Polyeder und Platonische Körper

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1 Polyeder und Platonische Körper Ausarbeitung zum Linus Leopold Boes Matrikelnummer: Algorithmen für planare Graphen Institut für Informatik HHU Düsseldorf

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Leitfaden Polyeder Definition Gerüstgraphen von konvexen Polyedern Platonische Körper Reguläre Polyeder aus Dreiecken Tetraeder Oktaeder Ikosaeder Reguläre Polyeder aus sechs oder mehr Dreiecken Hexaeder (Würfel) Reguläre Polyeder aus vier oder mehr Quadraten Reguläre Polyeder aus Pentagonen Dodekaeder Reguläre Polyeder aus vier oder mehr Pentagonen Reguläre Polyeder aus Polygonen mit sechs oder mehr Ecken Beschränktheit Weitere Eigenschaften von platonischen Körpern Literatur 14 2

3 1 Einleitung 1.1 Leitfaden In dieser Ausarbeitung befassen wir uns mit Polyedern, also durch ebene Flächenstücke berandete Körper, und dessen Eigenschaften. Wir werden zunächst in Kapitel 2 den Begriff Polyeder definieren, dann die Eigenschaft Konvexität kennenlernen, um anschließend herzuleiten, wie man das Kantengerüst eines konvexen Polyeders auf einen planaren Graphen abbildet. Nachdem wir dann Kapitel 3 die platonischen Körper kennenlernen, welche aus regulären Polygonen bestehen, werden wir beweisen, dass es genau fünf dieser Art gibt. Abschließend werden kurz auf die Eigenschaften Dualität und Symmetrie eingegangen. 2 Polyeder 2.1 Definition Definition 2.1 (Polyeder). Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, welcher ausschließlich von ebenen Flächenstücken begrenzt wird. Anschaulich ist also ein Polyeder jeder geschlossene Körper, welcher keine gewölbte Fläche besitzt. Beispiele hierfür sind Würfel, Quader und Pyramiden. Abbildung 1: Beispiele für Polyeder Im Gegensatz dazu sind beispielsweise Kugeln und Zylinder keine Polyeder, da sie gewölbte Flächenstücke besitzen. 3

4 Abbildung 2: Beispiele für keine Polyeder Definition 2.2 (Konvexität). Wir nennen ein Polyeder konvex, falls es keine zwei Punkte innerhalb des Polyeders gibt, welche nicht durch eine Strecke verbunden sind, die ebenfalls komplett innerhalb des Polyeders verläuft. Abbildung 3: Beispiele für konvexe Polyeder Konvexe Polyeder besitzen insbesondere ähnlich wie konvexe Polygone keine Löcher oder Dellen. Anschaulich stelle man sich vor, man umschließe ein gegebenes Polyeder mit einem elastischen Luftballon. Wenn er sich perfekt an das Polyeder anschmiegt, ist dieses konvex. Abbildung 4: Beispiele für nicht konvexe Polyeder In dieser Arbeit werden nur konvexe Polyeder betrachtet. 4

