Ausführliche Lösungen

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1 Ausführliche Lösungen 11.1 Die Aussage gilt für a) Rechteck, Quadrat b) Raute, Quadrat, Drachen c) Parallelogramm, Raute, Rechteck, Quadrat d) Rechteck, Quadrat e) Parallelogramm 11.2 Bei einem Parallelogramm sind je zwei gegenüberliegende Seiten, bei einem Drachen je zwei benachbarte Seiten gleich lang. Also müssen bei dem gegebenen Viereck alle Seiten gleich lang sein. Daher sind nur die Aussagen c) und e) richtig β 60 h g g h α β = = 55 (Ergänzung zu gestrecktem Winkel) α ist ein Wechselwinkel zu β an den Parallelen g und h; also ist α = α 73 β g h α = 56 (Scheitelwinkel) β = = 51 (Winkelsumme im Dreieck) Der Stufenwinkel zu β ist 52, also um 1 größer, d.h. g und h sind nicht parallel a) b) c) d) e) f) 11.6 a), also = 6,3; R. Dürr, K. Dürrschnabel, W. Erben, M. Gercken, K. Lunde, R. Wurth, M. Zimmermann 1/7

2 , also y = = 2,0 b) Verhältnis auf dem 1.Strahl: Verhältnis auf dem 2.Strahl: Die Geraden g und k sind also parallel ,5 Nach dem 1-Strahlensatz gilt:, also. Der Haken befindet sich 45m über dem Erdboden a) = = 41 b) 6 = 180,also = 30. Das Dreieck hat die Winkel 30, 60 und 90. c) = = Summe aller Innenwinkel: (9 2) 180 = Weite eines Innenwinkels: 1260 : 9 = Es gilt: MD = MD (Radius des äußeren Kreises) MC = MA (Radius des inneren Kreises) DMC AMB (Scheitelwinkel) Nach dem Kongruenzsatz sws sind die Dreiecke MDC und MAB kongruent. Also ist AB = CD a) Gesuchte Kathete: Nach dem Satz des Pythagoras gilt: = Also ist = = 12; Die zweite Kathete ist 12 cm lang- b) Nach dem Satz des Pythagoras gilt: ; also c a d a 10. a. R. Dürr, K. Dürrschnabel, W. Erben, M. Gercken, K. Lunde, R. Wurth, M. Zimmermann 2/7

3 Ist a die Kantenlänge des Würfels, so gilt nach Pythagoras: a 2 + a 2 = 10 2 und damit a =. Für die Raumdiagonale d gilt: d 2 = a 2 = = 150, also d =. Die Raumdiagonale ist 5 cm 12,2 cm lang a)länge der Flächendiagonale AC (nach Pythagoras): AC 2 = a 2 + a 2 = 20000, also AC = 100. Höhe der Pyramide (nach Pythagoras): h 2 = s 2 ( AC ) 2 = (50 ) 2 = 14600, also h = 120,8. Die Höhe der Pyramide beträgt ca. 120,8m. b) Flächendiagonale: d = a Höhe der Pyramide: h = = = = Richtig sind a) und g) y h 1 C 1 D A h 2. E h 3 B 1 Die Gerade (BC) hat die Steigung -2. Daher hat der Punkt E die Koordinaten (5,5 3). Die Strecken AC und AE zerlegen das Viereck in drei Dreiecke: Dreieck ACD mit der Grundseite AD = 2 und der Höhe h 1 = 3, Dreieck AEC mit der Grundseite AE = 4,5 und der Höhe 3 sowie Dreieck ABE mit der Grundseite AE = 4,5 und der Höhe h 2 =1. Damit gilt für den Flächeninhalt: A ges = A 1 + A 2 + A 3 = AD h 1 + AE h 2 + AB h 1 = , ,5 1 = a) u = 2 r = 8 [cm]; r = 4[cm]; A = r 2 = 16 [cm 2 ] b) b = 2 r 3 = 2 2 ; also = 270 R. Dürr, K. Dürrschnabel, W. Erben, M. Gercken, K. Lunde, R. Wurth, M. Zimmermann 3/7

