7.7. Aufgaben zu Abständen und Winkeln

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1 7.7. Aufgaben zu Abständen und Winkeln Aufgabe : Schnittwinkel zwischen Geraden Bestimmen Sie die Innenwinkel und ihre Summe für das Viereck ABCD. Berechnen Sie auch die Koordinatengleichung der Trägerebene, falls es sich um ein ebenes Viereck handelt. a) A( ), B( ), C( 4) und D( 4 8) b) A( ), B( 6), C( ) und D( 6 ) c) A( ), B( 4 ), C( ) und D(7 ) Aufgabe : Schwerpunkte, Schnittwinkel zwischen Geraden Eine Pyramide hat die Eckpunkte A( ), B(6 6 ), C(6 6) und D( 6 6). a) Bestimmen Sie alle Kantenlängen. b) Zeigen Sie, dass sich die Verbindungsgeraden von je einem Schwerpunkt einer Seitenfläche zur gegenüberliegenden Ecke in einem Punkt schneiden. c) Welchen Winkel schließen je zwei dieser Geraden ein? Aufgabe : Geschwindigkeiten, Schnittwinkel zwischen Geraden Ein Flugzeug bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn im Steigflug. Von der Bodenstation B( ) aus wird es zunächst im Punkt P ( ) und Sekunden später im Punkt P ( 4,) geortet. Die Koordinaten sind in km angegeben. a) Berechnen Sie die Durchschnittgeschwindigkeit des Flugzeugs b) Berechnen Sie den Winkel P BP. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P, in dem das Flugzeug die Höhe 4, km erreicht. d) Etwas später lässt sich infolge eines technischen Defektes nur noch die Richtung des Punktes P 4 (,8 w) anpeilen. Bestimmen Sie die Höhe w in diesem Punkt. e) Die Sichtweite beträgt 4 km. Wie lange ist das Flugzeug von der Bodenstation aus zu sehen? Aufgabe 4: Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen Berechnen Sie die Winkel zwischen der Geraden g: x = t 4 Koordinatenebenen und den Koordinatenachsen sowie den Aufgabe. Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen Gegeben sind die Ebene E durch die Punkte A( ), B( ) und C( ) sowie die Gerade g durch die Punkte G(4 ) und H( ). a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von E und g. b) In welchem Winkel schneiden sich g und E? c) Durch Spiegelung von g an E erhält man die Gerade g. Geben Sie eine Gleichung für g an d) In welchem Winkel schneiden sich g und g? Aufgabe 6: Schnittwinkel zwischen Ebenen Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Ebenen E und F: E: x = und F: x = E: x = 6 und F: x = 4 4 Aufgabe 7: Pyramiden, Schnittwinkel zwischen Ebenen Gegeben sind die Punkte A( ), B(9 ), C(8 ) und E(6 ). a) Geben Sie einen Punkt D an, so dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Viereckes ABCD. c) Zeigen Sie, das E von A, B, C und D gleich weit entfernt ist. d) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDE. e) Berechnen Sie die Winkel und zwischen den Seitenflächen und der Grundfläche der Pyramide. f) Berechnen Sie den Winkel zwischen einer Seitenkante und der Grundfläche der Pyramide.