5 2.2 Gerüstgraphen von konvexen Polyedern Um näher auf kombinatorische Eigenschaften von konvexen Polyedern einzugehen, wollen wir das Kantengerüst eines konvexen Polyeders als 2-dimensionalen, planaren Graphen darstellen. Hierfür umschließen wir das Polyeder mit der kleinstmöglichen Umkugel und bilden vom Mittelpunkt der Kugel jeden Knoten und jede Kante auf die Oberfläche der Kugel ab. Im zweiten Schritt wählen wir einen Punkt auf der Kugel, welcher auf keiner Kante bzw. auf keinem Knoten des Graphen liegt und bilden von dort aus mittels stereographischer Projektion die Kugeloberfläche auf die Ebene ab. Den hieraus entstandenen 2-dimensionalen Graphen nennen wir Gerüstgraph eines Polyeders. Theorem 2.3. Der Gerüstgraph eines konvexen Polyeders ist planar. Beweis. Bei der stereographischer Projektion im zweiten Schritt bilden wir von einem Punkt ab, welcher weder Knoten des Kantengerüsts ist, noch auf einer Kante des Kantengerüsts liegt. Der Rest der Kugeloberfläche wird nur verzerrt, wobei keine neuen Kantenkreuzungen entstehen können. Somit muss der Gerüstgraph planar sein, falls der Graph auf der Kugeloberfläche bereits planar ist. Ebenso wissen wir jedoch auch, dass die kleinstmögliche, umschließende Kugel ihren Mittelpunkt innerhalb des Polyeders hat. Wäre dem nicht so, wäre das Polyeder entweder nicht konvex oder das Polyeder befände sich komplett in einer Halbkugel. In letzterem Fall wäre die umschließende Kugel nicht kleinstmöglich. Da also der Mittelpunkt der Kugel innerhalb des Polyeders liegt und dieses konvex ist, können bei einer Projektion auf die Kugel niemals zwei Kanten übereinander liegen. Somit muss der Graph planar sein. Anschaulich können wir uns die beiden Projektionen folgendermaßen vorstellen. Im ersten Schritt umschließen wir das Polyeder wieder mit einem elastischen Luftballon. Da das Polyeder nach unserer Vorraussetzung konvex ist, wird sich der Ballon perfekt an das Kantengerüst anpassen. Wenn wir nun die Kanten auf der Ballonoberfläche nachzeichnen, werden sich offensichtlich keine Kanten überschneiden. Wenn wir nun den Ballon zu einer Kugel aufblähen wird sich zwar das Kantengerüst auf der Oberfläche verzerren, aber es können keine Kanten gekreuzt oder getrennt werden. Abbildung 5: Zentralprojektion des Kantengerüsts eines Würfels auf Kugeloberfläche 5

6 Im zweiten Schritt suchen wir uns nun einen Punkt auf der Ballonoberfläche, welcher weder auf einer Kante, noch auf einem Knoten liegt. An diesem Punkt stechen wir ein Loch in den Ballon und dehnen ihn von dort aus so weit aus, bis er sich der Ebene angepasst hat. Auch hier wird dieser nun verzerrt, aber es können wieder keine Kanten gekreuzt oder getrennt werden. Abbildung 6: Stereographische Projektion des Kantengerüsts auf die Ebene Somit muss der so entstandene Graph des Kantengerüsts planar sein. Definition 2.4 (Polyedrische Graphen). Wir nennen einen Graphen polyedrisch, falls er isomorph zum Gerüstgraphen eines Polyeders ist. Bemerkung 2.5. Ein Graph ist genau dann polyedrisch, wenn er planar und 3-zusammenhängend ist. Definition 2.6 (Reguläre Polyeder). Wir nennen ein Polyeder regulär, falls es aus kongruenten regelmäßigen Polygonen besteht und an jeder Ecke die gleichen Winkel auftreten. Diese Körper bezeichnen wir auch als platonische Körper. Da an jeder Ecke eines regulären Polyeders die gleichen Winkel auftreten und ein Polyeder geschlossen ist folgt sofort folgendes Lemma. Lemma 2.7. Ein reguläres Polyeder ist konvex und lässt sich folglich als planarer Gerüstgraph darstellen. 3 Platonische Körper In diesem Abschnitt werden wir uns zunächst bestimmte Polyeder anschauen, welche die Eigenschaften der Regularität erfüllen und somit platonische Körper sind. Wir wollen zunächst einmal versuchen einige solcher Körper herzuleiten. Dies versuchen wir zunächst durch systematisches Testen der Möglichkeiten. Jedes reguläre Polygon besitzt mindestens drei Ecken und an jeder Ecke treffen sich mindestens drei Polygone. 6

7 3.1 Reguläre Polyeder aus Dreiecken Tetraeder Durch das zusammensetzen von jeweils drei regulären Dreiecken an jeder Ecke können wir ein Polyeder konstruieren. Dieses nennen wir Tetraeder. Abbildung 7: Konstruktion des Tetraeder mit entsprechendem Gerüstgraphen Oktaeder Durch das zusammensetzen von jeweils vier regulären Dreiecken an jeder Ecke können wir ein Polyeder konstruieren. Dieses nennen wir Oktaeder. Abbildung 8: Konstruktion des Oktaeder mit entsprechendem Gerüstgraphen Ikosaeder Durch das zusammensetzen von jeweils fünf regulären Dreiecken an jeder Ecke können wir ein Polyeder konstruieren. Dieses nennen wir Ikosaeder. 7

