Algorithmische Geometrie: Delaunay Triangulierung (Teil 2)

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1 Algorithmische Geometrie: Delaunay Triangulierung (Teil 2) Nico Düvelmeyer WS 2009/2010,

2 Überblick 1 Delaunay Triangulierungen 2 Berechnung der Delaunay Triangulierung Randomisiert inkrementeller Ansatz Rahmen des Algorithmus Exaktheit des inkrementellen Ansatzes Zusätzliche Suchstruktur Hilfspunkte p 1, p 2 3 Konfigurationenräume 4 Analyse Algorithmus Anpassung Konfigurationenraum Erwartete Anzahl erzeugter Dreiecke Erwartete Zeit zum Lokalisieren von p r Aufwand für Delaunay Triangulierung 5 Beweis Satz 10.23

4 Satz 10.1 (Wiederholung) Gegeben: P n Punkte der Ebene (nicht kollinear) k Anzahl von Punkten aus P auf Rand von conv P Dann hat jede Triangulierung von P genau 2n 2 k Dreiecke 3n 3 k Kanten

5 Definition 10.2 Winkel-Vektor (Wiederholung) Triangulierung T von P α 1,..., α 3m Innenwinkeln aller Dreiecke in T α 1 α 2 α 3m Winkel-Vektor von T: W (T) := (α 1,..., α 3m )

6 Delaunay Graph Definition 10.9 (Wiederholung) P Menge von n Punkten Voronoi-Diagramm Vor(P) besteht aus je einem Gebiet je Punkt aus P dualer Graph G Knoten: Voronoi-Gebiet V(p) (p P) Kanten in G: Gebiete von Vor(P) mit gemeinsamer Kante in Vor(P) Einbettung von G: V(p) p, {V(p), V(q)} pq Delaunay Graph DG(P) von P

7 Satz (Wiederholung) Der Delaunay Graph einer ebenen Punktmenge ist ein ebener Graph.

8 Definition Delaunay Triangulierung (Wiederholung) P: endliche Punktmenge eine Delaunay Triangulierung von P: beliebige Triangulierung von DG(P) ausgehend die Delaunay Triangulierung von P: nur wenn DG(P) eine Triangulierung ist letzteres gilt, wenn P in allgemeiner Lage ist: keine vier Punkte auf einem Kreis

9 Satz (Wiederholung) Es sei P eine endliche Menge von Punkten der Ebene. 1. Die Punkte p i, p j, p k P sind genau dann Ecken eines gemeinsamen Gebietes von DG(P), wenn der Kreis durch p i, p j, p k keine Punkte aus P in seinem Inneren enthält. 2. Zwei Punkte p i, p j P bilden genau dann eine Kante von DG(P), wenn es eine abgeschlossene Kreisscheibe K i,j mit p i und p j im Rand gibt, die keine weiteren Punkte aus P enthält.

10 Satz (Wiederholung) Triangulierung T zulässig T Delaunay Triangulierung

11 Satz (Wiederholung) 1. T Triangulierung mit maximalem W (T) T Delaunay Triangulierung 2. T Delaunay Triangulierung minimaler Winkel in W (T) ist maximal

14 Randomisiert inkrementeller Ansatz (Wiederholung) Start: großes Dreieck p 0 p 1 p 2 enthält P = {p 0, p 1,..., p n } bestimmen eine Delaunay Triangulierung von Q i := {p 2, p 1, p 0, p 1,..., p i } entfernen p 1, p 2 samt inzidenter Kanten und Dreiecke Delaunay Triangulierung von P

16 Algorithmus (Wiederholung) Eingabe: eine Menge P von n + 1 Punkten der Ebene Ausgabe: eine Delaunay Triangulierung von P 1: Funktion DELAUNAYTRIANGULIERUNG(P) 2: Bestimme den lexikographisch höchsten Punkt p 0 von P, d.h. den Punkt mit maximaler x-koordinate unter allen Punkten von P mit maximaler y-koordinate. 3: p 1 und p 2 seien zwei Punkte der Ebene, die hinreichend weit von P entfernt sind, so dass P im Dreieck p 0 p 1 p 2 enthalten ist. 4: Initialisiere T als die Triangulierung mit dem einzelnen Dreieck p 0 p 1 p 2. 5: Bestimme eine zufällige Vertauschung p 1,..., p n von P \ {p 0 }.