2 Aufgabe 8: Abstand Punkt-Ebene Bestimmen Sie den Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene E: 6 a) P(4 6 ) und E: x = 4 8 b) P(4 4) und E: x = Aufgabe 9: Abstand Gerade-Ebene Zeigen Sie, dass die Ebene E: 7x + 4x 4x = und die Gerade durch die Punkte A( 8 8) und B(7 ) zueinander parallel sind und berechnen Sie ihren Abstand. Aufgabe : Abstand Ebene-Ebene Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen E: x x x = und F: x = sind und berechnen Sie ihren Abstand. zueinander parallel Aufgabe : Pyramide, Abstand Punkt-Ebene Gegeben sind die Punkte A( 4), B( 7), C( 6) und D(7 4 ). a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABS gleichseitig ist und berechnen Sie seinen Flächeninhalt. b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von der Ebene E, die durch A, B und C geht. c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD. d) Bestimmen Sie den Höhenfußpunkt F der Pyramide und ermitteln sie, ob er außerhalb oder innerhalb des Dreieckes ABC liegt. Hinweis: Formulieren Sie den Vektor AF als Linearkombination der beiden Schenkel: AF = r AB AC. Deuten Sie die Werte der Parameter r und s mit Hilfe einer Skizze hinsichtlich der Lage des Punktes F zum Dreieck ABC. Aufgabe : Kegel, Abstand Punkt-Ebene Gegeben sind die Punkte A(4 ), B( ), C( ) und S( ). a) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes S von der Ebene E durch die Punkte A, B und C. b) Bestimmen Sie die Koordinaten es Lotfußpunktes F von S auf E. c) Berechnen Sie das Volumen des Kegels, der durch Rotation der Strecke [SC] um die Normale auf E durch S entsteht. Aufgabe : Abstand Punkt-Gerade zweidimensional x Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P( ) von der Geraden g: y = mit r. Aufgabe 4: Abstand Punkt-Gerade Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden g, die durch die Punkte A und B geht: a) P(8 ), A( 4 ), B( ) b) P(, 6,), A( ), B(4 4 ) c) P(6 8 ), A(8 4 8), B(6 6) Aufgabe : Kegel, Abstand Punkt-Gerade a) Bestimmen Sie die Koordinaten v und w so, dass die Punkte A( ), B(4 v ) und C(, 9 w) auf einer gemeinsamen Geraden g liegen. b) Bestimmen Sie den Normalenfußpunkt des Punktes P( ) auf der Geraden g. c) Welchen Abstand hat der Punkt P von der Geraden g? d) Berechnen Sie die Fläche des Dreieckes CFP. e) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der bei Rotation des Dreieckes CFP um die Achse g gebildet wird.

3 Aufgabe 6: Abstand windschiefer Geraden Berechnen Sie den gemeinsamen Normalen-Einheitsvektor und den Abstand der Geraden g und f zueinander: a) g: x = und f: x = 8 b) g: x = und f: x = 6 c) g: x = und f: x = Aufgabe 7: Geschwindigkeiten, Abstand windschiefer Geraden Drei Flugzeuge F, F und F befinden sich zum Zeitpunkt t = in den Punkten P ( 9), P (7 6) und. P ( ). Sie bewegen sich mit den konstanten Geschwindigkeiten v =, v = und v =. Ortskoordinaten sind in m, Geschwindigkeitskoordinaten in m/s angegeben. a) Zeigen Sie, dass sich F und F in einer Ebene E bewegen und geben Sie ihre Normalenform an. b) In welchem Punkt S schneiden sich die Bahngeraden von F und F? c) Wie viele Sekunden nach f trifft F in S ein? d) In welchem Punkt T und unter welchem Winkel trifft die Bahngerade von F auf die Ebene E? e) Wie weit ist F nach Sekunden von E entfernt? f) Nach wie viel Sekunden ist F gleichweit von F und F entfernt? g) Wie viele Sekunden nach dem Start sind sich F und F am nächsten? h) Wie nahe kommen Sie sich? Aufgabe 8: Koordinatensystem, Geschwindigkeiten, Abstand windschiefer Geraden Ein Drachenflieger startet von einer m über NN gelegenen Klippe im Punkt P und fliegt geradlinig zu einem 4 km südlich und km östlich gelegenen Punkt Q auf einer Wiese. Die Wiese bildet eine waagrechte Ebene auf der Höhe m über NN. a) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und skizzieren Sie die Flugbahn. b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Flugbahn zur waagrechten. c) Der Drachenflieger sinkt 4 Meter pro Sekunde. Berechnen Sie die Fluggeschwindigkeit und die Flugdauer. d) Beim zweiten Start ist die Thermik schlechter, so dass der Drachenflieger nun mit m/s sinkt. In welcher Entfernung von P landet er? e) Die Wiese gehört zu einem Flugplatz. km nördlich von Q startet ein Flugzeug und nimmt mit km/h direkten Kurs auf den Gipfel des Bösecks, der in 4 m Höhe über NN 7 km südlich und 6 km westlich von Q liegt. In welchem Abstand passiert es die Flugbahn des Drachenfliegers beim ersten Start? f) Das Flugzeug startete im gleichen Moment wie der Drachenflieger beim ersten Start. Wie nahe kommt es dem Drachenflieger tatsächlich? Aufgabe 9: Projektion auf eine Ebene Gegeben sind die Punkte P( ), Q( 4 ) und L( 6 ) sowie die Ebene E: x =. Im Punkt L befindet sich eine punktförmige Lichtquelle. a) Wie lang ist die Strecke PQ? b) Wie groß ist der Winkel zwischen den Lichtstrahlen durch die Punkte P und Q? c) Wie lang ist der Schatten P ' Q', den PQ auf E wirft? d) In welchem Punkt schneidet die Gerade PQ die Gerade P Q? e) Zeichnen Sie die Punkte P, Q, L, P, Q sowie die Ebene E in ein Koordinatensystem und kontrollieren Sie ihre Ergebnisse.

