euch auf? (8) Formuliert eine Regel zur Winkelsumme im Dreieck. Tipp: Was kann man über die Größe der drei Winkel zusammen aussagen? Regel: Gib die fehlenden Winkel der Dreiecke an. Nutze dazu die Ergebnisse aus. a) g = b) b = c) a = Berechne die fehlenden Winkel. Gib auch an, ob es sich um ein rechtwinkliges, spitzwinkliges oder stumpfwinkliges Dreieck handelt. a) a = 45 b = g = 65 b) a = b = 11 g = 111 c) a = 126 b = 50 g = d) a = 45 b = g = 45 16

20 Winkelberechnung am Dreieck (2) 17 Beweise mithilfe der nebenstehenden Zeichnung (a g), dass die Winkelsumme im Dreieck immer 180 beträgt. Tipp: Suche nach Wechselwinkeln und zeichne sie ein. Begründung: Für Dreieck gilt immer a + b + g = 180, weil Berechne die fehlenden Winkelgrößen. a) a 1 = b 1 = g 1 = 75 a 2 = b 2 = g 2 = a 3 = 35 b 3 = g 3 = a 4 = b 4 = g 4 = b) a 1 = b 1 = g 1 = a 2 = b 2 = 156 g 2 = a 3 = b 3 = g 3 = a 4 = 34 b 4 = g 4 = a) Miss die Größe der Winkel in den gleichseitigen Dreiecken. a = b = g = a = b = g = b) Was kannst du über die Größe der Winkel in gleichseitigen Dreiecken aussagen? a) Miss die Größe der Winkel in den gleichschenkligen Dreiecken. a = b = g = a = b = g = b) Was kannst du über die Größe der Winkel in gleichschenkligen Dreiecken aussagen? 17

21 Viereckarten und ihre Eigenschaften 18 Verbinde die Bezeichnungen der Vierecke mit den zugehörigen Abbildungen und Steckbriefen wie im Beispiel. Drachenviereck Es hat zwei Symmetrieachsen. Die Diagonalen e und f sind gleich lang und halbieren sich. Alle Winkel sind 90 groß. Je zwei Seiten sind parallel und gleich lang. Parallelogramm Es hat eine Symmetrieachse. Eine der Diagonalen wird von der anderen halbiert. Zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Je zwei nebeneinanderliegende Seiten sind gleich groß. Quadrat Es hat zwei Symmetrieachsen. Die Diagonalen e und f halbieren sich. Die gegenüberliegenden enden Winkel sind gleich groß. Alle le vier Seiten sind gleich lang. Je zwei Seiten sind parallel zueinander. Raute Es hat vier Symmetrieachsen. metriea Die beiden Diagonalen e und f stehen en senkrecht aufeinander, er, sind gleich lang und halbieren sich. Alle vier Winkel sind 90 groß. Alle vier Seiten sind gleich lang. Je zwei Seiten sind parallel zueinander. Rechteck Es hat keine Symmetrieachse. Die beiden Diagonalen e und f halbieren sich. Die gegenüber-geliegenden en Winkel sind gleich groß. Je zwei Seiten sind parallel zueinander und gleich lang. Trapez Es hat keine Symmetrieachse. Die beiden Diagonalen e und f schneiden sich. Es gibt keine zueinander parallelen Seiten. unregelmäßiges Viereck Die beiden Diagonalen e und f schneiden sich. Mindestens zwei Seiten sind parallel zueinander. Ergänze jeweils zu der angegebenen Viereckart. a) Parallelogramm b) Quadrat c) Raute d) Rechteck 18

22 Winkelberechnung am Viereck (1) 19 Teamarbeit für vier Schüler. (1) Zeichnet auf ein Blatt Papier jeweils ein Viereck: Schüler 1 ein Rechteck Schüler 2 ein Parallelogramm Schüler 3 ein Drachenviereck Schüler 4 ein unregelmäßiges Viereck (2) Bezeichnet die vier Winkel in den Vierecken jeweils mit a, b, g und d. (3) Färbt die vier Winkel in verschiedenen Farben ein. Alle Winkel eines Vierecks sollen aber die gleiche Farbe haben. (4) Schneidet die Vierecke aus. (5) Schneidet anschließend die vier Ecken der Vierecke ab. (6) Legt die vier gleichfarbigen Eckwinkel jeweils zu einem gesamten en Winkel zusammen. (7) Vergleicht eure Ergebnisse in der Gruppe. Was fällt euch auf? (8) Formuliert eine Regel zur Winkelsumme e im Viereck. Tipp: Was kann man über die Größe der vier Winkel zusammen aussagen? Regel: Gib die fehlenden Winkel der Vierecke an. Nutze dazu die Ergebnisse aus. a) g = b) b = c) a = Berechne die fehlenden Winkel. a) a = 17 b = 99 g = 125 d = b) a = 55 b = 82 g = d = 60 c) a = 105 b = g = 90 d = 114 d) a = b = 64 g = 73 d = 21 19

