Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene. Schrägbild

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1 Mathematik Bl Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene Schrägbild Das Bild bei einer schrägen Parallelprojektion heisst Schrägbild und wird durch folgende Merkmale bestimmt: - Zur Zeichenebene parallele Kanten des Körpers werden als unverkürzte Strecken gezeichnet. - Zur Bildebene senkrechte Kanten des Körpers werden als Strecken unter einem festen Verzerrungswinkel zur Waagerechten und um einen festen Faktor (k) verkürzt gezeichnet. Winkel und Verkürzungsfaktor hängen von der Richtung ab, aus der projiziert wird. Dreitafelprojektion Bei der Dreitafelprojektion werden die Punkte eines Körpers senkrecht auf drei Flächen projiziert. Die Flächen stehen dabei jeweils senkrecht aufeinander. Meist beschränkt man sich dabei auf Eck- und Kantenpunkte, sowie den Umriss des Projektionsbildes. Die Dreitafelprojektion stellt bei Einzeichnung der verdeckten Kanten in der Regel eine eineindeutige Abbildung dar, d.h. hier lässt sich der Körper eindeutig aus seiner Projektion rekonstruieren. Eine sehr häufig verwendete Form des Schrägbilds ist die Kavaliersperspektive. Kanten, die parallel zur Bildebene liegen, werden in wahrer Grösse, Kanten, die senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden unter einem Winkel von 45 und um die Hälfte verkürzt gezeichnet. Abwicklung Eine Abwicklung entsteht, indem ein Körper entlang einiger Kanten aufgeschnitten wird, so dass die Seitenflächen in die Ebene ausgelegt werden können. Es entsteht ein Bastelbogen für die Figur. Polyedernetz Ein Polyedernetz erhält man, indem eine Fläche entfernt und das nun offene Gebilde flach in die Ebene ausgebreitet wird. Die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen bleiben gleich, wenn die entfernte Fläche der Aussenfläche, quasi "unendlichen" Fläche zugeordnet wird. Beispiel: Polyedernetz des Würfels

2 Reguläre Polyeder (platonische Polyeder) Ein Polyeder heisst regulär, wenn alle seine Oberflächen aus demselben regelmässigen Vieleck bestehen und in jeder Ecke gleich viele dieser Vielecke zusammenstoßen. Spätestens seit Platon ist bekannt, dass es nur genau fünf reguläre konvexe Polyeder gibt: Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder Halbreguläre Polyeder (archimedische Polyeder) Ein Polyeder heisst halbregulär oder semiregulär, wenn alle seine Oberflächen aus regelmässigen Vielecken (eventuell unterschiedlicher Eckenzahl) bestehen, und jede Ecke des Polyeders durch eine seiner Symmetrieoperationen auf jede andere Ecke abgebildet werden kann. Neben den Prismen, Antiprismen und platonischen Polyedern gibt 13 archimedische Polyeder. Diese archimedischen Polyeder entstehen, indem man bei den regulären Polyedern in geeigneter Weise Ecken wegschneidet. Beispiel 1: Ein Ikosaederstumpf ( Fussball ) entsteht, indem man einem Ikosaeder alle Ecken wegschneidet. Beispiel 2: Ein Hexaderstumpf entsteht, indem man einem Würfel wie beim Ikosaeder alle Ecken wegschneidet Beispiel 3: Ein Kuboktaeder entsteht, indem man die Kantenmitten eines Würfels als Eckpunkte eines neuen Polyeders betrachtet. 2

3 Polyedersatz von Euler E K F Tetraeder Bestimme die Anzahl Ecken (E), Kanten (K) und Flächen (F) der angegebenen Polyeder und trage die Zahlen in der Tabelle ein Hexaeder Oktaeder Es gibt einen Zusammenhang zwischen der Anzahl Ecken, Kanten und Flächen eines Polyeders: Dodekaeder Ikosaeder E.. K.. F =... Kuboktaeder (Polyedersatz von Euler) Ikosaederstumpf 5-seitige Pyramide Formeln zur Volumenberechnung Prisma: V = Grundfläche h Pyramide: V 1 = Grundfläche h 3 Kreiszylinder: Kreiskegel: Kugel: Oberfläche: O = 4πr 2 3

4 Prinzip von Cavalieri Liegen zwei Körper zwischen zueinander parallelen Ebenen E 1 und E 2 und werden sie von jeder zu E 1 parallelen Ebene E' so geschnitten, dass gleich grosse Schnittflächen entstehen, so haben die Körper gleiche Volumen. Aufgabe: Berechne Volumen und Oberfläche eines Zylinders, einer Halbkugel und eines Kreiskegels, welche alle gleich hoch sind und die gleiche Grundfläche, ein Kreis mit dem Radius r, besitzen. Vergleiche die Ergebnisse. Die Kugel Definition: Die Kugelfläche (Sphäre) ist die Menge aller Punkte im dreidimensionalen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel. 4

5 Aufgaben Darstellung räumlicher Figuren 1. Stelle für die nebenstehenden Polyeder die Dreitafelprojektion, die Abwicklung und das Gitternetz dar 2. Zeichne ein Schrägbild des Körpers, von dem die Abwicklung gegeben ist (siehe Skizze rechts), und berechne sein Volumen und die gesamte Kantenlänge. 3. Bestimme für die Körper aus Aufgaben 1) und 2) die Anzahl der Ecken, der Kanten und der Flächen. Gibt es einen Zusammenhang zwischen diesen Zahlen? 4. Welches ist der kürzeste Weg auf dem Würfel, wenn man vom Punkt A (Mittelpunkt der vorderen Seitenfläche) zum Punkt B (Eckpunkt hinten) gelangen will. Wähle eine geeignete Darstellung für den Würfel. Zeichne im Würfel den kürzesten Weg ein und berechne die Länge des Weges, wenn die Kantenlänge des Würfels a = 2 beträgt. A B Volumenberechnungen 5. Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt der nebenstehenden Figur (ein Kreiszylinder mit quadratischem Loch, die Quadratseite ist gleich lang wie der Kreisradius r). Kreisradius r = 5 cm, Höhe h = 20 cm 6. Ein Sektglas mit einem 10,6 cm hohen kegelförmigen Kelch fasst insgesamt 277,5 cm 3 (=2,775 dl). a) Berechne den Radius der oberen Glasöffnung b) Wie viel des Getränkes enthält das Glas, wenn es nur bis zur halben Höhe gefüllt ist? 7. Der abgebildete Körper besteht aus drei Metallplatten von 5 cm Dicke und aus zwei Metallstützen, deren Querschnitt ein Quadrat mit Seitenlänge 4 cm ist. Berechne das Volumen in dm 3. 5

6 Verschiedene Aufgaben 8. Es liegen zwei kongruente, quadratische Stücke Papier mit der Kantenlänge s vor. a) Aus dem einen wird der Mantel eines Zylinders geformt, berechne sein Volumen. b) Aus dem andern wird ein möglichst grosser Viertelkreis ausgeschnitten und daraus der Mantel eines Kegels gebildet. Berechne das Volumen dieses Kegels. s s 9. Gegeben ist ein Tetraeder. a) Zeichne ein Polyedernetz des Tetraeders. b) Die Mittelpunkte der Tetraederkanten bilden nun die Ecken eines neuen Polyeders. Um was für ein Polyeder handelt es sich? c) Welches Volumen hat dieses neue Polyeder, wenn das gegebene Tetraeder ein Volumen von 560 cm 3 aufweist? 6

7 10. Zeichne ein Schrägbild und konstruiere eine genaue Dreitafelprojektion dieses Körpers, dessen Abwicklung gegeben ist. 7