4 Aufgabe : Spiegelung und Reflektion an einer Ebene Gegeben sind die Punkte A(4 ), B( ), C(6 ) und L(8, 6,). a) Welchen Abstand hat der Punkt L von der Ebene E durch die Punkte A, B und C? b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes L, den man durch Spiegelung de Punktes L an der Ebene E erhält. c) Ein Lichtstrahl durch L und B wird an E reflektiert. Überprüfen Sie, ob die Punkte Q( 4 4) und R(,,) von dem reflektierten Strahl getroffen werden. d) Kontrollieren Sie ihre Ergebnisse mit Hilfe einer Zeichnung. Aufgabe : Spiegelung an einer Geraden Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P, der durch Spiegelung des Punkte P( ) an der Geraden g: x = entsteht. Aufgabe : Spiegelung an einer Geraden Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch Spiegelung der Geraden g: x = an der Geraden f: x = entsteht. Aufgabe : Spiegelung an einem Punkt Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch Spiegelung der Geraden g: x = Z( ) entsteht. am Punkt Aufgabe 4: Spiegelung an einem Punkt Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E, die durch Spiegelung der Ebene E: x x + x = am Punkt Z( ) entsteht. Aufgabe : Geschwindigkeiten, Reflektion Der Partyjet des Sultans von Brunei befindet sich im Anflug auf den Flughafen Hong Kong. Zur Zeit t = befindet er sich km südlich und km östlich der Insel Lantau in km Höhe. Der irische Pilot hält mit 4 km pro Stunde direkten Kurs auf einen km über Lantau gelegenen Punkt und sinkt dabei Meter pro Sekunde. Sein Whiskyglas ist leer. Die erste und einzige Maschine der China Airsea Corp., eine günstig gebraucht erstandene B 77, befindet sich zur Zeit t = in 4 km Höhe km östlich und 4 km südlich von Lantau mit 7 km/h auf direktem Westkurs. Der Wahrsager des chinesischen Piloten hat ihn eindringlich vor den Gefahren des heutigen Tages gewarnt. a) Zeichne die Positionen und die Flugbahnen der beiden Flugzeuge in ein Koordinatensystem im Maßstab : ( cm km). Wähle Lantau als Koordinatenursprung. Die x -Achse zeigt nach Süden, die x - Achse nach Osten und die x -Achse nach oben. () b) Wie nahe können sich die beiden Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen? () c) Zur Zeit t = s befindet sich die B 77 km westlich von Lantau. Wie nahe kommen sich die beiden Flugzeuge tatsächlich? (4) d) Der Sultan blickt zur Zeit t = s wohlgefällig hinunter auf seine Yacht, die genau km südlich von Lantau auf der spiegelglatten See liegt. Ein Strahl der genau im Süden unter 4 stehenden Sonne wird vom Kabinenfenster der Yacht reflektiert und blendet den Sultan für einen Moment. Um wie viel Grad ist das Kabinenfenster geneigt? () 4