23 Winkelberechnung am Viereck (2) 20 Beweise mithilfe der nebenstehenden Zeichnung (g II h), dass für Parallelogramme immer gilt: a) a + b = 180 Für Parallelogramme gilt immer a + b = 180, weil b) a = g und b = d Für Parallelogramme gilt immer a = g und b = d, weil Tipp: Suche nach Stufen- und Wechselwinkeln und zeichne sie ein. a) Miss die Größe der Winkel in den Rauten. a 1 = a 2 = a 1 = a 2 = b 1 = b 2 = b 1 = b 2 = g 1 = g 2 = g 1 = g 2 = d 1 = d 2 = d 1 = d 2 = d 1 e 1 e 1 = e 2 = e 1 = e 2 = b) Was kannst du über die Größe der Teilwinkel a 1 und a 2, b 1 und b 2, g 1 und g 2, d 1 und d 2 jeweils aussagen? c) Was kannst du über die Diagonalen in Rauten aussagen? Berechne die fehlenden Winkelgrößen. a) a 1 = 43 b 1 = g 1 = d 1 = a 2 = b 2 = g 2 = d 2 = a 3 = b 3 = g 3 = d 3 = a 4 = b 4 = g 4 = d 4 = b) a 1 = 55 b 1 = g 1 = d 1 = a 2 = b 2 = g 2 = d 2 = 20

24 Kreise und ihre Eigenschaften (1) 21 Ordne die Begriffe den jeweiligen Zahlen am Kreis zu. Die Buchstaben ergeben dann in der Reihenfolge von (1) bis (6) ein Lösungswort. Buchstabe Bezeichnung Symbol E Durchmesser d I Kreislinie k K Mittelpunkt M L Radius r R Sehne s Z Tangente t Das Lösungswort lautet: Zeichne einen Kreis mit einem beliebigen ebigen Radius in dein Heft. Kennzeichne mit verschiedenen Farben den Durchmesser, die Kreislinie, inie, den Mittelpunkt telpun und den Radius. Zeichne die Kreise in dein Heft. Kennzeichne jeweils den Mittelpunkt M, den Radius r und den Durch- messer d. a) r = 3 cm b) r = 4,6 cm c) d = 4 cm d) d = 50 mm a) Miss jeweils den Radius und den Durchmesser der Kreise. r = r = r = d = d = d = b) Was fällt dir auf? Aufgabe 5 Ergänze die Tabelle. Radius r Durchmesser d Radius r Durchmesser d 5 cm 112 mm 9 cm 2,2 dm 58 mm 1 m 21

25 Kreise und ihre Eigenschaften (2) 22 Der Radius der kleinen Kreise beträgt 1 cm. a) Aus wie vielen Kreisen besteht die Figur? b) Welche Radien haben die mittleren Kreise? c) Welchen Durchmesser hat der große Kreis? d) Übertrage die Figur in dein Heft. Zeichne zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien in dein Heft, a) die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben. b) von denen der kleine Kreis durch den Mittelpunkt des großen Kreises geht. c) von denen der große Kreis durch den Mittelpunkt des kleinen Kreises geht. d) die keinen gemeinsamen Punkt haben, d. h. sich nicht berühren. e) die einen gemeinsamen Punkt haben, d. h. sich berühren. f) die zwei gemeinsame Punkte haben, d. h. sich schneiden. Teile die Kreise e in die angegebene gebene Anzahl an gleichgroßen Teilflächen. a) 2 Teile b) 3 Teile c) 4 Teile e d) 6 Teile e) 8 Teile a) Zeichne e in dein Heft einen Kreis mit dem Radius 2 cm. b) Zeichne um den Kreis ein Quadrat, dessen Seiten genau in der Mitte von dem Kreis berührt werden. c) Zeichne um das Quadrat einen zweiten Kreis, der durch alle vier Eckpunkte des Quadrates geht. d) Zeichne um diesen Kreis wieder ein Quadrat wie bei Teilaufgabe b. e) Zeichne um dieses Quadrat einen dritten Kreis, der durch alle vier Eckpunkte geht. f) Zeichne um diesen Kreis ein drittes Quadrat wie bei Teilaufgabe b und d. g) Bestimme jeweils den Durchmesser der Kreise. h) Bestimme jeweils die Seitenlänge der Quadrate. i) Was fällt dir auf? Tipp: Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen? 22