4 11.17 r R Radius des einbeschriebenen Kreises: r = 5 cm Radius des umbeschriebenen Kreises: R = 5 cm Flächeninhalt des Kreisrings: A = R 2 r 2 = (50-25 cm 2 = 25 cm Flächeninhalt: A = a 2-4 = a 2 - = a 2 0,215a 2 Umfang: u = 4 = a a) Volumen einer Kugel mit Radius r = 1[cm]: V 1 = 1 3 = [cm 3 ] Volumen der 4 Kugeln: V ges. = [cm 3 ] Für den Radius R der neuen Kugel gilt: R 3 = und damit R 3 = 4, also R = [cm] 1,59 [cm]. b) Oberfläche der vier kleinen Kugeln zusammen: O ges = [cm 2 ] = 16 [cm 2 ]. Oberfläche der großen Kugel: O neu = 4 [cm 2 ] = 4 [cm 2 ] [cm 2 ] Differenz: (16 ) [cm 2 ] [cm 2 ] Prozentuale Verkleinerung: = 1-37% a) Äußeres Volumen: V a = 1000 cm 3 Inneres Volumen: V i = 8 3 cm 3 = 512 cm 3 Volumen des Aluminiums: V Al = V a V i = 488 cm 3 Masse des Aluminiums: m Al = 488 cm 3 2, ,5g R. Dürr, K. Dürrschnabel, W. Erben, M. Gercken, K. Lunde, R. Wurth, M. Zimmermann 4/7

5 b) Gewicht des Würfels: G Al =1,3225 kg 9,81 12,97 N Auftrieb des völlig eingetauchten Würfels (= Gewicht des von ihm verdrängten Wassers): A 1 kg 9,81 9,81 N Da das Gewicht des Würfels größer ist als die auf ihn einwirkende Auftriebskraft, geht der Würfel unter a) Grundfläche des Kegels (Kreis mit Radius 4 cm): A = r 2 =16 Für die Höhe des Kegels gilt (nach Pythagoras): h = = = 4. Volumen: V = V h = 116,1 Oberfläche: O = r 2 + r s = = ,8 Das Volumen des Kegels beträgt ca. 116,1 cm 3, seine Oberfläche ca. 150,8 cm 2. b) Bogenlänge des Kreisausschnitts (=Umfang des Grundkreises): b = 2 r = 8 Radius des Kreisausschnitts: s = 8 Für den Mittelpunktswinkel gilt: b= 2, also = sin(0,49 ) sin( = 1, also ist der Wert von 0,02686 viel zu klein. Fehler: Der Taschenrechner wurde nicht vom Bogen- ins Gradmaß umgestellt. Es ist sin(0, l tan( ) = 0,08, also 4,6 tan( ) = = 0,08, also = = 750 Mit dem Satz des Pythagoras: l = 752,4 Der Steigungswinkel der Rampe beträgt ca. 4,6, ihre Länge ca. 7,524 m. R. Dürr, K. Dürrschnabel, W. Erben, M. Gercken, K. Lunde, R. Wurth, M. Zimmermann 5/7

6 11.24 Ist der Winkel bei A, so gilt im Dreieck APQ: cos( ) = =0,8 Im Dreieck ABC gilt: cos( ) =, also AC = AB cos( ) = 3,0 0,8 = 2, s α 4 a) Satz des Pythagoras: s = = 5 Der Schenkel ist 5cm lang. b) tan( ) =, also 53, k h 54 Höhe des Damms: sin(42 ) = ; h = 12 sin(42 ) 8,03 Breite der Dammkrone: k = 54 2 cos(42 ) = ; = 12 cos(42 ) 8,92 k = 54 2 = 36,16 Der Damm ist ca. 8m hoch, die Dammkrone ca. 36,2m lang R. Dürr, K. Dürrschnabel, W. Erben, M. Gercken, K. Lunde, R. Wurth, M. Zimmermann 6/7

7 tan( ) = 2, also ; OP = = OP ; = ,57 Für P (u v) gilt: v = sin( ) 1,33; u = - cos( - 1,80. Damit: P (-1,80 1,33) a) P( ) b) 2 = c) 3 = R. Dürr, K. Dürrschnabel, W. Erben, M. Gercken, K. Lunde, R. Wurth, M. Zimmermann 7/7