Aufgabe W3b/2007. Aufgabe W2b/2009

Transkript

1 8 Aufgaben im Dokument Aufgabe W1a/2004 Ein Körper besteht aus zwei quadratischen Pyramiden mit gemeinsamer Grundfläche. Die Skizze zeigt den Diagonalschnitt des Körpers. Gegeben sind: 12,4 52,8 Das Volumen der unteren Pyramide ist doppelt so groß wie das der oberen. Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers. Lösung: 748,5 Aufgabe W3b/2007 Der Achsenschnitt eines Zylinders ist ein Quadrat mit der Seitenlänge. Aus dem Zylinder wird ein Kegel mit halber Zylinderhöhe herausgearbeitet und oben aufgesetzt. Weisen Sie nach, dass die Oberfläche des neu entstandenen Körpers um 21. größer ist als die des Zylinders. Aufgabe W2b/2009 Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einer Halbkugel und einem Kegel. Es gilt: 60,0 (Flächeninhalt der gesamten Achsenschnittfläche) 5,4 (Radius der Halbkugel) 13,6 Berechnen Sie die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers. Lösung: 311,0

2 Aufgabe W4b/2009 Aus einem Würfel wurde eine quadratische Pyramide herausgearbeitet. Es gilt: " 2 Zeigen Sie, dass die Oberfläche des Restkörpers mit der Formel 4 #5$ 5% berechnet werden kann. Weisen Sie nach, dass gilt: &' ( 6 Aufgabe W2b/2011 Ein zylinderförmiges Gefäß hat eine kegelförmige und eine halbkugelförmige Vertiefung. Das Wasser reicht genau bis zur Spitze der kegelförmigen Vertiefung (siehe Achsenschnitt). Das Gefäß wird gedreht und auf die kegelförmige Vertiefung gestellt. Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass die Höhe des Wasserspiegels danach ) (. beträgt. Aufgabe W2a/2012 Ein oben offener Zylinder ist bis zum Rande mit Wasser gefüllt. Ein Kegel wird in das Wasser getaucht. Er steckt dann bis zu seiner halben Höhe im Zylinder (siehe Achsenschnitt). Bei diesem Vorgang laufen 210 ( Wasser aus. Es gilt: * + 10,0 (Innendurchmesser des Zylinders) + 12 (Höhe des Zylinders) Berechnen Sie den Abstand der Kegelspitze, zur Grundfläche des Zylinders. Wie viel Prozent des Kegelmantels stehen im Wasser? Lösung: Abstand " 4,0 Prozentualer Anteil des Mantels im Wasser: -%25,0%

3 Aufgabe W2b/2013 Die Skizze zeigt die Achsenschnitte eines Zylinders und eines Doppelkegels (zwei gleich große Kegel mit gemeinsamer Grundfläche). Die Schnittflächen der beiden Körper sind gleich große Quadrate mit einem Flächeninhalt von jeweils 36,0. Um wie viel Prozent unterscheiden sich die Oberflächen der beiden Körper? Lösung: -%5,8% 6,1% (5/20P) Aufgabe W2b/2015 Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem gleichschenkligen Dreiecksprisma und einem halben Kegel (siehe Grafik rechts). Es gilt: / 0/ 0 11, ( (Volumen des zusammengesetzten Körpers) Berechnen Sie die Gesamtlänge 4 des zusammengesetzten Körpers. Lösung: 4 23,66 (5/20P)

4 Lösung W1a/2004 Zur Beachtung: die Skizze zeigt den Diagonalschnitt, nicht den Parallelschnitt. Berechnung von über den und daraus. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung der Kantenlänge der quadratischen Grundfläche über. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung von über die Volumenformel. Berechnung von. Berechnung von über die Volumenformel. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung von und sowie ö. : 12,4 52,8 9,88 : 2 2 9,8819,76 : & '( ) *12,4 '9,88 Satz des Pythagoras *56,14567,5 : 2 : 2,,-. 0 : 0 13,97 0,5 7,0 : & '( 0 ) *12,4 '7,0 Satz des Pythagoras : 104,7610, ,79 7,5487,9 : ,9975,8 : 2 3; ,-7,8 2,,- 15,0 : & 9( 0 ) *15,0 97,0 Satz des Pythagoras 27416,55 : ,97 10,24286,10 : ,97 16,55462,40 : : : 9 286,109462,40748,5 Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers beträgt 748,5 ;<.