26 Vermischte Übungen zu Figuren 23 Zeichne ein Koordinatensystem (Einheit 1cm) in dein Heft. Zeichne die gegebenen Punkte ein und ergänze zu der genannten Figur. Gib jeweils die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an. a) Quadrat A(2 1,5) B( 2 1,5) C( ) D( ) b) Rechteck A( 2 3) B(1 3) C(1 2,5) D( ) Welche der Figuren sind a) Trapeze: b) Parallelogramme: c) Rauten: Berechne echne die fehlenden Winkel. a) a 1 = b 1 = g 1 = d 1 = 79 a 2 = b 2 = g 2 = d 2 = a 2 b) a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = g 1 = g 2 = 33 g 3 = g 4 = d 1 = d 2 = d 3 = d 4 = c) a 1 = 27 a 2 = a 3 = a 4 = b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = g 1 = 73 g 2 = g 3 = g 4 = d 1 = d 2 = d 3 = d 4 = e 1 = e 2 = e 3 = e 4 = d 3 a) Zeichne in dein Heft ein Quadrat mit a = 2 cm. b) Zeichne um dieses Quadrat drei weitere Quadrate, die jeweils einen Abstand von 1,5 cm zu dem nächst kleineren Quadrat haben. c) Gib die Seitenlängen der neu entstandenen Quadrate an. 23

27 Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (1) 24 Zeichne zu der Geraden drei Parallelen. Zeichne die Senkrechten durch die Punkte P, Q und R zu g. Zeichne die gegebenen Punkte in die Koordinatensysteme und ergänze zu der genannten Figur. Gib jeweils die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an. a) Drachenviereck b) Parallelogramm c) Raute A(2,5 2) B(1 3,5) A( ) B(1,5 1) A( 1 1) B( ) C( 2,5 2) D( ) C(3,5 1) D( 0,5 1) C(3 1) D(1 3) Welche Winkel bilden die Uhrzeiger jeweils zur angegebenen Uhrzeit? Hinweis: Bestimme die Winkel unter der Annahme, dass der Stundenzeiger auf die volle Stunde zeigt. a) / b) / c) / d) / Aufgabe 5 Trage jeweils eine Uhrzeit in die Uhren ein, zu der der angegebene Winkel gebildet wird. a) 72 b) 120 c) 180 d) 210 e) 282 f)

28 Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (2) 25 a) Zeichne die Punkte A(4 3), B( 5 3), C( 4 7), D( 4 1), E(8 1) und F(4 6) in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). b) Zeichne die Strecke AB und miss ihre Länge. c) Zeichne die Halbgerade AC. d) Zeichne die Gerade AD. e) Zeichne durch E eine Parallele zu AD. f) Zeichne durch F eine Senkrechte zu AD. g) Gib die Schnittpunkte der Geraden AD mit den beiden Achsen an. h) Gib die Schnittpunkte der Parallelen mit den beiden Achsen an. i) Gib die Schnittpunkte der Senkrechten mit den beiden Achsen an. j) Gib den Schnittpunkt der Senkrechten mit der Parallelen an. k) Gib den Schnittpunkt der Halbgeraden mit der y-achse an. l) Gib den Schnittpunkt der Halbgeraden mit der Senkrechten echten an. Kreuze an. Ein Drachenviereck hat zwei Symmetrieachsen. Eine Raute hat zwei Symmetrieachsen. Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck. Man kann jedes Viereck in zwei Dreiecke e teilen. Alle Vierecke sind rechteckig. Alle Parallelogramme e sind auch Trapeze. Ein Quadrat hat vier Symmetrieachsen. Die Diagonalen eines Parallelogramms log stehen senkrecht aufeinander. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander. falsch richtig a) Ergänze die Tabelle. b) Zeichne ein Beispiel zu jeder Winkelart. Winkelart stumpfer Winkel gestreckter Winkel Vollwinkel Winkelgröße 0 < a < < a <

