Raumgeometrie WORTSCHATZ 1

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1 Raumgeometrie WORTSCHATZ 1 Video zur Raumgeometrie : VOKABEL : eine Angabe ; angeben ; was angegeben ist : ce qui est donné (les données) eine Annahme ; annehmen ; was angenommen ist : ce qui est supposé (les hypothèses) angegegen ist. / angenommen ist. / gesucht ist /. Wie man Ergbenisse u. Formel vorstellt : lauten : s'énoncer es lautet so : cela s'énonce ainsi ; der Satz des Pythagoras lautet so :... gelten / es gilt : «valoir» au sens de être vrai, valable es gilt die folgende Formel : la formule suivante est valable / on a la formule die folgenden Eigenschaften gelten : les pptés suivantes sont vraies ergeben : donner en tant que résultat ; avoir pour résultat es ergibt sich (die folgende Sache) : cela donne / il arrive (la chose suivante) das Ergebnis ; ein Ergebnis erhalten : obtenir un résultat betragen : avoir pour valeur, mesurer au sens de «avoir comme mesure» das Volumen beträgt 1 Liter : le volule mesure 1 litre Die Strecke beträgt 2cm Die Strecke misst 2cm messen, vermessen : mesurer au sens de «réaliser une mesure» (ich maβ / ich habe gemessen) Leo hat die Strecke mit seinem Lineal gemessen. Das Ergebnis ist 2cm. das Maβ la mesure das Verhältnis : la proportion / le rapport ein Verhältnis von 1 zu 3 (un rapport de 1 à 3) «a verhält sich zu b wie 3 zu 5». Das bedeutet dass, a / b = 3 / 5 das Prozent / um t% steigen oder zunehmen / um t% fallen oder abnehmen der Strahlensatz : le théorème de Thalès nach dem Strahlensatz sind die folgenden Verhältnisse gleich : d'après le thm de Thalès

2 Übung 1: Der Erdradius beträgt etwa 6370 km. Ungefähr 71 Prozent der Erdoberfläche sind mit Wasser bedeckt. Berechne den Flächeninhalt der Landmasse (in km 2 ). Raumgeometrie Lösungen 2 Wie muss man die Lösung vorstellen? Folgende Punkte beantworten : - Welche Form hat die Erde? - Gibt es eine Formel für die Oberfläche? - Prozent Rechnung : was ist angegeben? (die Angabe mit eigenen Worten formulieren) was ist gesucht? (die Frage mit eigenen Worten stellen) wie lautet der Anteil der Landfläche an der Erdefläche? Wie viel Prozent der Erdefläche..

3 RaumGeometrie Lösungen 3 Übung 1: Der Erdradius beträgt etwa 6370 km. Ungefähr 71 Prozent der Erdoberfläche sind mit Wasser bedeckt. Berechne den Flächeninhalt der Landmasse (in km 2 ). Wir nehmen an, dass die Erde die Form einer Kugel hat. (Wir nehmen an, dass die Erde kugelförmig ist.) Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet: F = 4 π r 2 (Nach der Formel für die Oberfläche gilt:..) Mit einem Radius von 6370 km, ergibt sich für die Oberfläche der Erde: F Erde = 4 π (6370) 2 509, (km2) Also, die Oberfläche der Erde beträgt etwa 510 Millionen km2 Gegeben ist, dass etwa 71% der Oberfläche der Erde mit Wasser bedeckt ist. Das heiβt, dass etwa 29% der Oberfläche der Erde mit Land bedeckt ist. Wir bezeichnen mit F Land den Flächeninhalt der Landmasse (in km2) So gilt: F Land = 29%F Erde = 0,29F Erde 148Millionen km2

4 Raumgeometrie Lösungen : Übung 2 4 Übung 2: Eine Geburtstagstorte hat die Form einer Halbkugel mit dem Durchmesser 30 cm. a) Berechne das Volumen der Torte. b) Die Torte wurde mit einer Marzipanschicht überzogen. Wie viel cm 2 Marzipanschicht wurde zur Herstellung benötigt? Sich folgenden Fragen stellen : a) Worum geht es? Es handelt sich, um... Welche Formel können wir verwenden? In welcher Einheit werden wir das Ergebnis erhalten? b) Es handelt sich jetzt, um... Mit Hilfe welcher Formel können wir das berechnen?