8 Abbildung 9: Konstruktion des Ikosaeder mit entsprechendem Gerüstgraphen Reguläre Polyeder aus sechs oder mehr Dreiecken Fügen wir nun sechs reguläre Dreiecke an jeder Ecke zusammen, haben diese eine Winkelsumme von 360. Da in einem regulären Polyeder jede Ecke gleich aussieht, konstruieren wir hieraus also eine unendlich große Fläche aus unendlich vielen Dreiecken und insbesondere keinen Körper. Abbildung 10: Konstruktion einer unendlichen Fläche aus je sechs reguären Dreiecken Mehr als sechs Dreiecke lassen sich erst gar nicht zu einer Ecke zusammensetzen, da die Winkelsumme bereits mehr als 360 beträgt. Somit kann es also kein reguläres Polyeder, bestehend aus Dreiecken geben, bei dem sich an jeder Ecke mehr als fünf Flächen berühren. 3.2 Hexaeder (Würfel) Durch das zusammensetzen von jeweils drei kongruenten Quadraten an jeder Ecke können wir ein Polyeder konstruieren. Dieses nennen wir Hexaeder oder auch Würfel. 8

9 Abbildung 11: Konstruktion des Hexaeder mit entsprechendem Gerüstgraphen Reguläre Polyeder aus vier oder mehr Quadraten Analog zu dem Versuch Poyeder aus sechs oder mehr Dreiecken zusammenzusetzen, ist es nicht möglich ein Polyeder aus vier oder mehr kongruenten Quadraten zusammenzusetzen, da bereits vier Quadrate eine Winkelsumme von 360 besitzen. Hieraus kann offensichtlich kein geschlossener Körper gebildet werden. Abbildung 12: Konstruktion einer unendlichen Fläche aus je vier kongruenten Quadraten 3.3 Reguläre Polyeder aus Pentagonen Dodekaeder Durch das zusammensetzen von jeweils drei regulären Pentagonen an jeder Ecke können wir ein Polyeder konstruieren. Dieses nennen wir Dodekaeder. 9

10 Abbildung 13: Konstruktion des Dodekaeder mit entsprechendem Gerüstgraphen Reguläre Polyeder aus vier oder mehr Pentagonen Analog zu dem Versuch Poyeder aus sechs oder mehr Dreiecken zusammenzusetzen, ist es nicht möglich ein Polyeder aus vier oder mehr regulären Pentagonen zusammenzusetzen, da bereits vier Pentagonen eine Winkelsumme von über 360 besitzen. Hieraus kann offensichtlich kein geschlossener Körper gebildet werden. 3.4 Reguläre Polyeder aus Polygonen mit sechs oder mehr Ecken Aus regulären Polygonen mit sechs oder mehr Ecken lassen sich keine Polyeder konstruieren. Wir erinnern uns, dass sich an jeder Ecke mindestens drei Flächen treffen müssen. Da jedoch bereits in einem regulären Hexagon jede Ecke einen Winkel von 120 besitzt, wird sich auch hier niemals ein geschlossener Körper bilden können. Bei mehr als sechs Ecken wächst die Innenwinkelsumme und somit auch der Winkel der einzelnen Ecke, da das Polygon nach Vorraussetzung regulär ist. Abbildung 14: Konstruktionsversuch eines Polyeders aus regulären Polygonen mit mehr als fünf Ecken Es lassen sich also keine regulären Polyeder aus Polygonen mit mehr als fünf Ecken konstruieren. 10