5 Lösung W3b/2007 Berechnung von =. Berechnung von >. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung Berechnung und >. Berechnung von BC. Berechnung der Oberflächendifferenz. =: = 0,5 D > : > 0,5 D : &= 9 E> *F0,5DG 9F0,5DG Satz des Pythagoras *0,5D & D D 2?@A :?@A 2H= 92H= 2H ( D) 92H D D 2H I D 9HD HD 9HD 2 HD?@A :?@A 2H= 2H D D HD > : > H= H D D 2 I HD 2 BC : BC J@A 92 > HD 92 I HD 2HD F19 2G KLMM : KLMM BC '?@A HD (19 2)' 2 HD HD ( 9 2)'2 HD HD F29 2'3G HD N 2'1O q.e.d. Lösung W2b/2009 Die Oberfläche des Körpers setzte sich zusammen aus der Oberfläche der Halbkugel, dem Mantel des Kegels sowie einem Kreisring mit dem äußeren Radius = C> und dem inneren Radius = >. Die Skizze ist ein Achsenschnitt, der gegebene Flächeninhalt P : ist also die Fläche eines Halbkreises mit dem Radius = C> und einem Dreieck mit der Grundseite 2 = > und der Höhe >. Berechnung von >. Berechnung von P Q0AREL mit Radius = C>. Berechnung von > aus der Differenz von und = C>. Berechnung von P KLSE.über die Differenz aus P : und P Q0AREL. Berechnung von = C> über die Flächenformel des Dreiecks. Berechnung von über den Satz des Pythagoras.

6 Berechnung der Oberfläche der Halbkugel. Berechnung der Mantelfläche des Kegels. Berechnung der Fläche des Kreisrings. Berechnung der Oberfläche des zusammengesetzten Körpers. P Q : P Q H= C> H 5,4 45,80 > : > '= C> 13,6'5,48,2 P KLSE : P KLSE P : 'P Q 60'45,8014,2 = > : P KLSE = C> C> : C> = > T UVWXWYZ I, [ \W] 8, : & > 9= > *8,2 91,73 Satz des Pythagoras 70,23298,38 Q : Q 4H= C> 2H 5,4 183,22 > : > H= E> H 1,73 8,3845,55 LL^> : LL^> HN= EC> '= E> OH F5,4 '1,73 G82,21 ö : ö Q 9 > 9 LL^> 183,22945,55982,21310,98 Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers beträgt 311 ;<. Lösung W4b/2009 Die Oberfläche des Körpers setzte sich zusammen aus fünf Seitenflächen des Würfels (die sechste Seitenfläche oben ist offen und damit nicht vorhanden) sowie dem Mantel der ausgearbeiteten Pyramide). Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung des Mantels der Pyramide. Berechnung der 5 Seitenflächen des Würfels. Berechnung der Oberfläche des Körpers. Berechnung der Diagonalen des Würfelquadrats und daraus. Bestimmung von über den Satz des Pythagoras. Bestimmung von ;_`. : & 9( 0 ) *F2DG 9D Satz des Pythagoras 5D D 5 a@ : a@ 2 2 2D D 5 4D 5 büma : büma 5 5 F2DG 20D : büma 9 a@ 20D 94D 54D F59 5G q.e.d. : 2 2D 2 D 2

7 : & 9( ) &F2DG 9ND 2O Satz des Pythagoras 4D 92D 6D D 6 ;_`: ;_` q.e.d Lösung W2b/2011 Benötigt wird zunächst das Volumen des Wassers im nicht gedrehten Zustand. Dieses Volumen ist dann gleichzusetzen mit dem Volumen, welches sich im gedrehten Zustand bei einer Wasserhöhe b ergibt. Für das Volumen des Wassers im nicht gedrehten Zustand berechnen wir: Volumen des Zylinders?@A bis zur Füllhöhe 4D. Volumen der Halbkugel Q mit Radius D. Volumen des Wassers b aus der Differenz von?@a und Q. Für den gedrehten Zustand berechnen wir: Volumen des Zylinders?@A] bis zur Füllhöhe b. Berechnung von E>. Berechnung des Volumens des Kegels > mit Radius D und Höhe >. Berechnung des Volumens des Wassers b]. Gleichsetzung von b] und b. Berechnung der Höhe des Wasserstandes b im gedrehten Zustand.?@A :?@A H= H D 4D 4HD 2 Q : Q I 2 H=2 2 H D2 b : b?@a ' Q 4HD 2 ' 2 HD 2 HD2 ' 2 HD2 e 2 HD2?@A] :?@A] H= f HD f > : > = > D Wegen 90 Spitzenwinkel des Kegels > : > 2 H= > 2 H D D 2 HD 2 b] : b] b?@a] ' > e 2 HD2 HD f ' 2 HD HD 2 2 HD2 HD f :HD f D 2 q.e.d.

