Diskrete Kurven und Flächen

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1 Vorlesung 18 Diskrete Kurven und Flächen 18.1 Polygonale Kurven in der Ebene Definition Eine offene, orientierte polygonale Kurve P n im R 2 ist ein ebener Polygonzug bestehend aus 1. n voneinander verschiedenen Ecken e 1,..., e n ; 2. und n 1, die Ecken verbindenden Geradenstücken g 1 = e 1 e 2,..., g n 1 = e n 1 e n. Die polygonale Kurve heißt geschlossen, wenn ein Geradenstück g n = e n e 1 die äußeren Ecken e n und e 1 verbindet. e 5 g 4 g g 3 2 e 2 e g 3 1 e 1 e Die Länge polygonaler Kurven Definition Als die Länge des offenen Polygons P n setzen wir n 1 L(P n ) := e i e i Gesamtkrümmung und Umlaufzahl geschlossener Polygone Die Krümmung ebener Polygonzüge konzentriert sich offensichtlich in ihren Eckpunkten. Als Gesamtkrümmung eines geschlossenen Polygons verstehen wir mit J.W. Milnor 1 die Gesamtsumme aller tangentialen Richtungsänderungen: 1 J.W. Milnor: On the total curvature of knots. Annals of Mathematics 52, No. 2,

2 k 2 f 1 92 VORLESUNG 18. DISKRETE KURVEN UND FLÄCHEN Definition Als die Gesamtkrümmung des geschlossenen Polygons P n setzen wir κ(p n ) := n α i. Dabei seien wir α i > 0, falls die Änderung der Tangenten entgegen dem Uhrzeigersinn ausfällt, sonst α i < 0. α 3 α 1 α 2 α 1 < 0, α 2 > 0, α 3 > 0 Satz Die Gesamtkrümmung eines ebenen geschlossenen Polygons ist ein Vielfaches von 2π : Beweis. Aufgabe! κ(p n ) = 2πk, k N Polyedrische Flächen Wir widmen uns nun triangulierten polyedrischen Flächen (Polyederflächen) M R 3. Solche bestehen aus 1. einer Eckenmenge E = {e 1,..., e r } mit voneinander verschiedenen Ecken e i ; 2. einer Kantenmenge K = {k 1,..., k s } mit voneinander verschiedenen Kanten k i ; 3. und einer Flächenmenge F = {f 1,..., f t } mit voneinander verschiedenen Dreiecken f i. Bemerkung Für konvexe Polyeder gilt der Eulersche Polyedersatz (vgl. Aufgabe 34). Definition Unter dem Stern Star (e) einer Ecke e E verstehen wir die Vereinigung dieser Ecke mit den angrenzenden (inzidierten) Flächen und deren berandenden Kanten. e α 1 k 1

3 18.5. DISKRETE GAUSS-KRÜMMUNG Diskrete Gauß-Krümmung Die Gaußsche Krümmung geschlossener polyedrischer Flächen ist in den Ecken e E konzentriert. Definition Für die Gaußsche Krümmung K(e) an einer Ecke e E setzen wir K(e) := 2π mit den an diese Ecke anliegenden Winkeln α i der Flächen f Star (e). Hiermit definieren wir die Gesamtkrümmung des Polyeders: Definition Unter der Gesamtkrümmung (curvature integra) der geschlossenen polyedrischen Fläche M verstehen wir K da := K(e). e E M Satz Für die orientierte, geschlossene, polyedrische Fläche M vom Geschlecht g 0 gilt Beweis. Aufgabe! M N α i K da = 4π(1 g). Beispiel In den skizzierten Polyedern M 1 und M 2 sind alle Gauß-Krümmungen positiv, d.h. es gelten M 1 K da = 4π = K da. M 2 M 1 M 2 Für eine nicht-konvexe, glatte und einfach geschlossene Fläche M R 3 sollte aber M K da > 4π sein, da die Gesamtkrümmung gleich 4π ist, die Gauß-Krümmung aber negative Anteile besitzt. Hierfür ist obige Definition der diskreten Gauß-Krümmung also nicht geeignet!

4 94 VORLESUNG 18. DISKRETE KURVEN UND FLÄCHEN 18.6 Vorzeichenbehaftete diskrete Gauß-Krümmung Um diesem letzten Umstand Rechnung zu tragen, führen wir eine vorzeichenbehaftete diskrete Gauß-Krümmung ein: 1. Positive äußere diskrete Gauß-Krümmung Falls e E dem Rand der konvexen Hülle des Sterns Star (e) gehört, dann können wir aus dem Stern einen positiven Teilstern Star + (e) filtern, dessen Kanten allein der konvexen Hülle conv (Star (e)) angehören. Damit sind auch die neuen Flächen f 1,..., f N + von Star + (e) bestimmt. Wir bezeichnen Star + (e) als den konvexen Kegel der Ecke e E und setzen mit den neuen Innenwinkeln α + i an e E. 2. Der konvexe Kegel in e existiert nicht K + (e) := 2π Falls e E echt in conv (Star (e)) enthalten ist, so setzen wir 3. Negative äußere diskrete Gauß-Krümmung K + (e) := 0. N + Wir filtern nun den Negativanteil von K(e) wie folgt: 4. Absolute äußere diskrete Gauß-Krümmung Diese definieren wir gemäß α + i K (e) := K + (w) K(e). K abs (e) := K + (e) + K (e). konvex Sattel Es ergibt sich folgende Klassifizierung von Eckpunkten: 1. e E heißt konvex, falls 2. e E heißt Sattelpunkt, falls K + (e) = K(e); K (e) = K(e); 3. e E heißt gemischt, falls K + (e) > 0, K + (e) K(e).

5 18.7. ABSOLUTE ÄUSSERE DISKRETE GAUSS-KRÜMMUNG Absolute äußere diskrete Gauß-Krümmung Wir setzen schließlich K abs (M) := e E K abs (e) = e E { } K + (e) + K (e). Im obigen Beispiel erhalten wir dann K abs (M 2 ) = 4π und K abs (M 1 ) > 4π.

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