29 Lösungen 26 Seite 1 Gerade AB Halbgerade AB Parallele a Punkte A und B Senkrechte b Strecke AB a) AB = 3,4 cm AC = 2,8 cm AD = 3 cm AE = 4,5 cm b) c) Eine Gerade hat keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt. Eine Halbgerade hat einen Anfangspunkt nkt und keinen Endpunkt. Eine Strecke hat einen Anfangspunkt und einen Endpunkt. Seite 2 Das Lösungswort lautet: S U P E R Gib die Koordinaten der eingetragenen Punkte an. A(2 1) B( 3 1) C(1 3) D( 2 4) E(4 2) F( 1,5 2) G(2,5 2) H( 3,5 1,5) a) Rechteck b) Quadrat c) Drachen(viereck) Seite 3 h i a e b e d e a g b g d g c f a) S 1(2 0), S2( 2 0) b) S1(0 2), S2(0 2) c) S1(1 1), S2( 1 1) Seite e 4 g II h a II b a II d b II d e II g e II h Schnittpunkt der Gerade AB mit der x-achse: (1 0) Schnittpunkt der Gerade AB mit der y-achse: (0 2) Schnittpunkte der parallelen Gerade durch C mit der x-achse: ( 3 0) Schnittpunkte der parallelen allelen Gerade durch C mit der y-achse: (0 6) Schnittpunkte der parallelen lelen Gerade durch D mit der x-achse: (2,5 0) Schnittpunkte der parallelen Gerade durch D mit der y-achse: (0 5) Seite 5 Abstand A von g: 0,9 cm Abstand B von g: 1,9 cm Abstand C von g: 0,5 cm Abstand D von g: 1,8 cm Der Abstand beträgt immer 2 cm. Regel: el: Zueinander parallele le Geraden haben überall den gleichen Abstand. a) Individuelle Lösungen b) Individuelle Lösungen c) Individuelle Lösungen a) Der Abstand beträgt 2,8 cm. b) Der Abstand beträgt 1,3 cm. c) Der Abstand beträgt 3,3 cm. 26

30 Lösungen 27 Seite 6 falsch richtig ig Zueinander senkrechte Strecken sind immer gleich lang. Zwei zueinander parallele Strecken haben überall den gleichen en Abstand. Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich immer. Drei parallele Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt. Zueinander parallele Geraden schneiden sich in einem rechten en Winkel. Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich in einem rechten en Winkel. a) f II h, f e, f II i, h II i, c II e, b II d, h e, i e, i h, i c b) Strecken sind c, d und f. c) Geraden sind a, b, e, g, h und i. a c) b und g sind parallel zueinander b Aufgabe 5 b) und d) individuelle Läsungen f) Der Schnittpunkt hat diekoordinatee (1I-3) Seite 7 Das Lösungswort lautet: KASTEN a) Individuelle Lösungen b) c) Individuelle Lösungen d) e) Individuelle Lösungen f) a) α: DAB / BAD β: ABC / CBA γ: BCD / DCB δ: CDA / ADC b) α: EAB / BAE β: ABC / CBA γ: BCD / DCB δ: CDE / EDC ε: DEA / AED Seite 8 a) 63 b) 91 c) 112 d) 41 a) α = 42, β = 138, γ = 42, δ = 138 a) α = 36, β = 77, γ = 37 a) α = 144, β = 76, γ = 123, δ = 125, ε = 72 a) 1 α 89 b) α = 90 c) 91 α 179 d) α = 180 spitzer Winkel rechter Winkel stumpfer Winkel gestreckter Winkel Individuelle Lösungen Seite 9 a) (1) Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen. (1) (2) Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen. (2) (3) Gewünschten Winkel an der Winkelskala markieren. (3) (4) Markierungspunkt rungspun mit dem Scheitelpunkt verbinden. (4) (5) Winkelbogen n einzeichnen und Winkelgröße eintragen. (5) b) (1) Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen. (1) (2) Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen. (2) (3) Geodreieck bis zum gewünschten Winkel drehen. (3) (4) Zweiten Schenkel des Winkels zeichnen. (4) (5) Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen (5) Seite e 10 a) Es fällt auf, dass beide e Winkel zusammen jeweils 360 ergeben. b) α = 160 β = 190 γ = 215 δ = 282 ε = 340 c) α = 195 β = 225 γ = 262 δ = 303 ε = 347 d) Da man mit dem Geodreieck nur Winkel bis 180 zeichnen kann, benutzt man beim Zeichnen von Winkeln über 180 einen Trick. Man zieht einfach den gesuchten Winkel von 360 ab und zeichnet diesen Winkel. Den Winkelbogen zeichnet man dann aber auf die andere Seite. 27