17 Algorithmus (Wiederholung) 6: Für r 1 bis n mache Füge p r in T ein 7: Suche das Dreieck p i p j p k T, welches p r enthält. 8: Wenn p r im Inneren von p i p j p k liegt, dann 9: füge drei neue Kanten p i p r, p j p r und p k p r in T ein, wobei p i p j p k in drei Dreiecke zerlegt wird. 10: KORRIGIEREKANTE(p r, p i p j, T) 11: KORRIGIEREKANTE(p r, p j p k, T) 12: KORRIGIEREKANTE(p r, p k p i, T) 13: sonst

18 Algorithmus (Wiederholung) 14: Es sei p i p j die Kante von T, die p r enthält, p i p j p k T und p i p j p l T die beiden zu p i p j inzidenten Dreiecke. 15: Füge zwei neue Kanten p k p r und p l p r in T ein, wobei p i p j durch p r in zwei Strecken und p i p j p k sowie p i p j p l jeweils in zwei Dreiecke zerlegt werden. 16: KORRIGIEREKANTE(p r, p i p l, T) 17: KORRIGIEREKANTE(p r, p l p j, T) 18: KORRIGIEREKANTE(p r, p j p k, T) 19: KORRIGIEREKANTE(p r, p k p i, T) 20: Entferne p 1, p 2 mit allen inzidenten Kanten und Dreiecken aus T. 21: Liefere T.

19 Idee KorrigiereKante ähnlich ZULÄSSIGETRIANGULIERUNG(T) kontrollieren und korrigieren potenziell unzulässige Kanten rekursiver Aufruf übergeben neu eingefügte Ecke p r Garantie: p r p i p j T

20 Fortsetzung von Algorithmus Eingabe: der neu eingefügte Punkt p r, die zu kontrollierende Kante p i p j, und die bisherige Triangulierung T Ausgabe: eine Triangulierung T, die lokal zulässig ist, d.h. für die p i p j entweder wegfällt oder zulässig ist, und keine neuen unzulässigen Kanten dazukommen 22: Funktion KORRIGIEREKANTE(p r, p i p j, T) 23: Wenn p i p j unzulässig ist, dann 24: seien p i p j p r, p i p j p l T die zu p i p j inzidenten Dreiecke. 25: Ersetze p i p j durch p r p k in T. 26: KORRIGIEREKANTE(p r, p i p k, T) 27: KORRIGIEREKANTE(p r, p k p j, T)

22 Satz Jede neue Kante, die in DELAUNAYTRIANGULIERUNG(P) oder KORRIGIEREKANTE(p r, p i p j, T) erzeugt wird, ist eine Kante im Delaunay Graph von Q r = {p 2, p 1,..., p r }.

23 Beweis von Satz direkt in DELAUNAYTRIANGULIERUNG(P) erzeugte Kanten Annahme: p i p j p k durch p r aufgeteilt U := K (p i p j p k ) enthält im Inneren kein p t mit t < r Modifizieren Kreis U: Punkt p i und Tangente fix, verkleinern den Radius Kreise U enthält p r im Rand U nicht im Inneren: p 2,..., p r 1 U auf Rand von p 2,..., p r : genau p i, p r p i p r im Delaunay Graph von Q r analog: p r p j, p r p k, (p r p l )

24 Beweis von Satz direkt von KORRIGIEREKANTE(p r, p i p j, T) erzeugten Kanten Umkreis U von p i p j p l p i p j unzulässig p r im Inneren von U Schrumpfen U Kreis innerhalb von U enthält von Q i nur p i und p r, auf dem Rand

25 Exaktheit von Algorithmus Zu zeigen: 1. Algorithmus terminiert 2. keine unzulässige Kante in T

26 Exaktheit von Algorithmus Zu zeigen: 1. Algorithmus terminiert (W (T) wächst streng bei Drehungen) 2. keine unzulässige Kante in T