5 Raumgeometrie Lösungen : Übung 2 5 Übung 2: Eine Geburtstagstorte hat die Form einer Halbkugel mit dem Durchmesser 30 cm. a) Berechne das Volumen der Torte. b) Die Torte wurde mit einer Marzipanschicht überzogen. Wie viel cm 2 Marzipanschicht wurde zur Herstellung benötigt? a) Benennen wir V das Volumen der Torte / Wir bezeichnen mit V das Volumen... Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet so : V Kugel = 4/3.π.R 3 wobei R den Radius bezeichnet Die Torte ist eine Halbkugel ; so ist ihr Volumen die Hälfte des Volumens einer Kugel mit Radius 15 cm : V Torte = 2/3.π.R 3 = 2/3.π.(15) cm3. Das Volumen muss man in Liter angeben. 1 Liter entspricht / ist gleich 1000cm3. Es ergibt sich also : V Torte 7,065 l 7,1 l b) In dieser Frage müssen wir jetzt die Oberfläche der Torte berechnen. Dafür benutzen / verwenden wir die Formel für die Oberfläche einer Kugel : F Kugel = 4π.(R) 2 Da wir nur eine halbe Kugel haben, erhalten wir : F Torte = 2π.(15) 2... in cm2

6 Raumgeometrie Lösungen : Übung 2 6 Übung 2: Eine Geburtstagstorte hat die Form einer Halbkugel mit dem Durchmesser 30 cm. c) 200g Schokolade wurden für diese Torte verbraucht. Wie viel Schokolade braucht man, um eine halbkugelförmige Torte mit einem kleineren Durchmesser von 20cm zu backen? 200g Scholokade wurden für die groβe Torte mit einem Radius von 15 cm verbraucht. Also, man braucht 200g Scholokade für ein Volumen von 7,1 Liter. Die Menge s der Scholokade für 1 Liter der Torte ist also gleich : s = 200g / 7,1 Liter = 28,2 g/l Die kleine Torte hat ein Volumen von : F 2 = 2/3.π cm3 2,1 l Für die kleine Torte werden also 28,2 mal 2,1 g Schokolade verbraucht. Das macht nur etwa 60g Schololade. Das Verhältnis 2 zu 3 der Radien ist nicht das selbe wie das Verhältnis der Volumen! In der Formel des Volumens wird der Radius zur dritten Potenz erhebt

7 Raumgeometrie Lösungen : : Übung 3 7 Übung 3: Im Sommer schmilzt das Eis sehr schnell. Ist die Waffel gross genug, um das geschmolzene Eis der Kugel aufzunehmen? Die Waffel hat die Form eines Kegels, dessen Radius 2cm beträgt und dessen Höhe 10cm beträgt. Das Eis besteht aus einer einzigen Kugel mit dem selben Radius r wie der Kegel. So gilt : r = MB = 2 cm ; h = SM = 10 cm Die Frage ist, ob das Volumens des Eises kleiner als das Volumen der Waffel ist. Wir müssen beide Volumen berechnen, dann vergleichen. Das Eis ist eine Kugel mit Radius 2cm. Also ist ihr Volumen gleich.. Die Waffel ist kegelförmig. Wie lautet die Formel des Volumens eines Kegels? Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis mit Radius Daraus folgt das Volumen der Waffel: V Waffel = 1/3 G h =.. Es ergibt sich, dass das Volumen... Daraus schliessen wir, dass

8 Übung 4: Ein Coktail Glas hat die Form eines Kreiskegels. Das Glas ist bis zur halben Höhe mit leckerem saft gefüllt. Ist das Glas (bezogen auf das Volumen) auch tatsächlich halb voll? Höhe des Kegels : h = SM = 5 cm ; Durchmesser des Kreises : EF = 8cm Raumgeometrie Lösungen : : Übung 4 8 Das Glas ist bis zur Hälfte der Höhe gefüllt. Wir müssen das Volumen des Glases mit dem Volumen der Saft vergleichen. Das Volumen des Glases können wir unmittelbar berechnen, mit Hilfe der Formel : V Glas =.. Der Teil des Glases mit Saft hat auch die Form eines Kegels. Wir kennen nicht den Radius r dieses kleinen Kegels. (Aber der Radius r des kleinen Kegels ist unbekannt.) (Dieser Radius ist nicht angegeben, sondern er kann berechnet werden.) Dafür verwenden wir den Strahlensatz in der folgenden Figur :. Es ergibt sich : r =... Daraus folgt / Daraus kommt / Jetzt können wir das Volumen ergeben : V Saft =...