31 Lösungen 28 (1) Zeichne zunächst einen gestreckten Winkel. (2) Ermittle dann die noch fehlende Größe, indem du von dem zu zeichnenden Winkel 180 abziehst. (3) Markiere den gefundenen Winkel an der Winkelskala. (4) Verbinde den Markierungspunkt mit dem Scheitelpunkt. (5) Markiere den Winkel mit dem Winkelbogen. Seite 11 Schneiden sich zwei Geraden, so spricht man von einer Geradenkreuzung. Die dabei entstehenden Winkel α 1 und α2 werden als Nebenwinkel(paar) bezeichnet, da sie nebeneinander liegen. Die Winkel β 1 und β2 werden als Scheitelwinkel(paar) bezeichnet. a) α1 = 52 β1 = 128 γ1 = 52 δ1 = 128 α 2 = 64 β2 = 116 γ2 = 64 δ2 = 116 b) α1 und β1, α1 und δ1, β1 und γ1, γ1 und δ1, α2 und β2, α2 und δ2, β2 und γ2, γ2 und δ2 c) Nebenwinkel ergänzen sich zu 180, also z. B. α 1 + β1 = 180 d) α 1 und γ1, β1 und δ1, α2 und γ2, β2 und δ2 e) Scheitelwinkel sind gleich groß. a) β = 130 γ = 50 δ = 130 b) α = 105 γ = 105 δ = 75 c) α = 112 β = 68 δ = 68 d) α = 7 β = 173 γ = 7 e) β = 90 γ = 90 δ = 90 Seite 12 Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, entsteht eine doppelte Geradenkreuzung. Die Winkel γ1 und γ2 werden als Stufenwinkel(paar) bezeichnet, sie haben Ähnlichkeit mit Winkeln bei Treppenstufen. Die Winkel δ 1 und δ 2 werden als Wechselwinkel(paar) bezeichnet. a) α1 = 41, β1 = 139, γ1 = 41, δ1 = 139 α2 = 41, β2 = 139, γ2 = 41, δ2 = 139 b) α 1 und α2, β1 und β2, γ1 und γ2, δ1 und δ2 c) Stufenwinkeln sind gleich groß. d) α 1 und γ 2, β 1 und δ2, γ1 und α2, δ1 und β2 e) Wechselwinkel sind gleich groß. a) α 1 = 55, β1 = 125, γ1 = 55, δ1 = 125, α2 = 55, β2 = 125, γ2 = 55, δ2 = 125 b) α1 = 58, β1 = 122, γ1 = 58, δ1 = 122, α2 = 58, β2 = 122, γ2 = 58, δ2 = 122 c) α1 = 82, β1 = 98, γ1 = 82, δ1 = 98, α2 = 82, β2 = 98, γ2 = 82, δ2 = 98 Seite 13 falsch richtig Stumpfe Winkel sind größer als 180. Spitze Winkel sind kleiner als 90. Der gestreckte Winkel ist doppelt so groß wie der rechte Winkel. Scheitelwinkel sind zusammen 180 groß. Nebenwinkel sind gleich groß. Stufenwinkel sind gleich groß. Nebenwinkel: α1 und β1, α1 und δ1, γ1 und β1, γ1 und δ1, α2 und β2, α2 und δ2, γ2 und β2, γ2 und δ2 Scheitelwinkel: α 1 und γ1, β β1 1 und δ1, α2 und γ2, β2 und δ2 Stufenwinkel: α1 und γ2, β1 und δ2, γ1 und α2, δ1 und β2 Wechselwinkel: α1 und α2, β β1 und β2, 2, γ1 und γ2, δ1 und δ2 a) γ = 80, δ = 60, ε = 40, φ = 80 b) α = 59, β = 74, δ = 59, φ = 47 c) α = 90, β = 76, γ = 14, ε = 76 d) β = 44, γ = 25, δ = 111, φ = 25 Aufgabe 5 a) 90 / 270 b) 120 / 240 c) 210 / 150 d) 300 / 60 Seite Schreibe hinter die Begriffe die zugehörigen Buchstaben. Eckpunkt: kt: A, B, C, D Seite: a, b, c, d (Eck)Winkel: α, β, γ, δ Diagonale: e, f Diagonalenschnittpunkt: M a) b) 28