5 7.7. Lösungen zu den Aufgaben zu Abständen und Winkeln Aufgabe : Schnittwinkel zwischen Geraden a) AB =, BC = 7, CD =, DA = 9 =,, = 67,7, =, und = 4, = 7,97 kein ebenes Viereck Die Trägerebene von ABC E: 8x x + 7x = enthält D nicht. b) AB = 7, BC = 7, CD = 7, DA = 7 = 9, = 9, = 6 und = = kein ebenes Viereck Die Trägerebene von ABC E: 4x 9x x = enthält D nicht. c) AB =, BC =, CD =, DA = = 6, =, = 6 und = = 6 ebenes Viereck (Parallelogramm!). Die Trägerebene von ABC E: x 7x + x = enthält D. Aufgabe : Schwerpunkte, Schnittwinkel zwischen Geraden a) Alle Seiten haben die Länge 6 b) Die der entsprechenden Ecke gegenüberliegenden Seitenschwerpunkte haben die Koordinaten S A (4 4 4), S B ( 4), S C ( 4 ) uns S D (4 ). c) AS A : x = schneidet AS A : x = 6 in S( ) mit dem Winkel 7,, BS B und 6 CS C gehen ebenfalls durch S. Aufgabe : Geschwindigkeiten, Schnittwinkel zwischen Geraden a) P P =, km und v = m/s b) =,6 c) P (4 8 4,) d) P 4 ( 9 ) e) g: x =, schneidet die Sichtsphäre 4 = x + x + x für r = 4 (± 6 ) bzw. in P /6( ± 4 6 ± ± 6 ) mit P P 6 = 4 6 t = 4 6 s,6 s Aufgabe 4: Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen a) 78,, 4,, 6,. b) 48, ;,8,,8 Aufgabe : Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen 4 a) E: x x + x =, g: x =, S( ) 9 b) sin =, 4 c) g : x = d) cos = 7 6,6 = Aufgabe 6: Schnittwinkel zwischen Ebenen a) E: x + x = und F: x + x = 7,6 b) E = F = x + x =

6 Aufgabe 7: Pyramiden, Schnittwinkel zwischen Ebenen a) D( ), ABCD ist sogar ein Rechteck. b) A = 6 4 FE c) V = 4 VE d) = 9,8 FE e) = 77,69,,77 f) 49,8 Aufgabe 8: Abstand Punkt-Ebene a) E: 4x x + x = d = 6 LE b) E: x + x + x = mit P E d = LE Aufgabe 9: Abstand Gerade-Ebene d = 8 LE Aufgabe : Abstand Ebene-Ebene F: x x x = mit d = LE Aufgabe : Pyramide, Abstand Punkt-Ebene a) AB = BC = CA = 4 A = 7 FE b) F: x = E: x 4 x + x = d = LE c) V =, VE C A B 4 4 d) F(4 6) mit AF = AB + AC F liegt innerhalb des Dreieckes ABC, da + < (siehe Skizze) Aufgabe : Kegel, Abstand Punkt-Ebene a) E: x + x + x = 6 d = 9 LE b) F( 6) c) r = 9 LE V = 78 VE Aufgabe : Abstand Punkt-Gerade zweidimensional n = und d = 6 LE,68 LE Aufgabe 4: Abstand Punkt-Gerade a) Normalenfußpunkt F( 8 6) d = 7 LE b) Normalenfußpunkt F( 4) d =, 6 LE c) Normalenfußpunkt F( ) d = LE Aufgabe : Kegel, Abstand Punkt-Gerade a) v = 6 und w = 4 b) F( 8 ) c) d = 6 LE d) A = 94, FE e) V = 78 VE 6