9 Raumgeometrie Lösungen : : Übung 7 9 Übung 7 : a) Eine Badewanne hat die Form eines Zylinder, mit Höhe 70cm und Radius 60cm. Berechnen Sie den Rauminhalt der Badewanne. b) Aus dem Wasserhahn der Badewanne tropft alle10 Sekunden ein kugelförmiger Wassertropfen mit dem Durchmesser 2mm.Wie viel Liter werden dadurch in einem Jahr verschwendet? c) Würde diese Wassermenge für ein Vollbad reichnen? Wir nehmen an, dass ein Vollbad ungefähr dreiviertel des Volumens der Badewanne beträgt. a) Die Formel des Volumens eines Zylinder lautet so : V = G*h, wo G die Grundfläche und h die Höhe sind. Die Grundfläche der Badewanne ist ein Kreis mit Radius r = 60cm. Dann G beträgt 1/2π*r^2 = 1/2π*(60)^ cm2 (in quadratzentimeter) Es ergibt sich für das Volumen der Badewanne : V * cm3 (in kubikzentimeter) Wir setzen diesen Wert in Liter: 1L = 1dm3 = (10cm)^3 = 1000 cm3 So erhalten wir : V l (der Wert wurde auf eins gerundet) b) Alle 10 Sekunden tropt eine Wasserkugel ; in einer Minute tropfen also 6 Wasserkugeln. Die Anzahl N der Wassertropfen, die in einem Jahr verschwendet sind, kann man so berechnen: N = 365*24*60*6 = (Anzahl der Tagen in einem Jahr mal Anzahl der Minuten in einem Tag usw.) Das Volumen einer einzelnen Wasserkugel, mit Radius 1cm, beträgt (in Kubikzentimetern dann Liter) : v = 4/3 π*(1cm)^3 4,2 cm3 0,0042 l Gesamtvolumen aller Wasserkugeln beträgt also : V 2 = N * v = * 0, l (auf eins gerundet) Jetzt können wir diesen Wert mit dem Volumen eines Vollbad vergleichen : Volumen eines Vollbad : V 3 = 3/4V l Das ist viel kleiner als die Wassermenge der Tropfen! Die verschwendete Wassermenge würde für etwa 22 Vollbade reichnen : /594 22

10 Raumgeometrie Lösungen : : Übung 8 10 Übung 8 : Wie weit muss ein Raumschiff von der Erde weg sein, damit der Astronaut die Erde und den Mond gleich groß sieht? Angegeben sind : der Radius der Erde : R = km ; der Radius des Mondes : r = km der Abstand A des Mondes von der Erde beträgt ca. A = km. (der Abstand zwischen zwei Kugeln ist der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten). A E B M S Der Raumschiff wird mit einem Punkt S dargestellt. Der Mittelpunkt der Erde wird mit E bezeichnet, der Mittelpunkt des Mondes mit M. Gesucht ist x der Abstand des Punktes S von der Oberfläche der Erde. SE = x + R Wir benennen A den Kontaktpunkt des Kreises um E mit dem oberen Strahl (dieser Strahl stellt den Blick des Astronauts dar). Das selbe mit B und dem Kreis um M. Da die beiden Kreise tangent an diesem Strahl sind, sind die Strecke [AE] und [EBM] parallel zueinander. Wir können jetzt den Strahlensatz benutzen. Nach diesem Satz sind die folgenden Verhältnisse gleich : AE / BM = SE / SM SE und SM kann man in Abhängigkeit von x bestimmen: SE = x + R ; SM = SE A Daraus folgt eine Gleichung auf x : AE / BM = SE / SM <=> R / r = (x + R) / (x + R A) <=> r(x+r) = R(x+R-A) <=> x(r-r) = R(A + r R) <=> 4640 x = 6378 * <=> x = km