32 Lösungen 29 a) Figur: Viereck (Quadrat) Seite 15 Dreiecke kann man auf zwei unterschiedliche Arten einteilen. Eine Möglichkeit ist eine Einteilung nach Seiten. Sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang, spricht man von einem gleichseitigen Dreieck. Sind nur zwei Seiten gleich lang, wird das Dreieck als gleichschenkliges Dreieck bezeichnet. Haben alle Seiten unterschiedliche edliche Längen, so ist es ein unregelmäßiges Dreieck. Die andere Art der Einteilung von Dreiecken erfolgt nach Winkeln. Auch hier gibt es drei unterschiedliche Möglichkeiten. es drei unt chiedlic Hat ech Hat ein Dreieck drei spitze Winkel, wird es als spitzwinkliges Dreieck bezeichnet. Hat es einen rechten Winkel, wird es als rechtwinkliges Dreieck bezeichnet. Hat das Dreieck einen stumpfen Winkel, nennt man es stumpfwinkliges Dreieck. Einteilung nach Seiten Einteilung nach Winkeln Dreieck 1: gleichschenkliges Dreieck stumpfwinkliges Dreieck Dreieck 2: gleichseitiges Dreieck spitzwinkliges Dreieck Dreieck 3: gleichschenkliges Dreieck spitzwinkliges Dreieck Dreieck 4: unregelmäßiges Dreieck rechtwinkliges Dreieck a) Gleichschenkliges, spitzwinkliges Dreieck b) Unregelmäßiges, rechtwinkliges Dreieck Seite 16 Regel: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180, also α + β + γ = 180. a) γ = 85 b) β = 30 c) α = 32 a) β = 70 spitzwinkliges Dreieck b) α = 58 stumpfwinkliges Dreieck c) γ = 4 stumpfwinkliges Dreieck d) β = 90 rechtwinkliges Dreieck Seite 17 Der Winkel β ist Wechselwinkel zu β, also β = β. Der Winkel γ ist Wechselwinkel zu γ, also γ = γ. Die drei Winkel α, β und γ sind zusammen 180 groß, da sie zusammen einen gestreckten Winkel ergeben. Folglich müssen α, β und γ zusammen auch 180 groß sein. Da diese Argumentation unabhängig von der Winkelgröße ist, gilt immer α + β + γ = 180. γ a) α 1 = 35 β1 = 70 γ1 = 75 α2 = 145 β2 = 110 γ2 = 105 α3 = 35 β 3 = 70 γ3 = 75 α4 = 145 β4 = 110 γ4 = 105 b) α 1 = 146 β1 = 24 γ1 = 10 α 2 = 34 β2 = 156 γ2 = 170 α 3 = 146 β3 = 24 γ3 = 10 α 4 = 34 β4 = 156 γ4 = 170 a) Dreieck 1: α = 60 β = 60 γ = 60 Dreieck 2: α = 60 β = 60 γ = 60 b) In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, nämlich jeweils 60. a) Dreieck 1: α = 40 β = 40 γ = 100 Dreieck 2: α = 67 β = 67 γ = 46 b) In einem gleichschenkligen Dreieck sind jeweils zwei Winkel (die sogenannten Basiswinkel) gleich groß. Seite 18 1, 2, 3 // 2, 5, 4 // 3, 4, 7 // 4, 3, 5 // 5, 1, 6 // 6, 7, 2 // 7, 6, 1 a) b) c) d) Seite 19 Regel: Die Winkelsumme im Viereck ist immer 360, d. h. α + β + γ + δ = 360. a) γ =1 112 b) β = 86 c) α = 100 a) δ = 119 b) γ = 163 c) β = 51 d) α = 202 Seite e 20 a) α und δ sind Nebenwinkel, also α + δ = 180. δ und β sind Stufenwinkel, also δ = β. Daraus folgt, dass auch α + β = 180 b) α und α sind Wechselwinkel, also α = α. α und γ sind Stufenwinkel, also α = γ. Daraus folgt, dass auch α = γ. β und β sind Wechselwinkel, also β = β.. β und δ sind Stufenwinkel, also β = δ. Daraus folgt, dass auch β = δ. Da diese Argumentation n unabhängig von der Winkelgröße ist, gelten die Behauptungen immer. 29