7 Aufgabe 6: Abstand windschiefer Geraden a) n = 4 6 und d = b) n = und d = Aufgabe 7: Geschwindigkeiten, Abstand windschiefer Geraden a) E: x x + x = 4 b) S( 6) c) F trifft s nach F in S ein d) S( ) und,6 c) n = und d = e) d = 6 m,9 m f) nach,67 s g) t = s 7 h) d min =,67 m Aufgabe 8: Koordinatensystem, Geschwindigkeiten, Abstand windschiefer Geraden a) Skizze: Ursprung (O( ) auf m über NN unter P, x -Achse in Richtung Süden, x -Achse in Richtung Osten, x -Achse nach oben, Entfernungen in m, Geschwindigkeiten in m/s, Zeit t in s P( ) und Q(4 ) 4 4 b) Flugbahn des Drachenfliegers d: x = sin =,4 8, c) v = 4 m/s d: x = mit t in s v =,9 m/s und Flugdauer T = m 4 m / s = s 4 6 d) Flugbahn beim. Start d : x = mit t in s. Durch Einsetzen der Flugdauer T = m = m / s s erhält man den. Landepunkt Q ( 4 ) und PQ 8,6 m. e) Flugbahn des Flugzeugs f: x = 6 4 f) v = km/h = 7 m/s = d(t) = n = 4 7 (6a) + (a) + (a) a = f: x = 4 und d = mit t in s 94,7 m ( 44t) + ( ) + ( t) min bei t 6, s und d = 6, m (GTR) Aufgabe 9: Projektion auf eine Ebene a) PQ = 6 b) = 8, c) P ( ), Q (, ) P ' Q' = Aufgabe : Spiegelung und Reflektion an einer Ebene a) E: x + 4x + 6x = 4 d = 6 LE d) S(4 6 ) b) Normalenfußpunkt F(,,) Bildpunkt L (,,) 6 c) Lichtstrahl s: x =, mit r > reflektierter Lichtstrahl s : x =, mit r >. Für r, 6, = erhält man Q und für r = erhält man R Q s und R s. Aufgabe : Spiegelung an einer Geraden Hilfsebene E: x + x = Lotfußpunkt L( ) P ( ) 7

8 Aufgabe : Spiegelung an einer Geraden Spiegelung des Punktes P( ) g an f: Hilfsebene E: x + x = Lotfußpunkt L P ( ) P ( 4 ) Spiegelung des Punktes Q( ) g an f: Hilfsebene E: x + x = Lotfußpunkt L Q ( ) Q (4 ) Die gespiegelte Gerade geht durch P und Q, also g : x = OP ' P 'Q ' = 4 mit t. Aufgabe : Spiegelung an einem Punkt Spiegelung von P( ) g an Z ergibt P ( ). Spiegelung von Q( ) g an Z ergibt Q (6 ). Die gespiegelte Gerade geht durch P und Q, also g : x = OP ' P 'Q ' = mit t. Aufgabe 4: Spiegelung an einem Punkt Spiegelung von P( ) E an Z ergibt P (7 6 ). Spiegelung von Q( ) E an Z ergibt Q (4 6 ). Spiegelung von R( ) E an Z ergibt R ( 7 ). Die gespiegelte Ebene geht durch P, Q und R, also 7 E : x = OP ' P 'Q ' P ' R ' = 6 mit r, s. Aufgabe : Geschwindigkeiten, Reflektion a) Zeichnung () b) Ursprung O( ) in Lantau, Weg in m, Zeit in s, Geschwindigkeiten in m/s 4 km/h = m/s = v + + = v v = Partyjet g: x (t) = und B 77 h: y 4 (t) = gemeinsamer Normaleneinheitsvektor n = Abstand d = * 6 = 96, m. () 4 6 y x 6 t t + t () c) d(t) = ( ) = ( ) ( ) ( ) (GTR) Minimum zur Zeit t = 77, s mit Abstand d = 7, m () d) Die Yacht liegt in P( ), der Partyjet ist in Q( ) () gespiegelter Sonnenstrahl g : y 8 = () Der Neigungswinkel des eintreffenden Sonnenstrahls zur Senkrechten ist = 4. () Der Neigungswinkel des gespiegelten Sonnenstrahls zur Senkrechten ist 8 = cos ( ) cos (,4) 69,8 () Wegen Einfallswinkel = Ausfallwinkel ist dann der Neigungswinkel der Normalen des Kabinendaches zur α +α Senkrechten = = 7,4 = Neigungswinkel des Kabinendaches zur Waagrechten () 8