8 Lösung W2a/2012 Durch das Eintauchen der Kegelspitze gehen 210 ;< 2 Wasser verloren, also muss das Volumen der eingetauchten Kegelspitze gleich groß sein. Berechnung von =. Berechnung von > über die Volumenformel des Kegels. Berechnung des Abstandes der Kegelspitze zur Grundfläche aus der Differenz von? und >. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung des Mantels der eingetauchten Kegelspitze über die Mantelformel des Zylinders. Berechnung von >. Berechnung von = über den 2. Strahlensatz. Berechnung von über den 1. Strahlensatz. Berechnung des Mantels des gesamten Kegels über die Mantelformel des Kegels. Berechnung des Anteils der Mantelfläche des eingetauchten Kegels zur Gesamtmantelfläche. = : =? 105 > : > H= 2 > > 3; FH = > G > 2 6 \W] g 2 e 8,0 \W] g 7 :? ' > 12'8,04 Der Abstand der Kegelspitze h zur Grundfläche beträgt 4 ;<. : &= 9 > Satz des Pythagoras 9,43 > : > H= > H 5 9,43148,13 > : > > 8 gemäß Aufgabenstellung = : : [ \W] i[ \W] = [ \W] [ \W] [ \W] [ \W] N > 9 > O N > 9 > O > [ >,,I2 89,43 \W] 8 > : > H = > F 9 GH 10 18,86592,50 j %: j % l \W] m \W] 100 I8, 2 7,,7e % Der prozentuale Anteil des Mantels im Wasser von der Gesamtmantelfläche des Kegels beträgt 25 %.

9 Lösung W2b/2013 Die nebenstehende Skizze zeigt links den Achsenschnitt durch den Zylinder und rechts den durch den Doppelkegel. Die Schnittflächen sind nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit 36 ;< Fläche, somit sind alle Kanten der beiden Schnittflächen 6 ;< lang. Die Oberfläche des Zylinders errechnen wir über die Formel?@A 2H= J 92H = J J. Die Oberfläche des Doppelkegels entspricht zweimal der Mantelfläche eines Kegels. Die Mantelfläche eines Kegels errechnet sich über >A H = E. Hierzu benötigen wir noch =, welches über den Satz des Pythagoras errechnet werden kann. Nach Berechnung der beiden Oberflächen bilden wir das prozentuale Verhältnis. Da aus der Aufgabenstellung nicht klar hervorgeht, welche der beiden Oberflächen als Grundwert genommen werden soll, berechnen wir sowohl als auch. : P ncs[^loo 36 6 ;<?@A :?@A 2H= J 92H = J J 2H ( 0 ) 92H 0?@A 2 H 36169,65 ;< K : K 2 >A >A : >A H = E = E : = 9= 2= E = 0 g0 9H 2 H = & 0 &2. 4,2426 >A H 4, ,97 K 2 79,97159,94 ;< Oberfläche Zylinder als Grundwert: j % m U\ 7,,,I 10094,28 % p qrs.,,.7 Die Oberfläche des Doppelkegels ist etwa 5,8 % kleiner als die des Zylinders. Oberfläche Doppelkegel als Grundwert: j % p qrs.,, ,1 % m U\ 7,,,I Die Oberfläche des Zylinders ist etwa 6,1 % größer als die des Doppelkegels.

10 Lösung W2b/2015 Das gegebene Volumen ö 1280 ;< 2 setzt sich zusammen aus dem Volumen des Dreiecksprismas zuzüglich des Volumens des Halbkegels. Der Radius = > ist gleich der halben Länge der Kante. Die Höhe 0 zur Berechnung des Volumens des Dreiecksprismas ermitteln wir über den tu. Die Höhe des Dreiecksprismas ergibt sich aus v' = >. Zur Berechnung des Volumens des Halbkegels ist > 0. Alle erforderlichen Werte sind nun bekannt, wir stellen die Formel für das Gesamtvolumen auf und lösen die Formel nach v auf. ö Nv'= > O9 H =. > > = > : = > 0 5,7 0 : tu [ x x tu 5,7 t62 10,72 > : > 0 Alle Unbekannten sind nun bekannt. v:. H 5,7 10, ,104 Fv'5,7G9182, '182, ,104 Fv'5,7G1097,6343 :61,104 v'5,717, ,7 v 23,66 Die Gesamtlänge von v beträgt 23,66 ;<.