33 Lösungen 30 a) Raute 1: α 1 = 30 α2 = 30 Raute 2: α1 = 40 α2 = 40 β1 = 60 β2 = 60 β1 = 50 β2 = 50 γ1 = 30 γ 2 = 30 γ1 = 40 γ2 = 40 δ1 = 60 δ2 = 60 δ1 1 = 50 δ2 = 50 ε1 = 90 ε 2 = 90 ε 1 = 90 ε 2 = 90 b) Die Teilwinkel α 1 und α2, β1 und β2, γ1 und γ2, δ1 und δ2 sind jeweils gleich groß. c) Die Diagonalen in Rauten schneiden sich senkrecht und halbieren die Eckwinkel. a) α 1 = 43 β1 = 137 γ1 = 43 δ1 δ 1 = 137 α 2 = 137 β2 = 43 γ2 = 137 δ2 δ 2 = 43 α 3 = 43 β3 = 137 γ3 = 43 δ3 δ = 137 α 4 = 137 β4 = 43 γ4 = 137 δ4 = 43 b) α1 = 55 β1 = 35 γ1 = 55 δ1 = 35 α2 = 55 β2 = 35 γ2 = 55 δ2 = 35 Seite 21 Das Lösungswort lautet: Z I R K E L Individuelle Lösungen. a) Kreis 1: r = 1 cm d = 2 cm Kreis 2: r = 1,7 cm d = 3,4 cm Kreis 3: r = 2,3 cm d = 4,6 cm b) Es fällt auf, dass der Durchmesser doppelt so groß ist wie der Radius bzw. dass der Radius nur halb so groß ist wie der Durchmesser. Aufgabe 5 Radius r Durchmesser d Radius r Durchmesser d 5 cm 10 cm 56 mm 112 mm 4,5 cm 9 cm 2,2 dm 4,4 dm 58 mm 116 mm 0,5 m 1 m Seite 22 a) Die Figur besteht aus 15 Kreisen. b) r 1 = 2 cm, r2 = 4 cm c) d = 16 cm d) Individuelle Lösungen. Individuelle Lösungen. a) 2 Teile b) 3 Teile c) 4 Teile d) 6 Teile e) 8 Teile g) Kreis 1: 4 cm, Kreis 2: 5,66 cm, Kreis 3: 8 cm Es fällt auf, dass der Durchmesser der Kreise jeweils der Seitenlänge des Quadrates entspricht. Wenn man die Zeichnung weiter fortsetzen würde, könnte als weitere Regelmäßigkeit noch erkannt werden, dass sich die Seitenlängen bzw. Durchmesser bei jedem zweiten Kreis verdoppeln. Seite 23 a) C( 2 2,5) D(2 2,5) b) D( 2 2,5) a) Trapeze: 1, 3, 4, 5, 6 b) Parallelogramme: 1, 3, 4, 5 c) Rauten: 3, 4 a) α α1 1 = 11, β1 = 79, γ1 = 11, δ1 = 79 a) bis c) α2 = 11, β2 = 79, γ2 = 11, δ2 = 79 b) α1 = 147, α2 = 33, α3 = 147, α4 = 33 β1 = 33, β2 = 147, β3 = 33, β4 = 147 γ1 = 147, γ2 2 = 33, γ γ3 = 147, γ4 = 33 δ1 = 33, δ2 = 147, δ3 = 33, δ4 = 147 c) α 1 = 27, α α2 = 153, α α3 3 = 27, α4 = 153 β 1 = 107, β2 = 73, β β3 3 = 107, β4 = 73 γ 1 = 73, γ γ2 2 = 107, γ3 = 73, γ4 = 107 δ 1 = 153, δ δ2 2 = 27, δ δ3 = 153, δ4 = 27 ε 1 = 46, ε 2 = 134, ε 3 = 46, ε 4 = 134 Seite 24 Individuelle Lösungen. a) D(1 0,5) b) A( 2,5 1) c) B(1 1) a) 120 / 240 b) 30 / 330 c) 162 / 198 d) 132 / 228 Aufgabe 5 Individuelle Lösungen. Es muss nur beachtet werden, en, dass eine Minute 6 entspricht. 30

