Grundbegriffe Geraden Kreis Winkel Kreis. Rund um den Kreis. Dr. Elke Warmuth. Sommersemester / 20

Transkript

1 Rund um den Kreis Dr. Elke Warmuth Sommersemester / 20

2 Grundbegriffe Geraden Kreis Winkel Kreis 2 / 20

3 Kreis Kreisfläche oder Kreislinie Definition Die Kreislinie um M mit dem Radius r ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von M den Abstand r haben. Die Kreisfläche um M mit dem Radius r ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von M höchstens den Abstand r haben. Bemerkungen In der Schule ist mit Kreis in der Regel die Kreislinie gemeint. Aber: Flächeninhalt eines Kreises! Wir verwenden im Folgenden in der Regel den Begriff Kreis im Sinne von Kreislinie. Der doppelte Radius heißt Durchmesser d. Jede Strecke, die M mit einem beliebigen Punkt P der Kreislinie verbindet, wird ebenfalls als Radius bezeichnet; ebenso jede Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie, die durch M geht, als Durchmesser. 3 / 20

4 Geraden und Kreis p Passante s Sekante AB Sehne PQ Durchmesser, PQ = d MC Radius, MC = r t Tangente, MC Berührradius der Tangente t 4 / 20

5 Satz Wenn eine Durchmesser eines Kreises senkrecht auf einer Sehne dieses Kreises steht, dann halbiert der Durchmesser die Sehne. Beweis. 1. Fall: AB ist kein Durchmesser: 1. Geg.: CD AB. Z.z. AE = BE 2. Hilfslinien? MEA = MEB 2. Fall: AB ist Durchmesser: Jeder Durchmesser halbiert jeden anderen Durchmesser. 5 / 20

6 Aufgaben 1. Begründen Sie: Die Mittelsenkrechte einer Sehne eines Kreises verläuft durch den Mittelpunkt M. 2. Gegeben sei ein Kreis. Geben Sie eine Konstruktion seines Mittelpunktes an. 6 / 20

7 Definition Eine Gerade t, die sich mit einem Kreis k in genau einem Punkt P schneidet, heißt Tangente an den Kreis im Punkt P. Satz Eine Gerade t durch einen Punkt P des Kreises k ist genau dann Tangente an k, wenn der Radius MP senkrecht auf t steht. Beweis. 1. t sei Tangente. Außer P liegen alle Punkte von t außerhalb des Kreises. P hat den kürzesten Abstand zu M und ist somit Fußpunkt des Lotes von M auf t. 2. t stehe senkrecht auf MP. Angenommen Q k t. MPQ ist gleichschenklig. Folglich MQP = 90. Das ist ein Widerspruch zur Winkelsumme im Dreieck. 7 / 20

8 Satz des Thales Satz Im Kreis sind alle Winkel über einem Durchmesser rechte Winkel. Beweis. Übungsaufgabe 8 / 20

9 Umkehrung des Satzes des Thales Satz Es sei AB ein Durchmesser eines Kreises k und P ein Punkt mit APB = 90. Dann liegt P auf k. Die Redeweise Die Strecke AB erscheint vom Punkt P aus unter einem Winkel α bedeutet: APB = α. 9 / 20

10 Durch die Umkehrung des Thalessatzes ergibt sich: Die Ortslinie aller Punkte, von denen aus eine Strecke AB unter einem Winkel von 90 erscheint, ist ein Kreis mit AB als Durchmesser. 10 / 20

11 Anwendung des Thalessatzes: Konstruktion der Tangenten an einen Kreis von einem Punkt P außerhalb des Kreises aus. Aufgabe Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung. Begründen Sie, dass PQ = PR ist. 11 / 20

12 Zwei Punkte A und B eines Kreises zerlegen ihn in den Kreisbogen ÂB und den Kreisbogen BA. Der Umlaufsinn ist entgegen dem Uhrzeigersinn. Definition Die Winkel APB, deren Scheitel P auf dem Kreisbogen außerhalb des Bogens ÂB liegen, heißen Peripheriewinkel (oder Umfangswinkel) zum Bogen ÂB. 12 / 20

13 Definition Der Winkel AMB heißt Zentriewinkel (oder Mittelpunktswinkel) über dem Bogen ÂB. Satz Alle Peripheriewinkel über einem Kreisbogen ÂB sind gleich groß. Der Zentriwinkel über einem Kreisbogen ÂB ist doppelt so groß wie jeder Peripheriewinkel über diesem Bogen. 13 / 20

14 Beweis. Wir betrachten nur den Fall, dass ÂB kleiner als ein Halbkreis ist. 2ε + µ = ε + 2δ + 2η = (δ + η) = µ, also ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der Peripheriewinkel γ = δ + η. Wegen µ = 180 2ε folgt γ = 90 ε. Für eine andere Lage von C auf dem Bogen BA verläuft der Beweis analog. 14 / 20

15 Aufgabe Überlegen Sie sich, dass der Satz des Thales ein Spezialfall des vorigen Satzes ist. 15 / 20

16 Definition Die Tangente in A an einen Kreis bildet mit der Sehne AB zwei Sehnentangentenwinkel in A. Der zum Bogen ÂB gehörende Sehnentangentenwinkel im Punkt A ist dann derjenige Winkel, der bezüglich g AB in derselben Halbebene wie ÂB liegt; sein Nebenwinkel in der anderen Halbebene bezüglich g AB ist der zum Bogen BA gehörende Sehnentangentenwinkel im Punkt A. 16 / 20

17 Satz Der zum Kreisbogen ÂB gehörende Sehnentangentenwinkel ist genauso groß wie jeder Peripheriewinkel über diesem Bogen. Beweis. Übungsaufgabe. 17 / 20

18 Definition Der Fasskreisbogen zur Strecke AB ist der geometrische Ort aller Punkte in der Ebene, von denen aus man diese Strecke unter demselben Winkel sieht. 18 / 20

19 Konstruktion eines Fasskreisbogens Geg.: Strecke AB und Winkel γ, ges.: Mittelpunkt des Kreises, für den die Peripheriewinkel über der Sehne ÂB die Größe γ haben. Es gilt ε = 90 γ. Trage 90 γ in A und in B ab. Der Schnittpunkt der Schenkel ist M. Spiegelung von M an AB liefert den Mittelpunkt des zweiten Kreises. Aufgabe Konstruieren Sie die Fasskreisbögen zur Strecke AB mit AB = 6cm und γ = / 20

20 Aufgabe Lösung: / 20