E r g ä n z u n g. zur Trigonometrie

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1 E r g ä n z u n g zur Trigonometrie Klasse 10 b 2018 / 19 Deyke Trigonometrie.pdf

2 W I N K E L F U N K T I O N E N Die Strahlensätze und der Satz des Pythagoras sind bisher die einzigen Hilfsmittel zur rechnerischen Bearbeitung geometrischer Probleme. Sie versagen jedoch, sobald Winkelgrößen vorkommen. Die nachfolgenden Aufgaben (z.t. nach Spektrum der Mathematik, Bd. 10) zeigen dir Möglichkeiten auf, wie man dennoch Berechnungen anstellen kann. Aufg. 1: Die Parallelogramme in der nachfolgenden Abbildung (Abb. 1) stimmen in den Winkelgrößen überein, jedoch nicht in den Seitenlängen. Welche Flächeninhalte haben sie? Abb. 1 Winkelgleiche Parallelogramme (Längen in cm) 1.1 Zeichne das größte der drei Parallelogramme nach, miss seine Höhe h und berechne seinen Flächeninhalt. 1.2 Berechne auch die Flächeninhalte der beiden anderen Parallelogramme, ohne die Höhe h 1 und h 2 zu messen. Aufg. 2: Mit den üblichen Bezeichnungen (siehe auch Abb. 2) gilt für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms: A = a h = a b h / b. Abb. 2

3 Winkelfunktionen Seite Das Verhältnis von h zu b nennt man sinus von α. Bestimme dieses Verhältnis für α = 20, 40 und 80 durch eine Zeichnung. Wähle beispielsweise 5 cm für b, dann ist die Rechnung einfach. 2.2 Von einem Parallelogramm sind a, b und α bekannt. Berechne den Flächeninhalt A unter Verwendung deiner Ergebnisse aus Aufgabenteil 2.1. (a) a = 6,0 cm; b = 5,0 cm; α = 40 (b) a = b = 5,0 cm; α = 80 (c) a = b = 10,0 cm; α = 20 (d) a = 3,0 cm; b = 5,0 cm; α = 80 (e) a = b = 5,0 cm; α = 90 (f) a = 3,0 cm; b = 5,0 cm; α = 100

4 Winkelfunktionen Seite 3 Aufg. 3: STEIGUNG g AB sei die Verbindungsgerade der beiden Punkte A = ( - 2,5 ; - 1,4 ) und B = ( 7,3 ; 4,9 ). 3.1 Berechne bitte den Steigungswinkel α der Gerade g AB. 3.2 Finde auch die Funktionsgleichung der linearen Funktion g, für die g AB der Graph ist. Aufg. 4:

5 Winkelfunktionen Seite 4 (aus Spektrum der Mathematik, Band 10)

6 Winkelfunktionen Seite 5 Aufg. 5: (Der Feuerwehrweg) In einem Waldstück soll ein geradliniger Feuerwehrweg von A nach B angelegt werden (s. Abb.1). Abb.1 AB = c In welchen Winkeln zu den Waldwegen muss man die Schneise von A nach B schlagen und wie lang wird sie? 5.1 Löse die Aufgabe zeichnerisch. 5.2 Berechne α, β und c mithilfe von Winkelfunktionen. Zeichne hierzu eine geeignete Höhe h in das Dreieck Δ ABC ein und berechne die Stücke der Teildreiecke. 5.3 Entwickle eine Gleichung, mit der du c direkt aus a, b und γ berechnen kannst. Aufg. 6: (Flächeninhalt) Von dem Dreiecke Δ ABC sind die Koordinaten der Eckpunkte bekannt: A = ( - 2; - 2), B = ( 4 ; 3 ) und C = ( 5 ; - 3 ) (siehe auch Abb. 2). Berechne aus diesen Angaben den Flächeninhalt A Δ des Dreiecks. Abb. 2

7 Winkelfunktionen Seite 6 Ein Fall für den Cosinus Satz (ein verallgemeinerter Satz des Pythagoras) Aufg. 7: (resultierende Kraft) Zwei Kräfte F 1 und F 2 schließen einen Winkel α = 110 ein. Für ihre Beträge gilt: F 1 = 3 N und F 2 = 6 N. Berechne (! ) den Betrag der resultierenden Kraft F R. Aufg. 8: (eine Sternfigur) Wir legen auf einen Kreis mit Radius R = 4,8 cm die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks Δ(A,B,C).(Siehe Abb. 3.) Wir legen auch noch Punkte D, E und F auf den Kreis, so dass benachbarte Punkte auf dem Kreis denselben Winkelabstand (Mittelpunktswinkel) haben. Es entsteht ein Stern. Abb Berechne den Flächeninhalt A 1 des Dreiecks Δ(A,B,C). 8.2 Berechne auch den Flächeninhalt A 2 des Sternes (A,D,B,E,C,F). * In der Navigation misst man Richtungen als Abweichungen von der Nordrichtung im Uhrzeigersinn. Richtungsangaben werden als Kurse bezeichnet. Zur Richtung Süd West gehört der Kurs 270.

8 Winkelfunktionen Seite 7 Der Sinus-Satz Zur Vorbereitung: Umfangswinkelsatz: Ist AB eine Sekante eines Kreises, so ist ein beliebiger Umfangswinkel über ihr halb so groß wie ihr Mittelpunktswinkel AMB. Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der nachfolgenden Abbildung Abb. 4. Abb. 4 Ergänzungen: 1) Je zwei Umfangswinkel über derselben Sekante sind gleich groß. - 2) Ist die Sekante ein Kreisdurchmesser, so ist der Umfangswinkel ein rechter Winkel (Satz des THALES; Konstruktion rechter Winkel mit Zirkel und Lineal). Aufg. 9: (der Sinus-Satz) Um das Dreieck ABC in der nachfolgenden Abbildung (Abb. 5) ist der sog. Umkreis gezeichnet. Unter Beachtung des Zusammenhanges zwischen Umfangs- und Mittelpunktswinkel begründe bitte: a b = sin a sin b Abb. 5

9 Winkelfunktionen Seite 8 Der Sinus-Satz : Der Cosinus-Satz stellt einen Zusammenhang zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und einem Winkel her. Er ist nicht in allen Berechnungssituation das richtige Werkzeug (z.b. wenn nur eine Seite bekannt ist). Die Aufgabe "Heißluftballon" kann nicht mit dem Cosinus-Satz gelöst werden - es gibt jedoch andere Möglichkeiten. Man kennt auch noch den sog. Sinus-Satz: a b c = = sin a sin b sin g Das Verhältnis von Dreiecksseite und Sinus vom gegenüber liegende Winkel ist für alle Seiten dasselbe (nämlich der Durchmesser des zum Dreieck gehörigen Umkreises). (Vgl. Aufg. 9, p. 7.) Aufg. 10: Löse das Heißluftballon-Problem mit dem Sinus-Satz. Hier nochmals der Text: Ein Heißluftballon steht senkrecht über der Strecke AB; sie hat die Länge 490 m. Berechne seine Flughöhe h mithilfe der in der nachfolgenden Abbildung Abb. 6 angegebenen Daten. Abb. 6