34 Lösungen 31 Seite 25 g) Schnittpunkt AD mit der x-achse: ( 2 0) Schnittpunkt AD mit der y-achse: (0 1) h) Schnittpunkt Parallele mit der x-achse: (6 0) Schnittpunkt Parallele allele mit der y-achse: (0 3) i) Schnittpunkt Senkrechte mit der x-achse: (1 0) Schnittpunkt Senkrechte mit der y-achse: (0 2) j) Schnittpunkt Senkrechte und Parallele: (2 2) k) Schnittpunkt nkt Halbgerade mit der y-achse: (0 5) l) Schnittpunkt Halbgerade und Senkrechte: ( 2 6) falsch richtig Ein Drachenviereck hat zwei Symmetrieachsen. Eine Raute hat zwei Symmetrieachsen. Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck. Man kann jedes Viereck in zwei Dreiecke teilen. Alle Vierecke sind rechteckig. Alle Parallelogramme sind auch Trapeze. Ein Quadrat hat vier Symmetrieachsen. Die Diagonalen eines Parallelogramms stehen senkrecht aufeinander. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander. a) Ergänze die Tabelle. b) individuelle Lösungen. Winkelart Winkelgröße Spitzer Winkel 0 < α < 90 Rechter Winkel 90 Stumpfer Winkel 90 < α < 180 Gestreckter Winkel 180 Überstumpfer Winkel 180 < α < 360 Vollwinkel 360 Seite 26 (4) AB = 5 cm, AM = 2,5 cm, BM = 2,5 cm CD = 4 cm, CM = 2 cm, DM = 2 cm (5) Die Strecke wird jeweils halbiert. (6) Die Winkel am Schnittpunkt der Geraden mit den Strecken sind jeweils 90 groß. Man kann den Mittelpunkt einer 8 cm langen Strecke finden, indem man die Mittelsenkrechte konstruiert. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke ist der Mittelpunkt der Strecke. Seite 27 a) bis d) Individuelle Lösungen. e) Es fällt auf, dass die Mittelsenkrechte jeweils durch den Punkt P geht, egal wie groß der Radius gewählt wurde. b) S x( 1 0) und Sy(0 1) d) Sx(4 0) und Sy(0 4) Seite 28 a) bis d) Individuelle Lösungen. e) Es fällt auf, dass immer die gleiche Halbgerade entsteht. f) Winkelgrößen bei S 1: 40, 20, 20 Winkelgrößen bei S2: 150, 75, 75 g) Es fällt auf, dass die Halbgerade den Winkel jeweils halbiert. Individuelle Lösungen. Individuelle Lösungen, wobei der Winkel zuerst halbiert werden muss und die beiden Teilwinkel dann wieder halbiert werden müssen. Seite 29 Aufgabe Folgende Kongruenzsätze sind richtig: (1) (3) (4) (5) (6) Seite 30 Ben hat die Bezeichnung des Dreiecks im Uhrzeigersinn gemacht und nicht gegen den Uhrzeigersinn. Außerdem hat er α = 100 statt α = 80 abgetragen. Gegebene Stücke: b = 2 cm; c = 3 cm; α = 80 Richtiges Dreieck: a) a = 4,4 cm β = 77 γ = 43 b) b = 9,1 cm α = 30 γ = 40 c) c = 6,4 cm α = 48 β = 74 31

35 Bergedorfer Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ertu ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit Persen Verlag, Buxtehude AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Die AAP Lehrerfachverlage GmbH kann für die Inhalte externer Sites, die Sie mittels eines Links oder sonstiger Hinweise erreichen, keine Verantwortung übernehmen. Ferner haftet die AAP Lehrerfachverlage GmbH nicht für direkte oder indirekte Schäden (inkl. entgangener Gewinne), die auf Informationen zurückgeführt werden können, die auf diesen externen Websites stehen. Illustrationen: Sven Lehmkuhl Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH Bestellnr.: 21000DA1