11 3.5 Beschränktheit Aus obiger Konstruktion ergibt sich folgender Satz. Theorem 3.1 (Platonische Körper). Es gibt genau 5 konvexe regelmäßige Polygone, welche wir als platonische Körper bezeichnen. Obwohl die Herleitung der platonischen Körper schon ausreichen sollte um einzusehen, dass es genau fünf reguläre Polyeder gibt, wollen wir uns dennoch einen etwas theoretischeren Beweis anschauen. In diesem betrachten wir nicht die geometrische Konstruktion, sondern betrachten den polyedrischen Gerüstgraphen eines allgemeinen regulären Polyeders. Hier werden wir exemplarisch sehen, wie kombinatorische Eigenschaften auch am planaren Graphen hergeleitet werden können. Da eine Richtung des Satzes offensichtlich ist, beweisen wir nur folgendes Lemma. Lemma 3.2. Es gibt maximal fünf reguläre Polyeder. Beweis. Wir betrachten den planaren Gerüstgraphen G = (V, E, F ) eines regulären Polyeders, welches aus regulären h-ecken besteht mit Knotengrad k. Da an einem regulären Polyeder jede Ecke gleich aussehen muss, hat insbesondere jeder Knoten den Knotengrad k. Weiterhin wissen wir, dass jedes h-eck ebenso aus h Kanten besteht. Wenn wir also für jede Fläche die Anzahl der umschließenden Kanten aufsummieren, zählen wir jede Kante genau zwei mal, da jede Kante genau an zwei Flächen angrenzt. Es gilt also h F = 2 E (1) F = 2 E h Ebenso summieren wir jede Kante genau zwei mal auf, wenn wir für jeden Knoten seinen Knotengrad aufsummieren, da jede Kante genau zwei Knoten verbindet. Es gilt also (2) Die Eulersche Formel besagt k V = 2 E (3) V = 2 E k (4) Durch einsetzen von (2) und (4) erhalten wir 2 = V E + F (5) 2 = 2 E k 2 E E + h 1 k + 1 h = 2 + E 2 E (6) (7) 11

12 Offensichtlich muss letztere Gleichung größer als 1 sein. Somit gilt 2 1 k + 1 h > 1 2 Wir erinnern uns, dass k 3 und h 3 gelten muss. Für gewählte Parameter k und h ergibt sich also folgende Tabelle. h\k Wir sehen schnell, dass nur die fünf blau markierten Einträge der Tabelle die notwendige Eigenschaft (8) erfüllen. Somit können nur diese polyedrische Graphen mit so gewählten Parametern k und h ein reguläres Polyeder darstellen, was den Beweis abschließt. (8) 3.6 Weitere Eigenschaften von platonischen Körpern Um weitere interessante Eigenschaften von platonischen Körpern zu erwähnen folgen hier noch einige kurze Definitionen. Aus dem Kontext sollte der Bezug zu platonischen Körpern klar sein. Definition 3.3 (Geometrisches Dual). Wir können zu jedem planaren Graphen ein geometrisches Dual konstruieren, indem wir in jeder Fläche einen Knoten erzeugen und Knoten von angrenzenden Flächen durch eine Kante verbindet. Abbildung 15: Konstruktion des geometrischen Duals aus einem planaren Graphen 12

13 Lemma 3.4. Der Tetraeder ist dual zu sich selbst, der Oktaeder ist Dual zum Hexaeder und umgekehrt und der Ikosaeder ist dual zum Dodekaeder und umgekehrt. Abbildung 16: Dualität zwischen platonischen Körpern Platonische Körper weisen weitere herausragende Symmetrieeigenschaften auf. Wir können zu jedem platonischen Körper jeweils eine Umkugel, welche jede Ecke berührt, eine Kantenkugel, welche jede Kante im Mittelpunkt berührt und eine Inkugel, welche jede Fläche im Mittelpunkt berührt, konstruieren. Diese drei Kugeln haben den selben Mittelpunkt. Abbildung 17: Umkugel, Kantenkugel und Inkugel eines Ikosaeders 13

14 Literatur [1] Frank Gurski. Algorithmen für planare Graphen. Vorlesungsscript, Mathematisch-Naturwissenschaftliche_Fakultaet/Informatik/ Algorithmen_Probleme/planar.pdf, [2] Peter Tittmann. Graphentheorie. Hanser Fachbuchverlag, München, [3] T. Emden-Weinert, S. Hougardy, B. Kreuter, H.J. Prömel, and A. Steger. Einführung in Graphen und Algorithmen. Vorlesungsscript, ~hougardy/paper/ga.pdf, [4] Grafiken und selbst erstellt. 14