27 Exaktheit von Algorithmus Zu zeigen: 1. Algorithmus terminiert (W (T) wächst streng bei Drehungen) 2. keine unzulässige Kante in T alle neuen Kanten inzidieren mit p r wir haben gezeigt: alle neuen Kanten sind zulässig alte Kanten werden nur unzulässig, wenn sich inzidente Dreiecke ändern diese werden explizit behandelt

29 Zusätzliche Suchstruktur für p i p j p k T mit p r p i p j p k gerichteter kreisfreier Graph D eine Wurzel ein Blatt für jedes Dreieck in T innere Knoten: ehemalige Dreiecke in T innere Knoten verweisen auf 2 oder 3 neue Dreiecke

30 Beispiel Suchstruktur

31 Suchzeit für p i p j p k T Suchzeit mittels D ist linear zur Länge des Suchpfades gleich der Anzahl aller in D gespeicherten Dreiecke, welche den Punkt p r enthalten

33 Hilfspunkte p 1, p 2 p 1, p 2 dürfen DG(P) nicht verfälschen keine Koordinaten für p 1, p 2 Anpassung Test ob Kante in T unzulässig Anpassung Suche mit D (Lage der Punkt Gerade) l 1 beliebige horizontale Gerade unterhalb P l 2 beliebige horizontale Gerade oberhalb P zuerst p 1 auf l 1 beliebig hinreichend weit rechts dann p 2 auf l 2 beliebig hinreichend weit links

34 Hilfspunkte p 1, p 2 p 1, p 2 dürfen DG(P) nicht verfälschen keine Koordinaten für p 1, p 2 Anpassung Test ob Kante in T unzulässig Anpassung Suche mit D (Lage der Punkt Gerade) l 1 beliebige horizontale Gerade unterhalb P l 2 beliebige horizontale Gerade oberhalb P zuerst p 1 auf l 1 beliebig hinreichend weit rechts ausserhalb aller Kreise durch drei Punkte aus P rechts von Schnittpunkten l 1 Gerade durch zwei Punkte aus P dann p 2 auf l 2 beliebig hinreichend weit links

35 Hilfspunkte p 1, p 2 p 1, p 2 dürfen DG(P) nicht verfälschen keine Koordinaten für p 1, p 2 Anpassung Test ob Kante in T unzulässig Anpassung Suche mit D (Lage der Punkt Gerade) l 1 beliebige horizontale Gerade unterhalb P l 2 beliebige horizontale Gerade oberhalb P zuerst p 1 auf l 1 beliebig hinreichend weit rechts ausserhalb aller Kreise durch drei Punkte aus P rechts von Schnittpunkten l 1 Gerade durch zwei Punkte aus P dann p 2 auf l 2 beliebig hinreichend weit links ausserhalb aller Kreise durch drei Punkte aus P {p 1 } links von Schnittpunkten l 2 Gerade durch zwei Punkte aus P {p 1 }

36 Delaunay Triangulierung von P {p 1, p 2 } besteht aus einer Delaunay Triangulierung von P, Kanten von p 1 zu allen Eckpunkten der rechten konvexen Hülle von P, Kanten von p 2 zu allen Eckpunkten der linken konvexen Hülle von P, sowie der Kante p 1 p 2

37 Lagebeziehungen Punkt Strecke äquivalent für i, j 0: p j liegt links der orientierten Gerade von p i zu p 1 p j liegt links der orientierten Gerade von p 2 zu p i p i ist lexikographisch tiefer (nicht: kleiner) als p j

38 Unzulässigkeit von Kante p i p j p i p j, p i p j p k, p i p j p r in T i, j, k 0: Koordinaten bekannt: p r innerhalb Kreis K (p i, p j, p k )? Beweis. sonst min(i, j) < k? nicht beide i < 0, j < 0 genau eine der Zahlen i, j, k negativ? negative Punkt ausserhalb des Kreises durch die anderen sonst p 2 ausserhalb der Kreise durch die anderen Punkte

40 Definition Konfigurationenraum Quadrupel (X, Π, D, Z) X Menge von n Eingabeobjekten Π Menge von Konfigurationen D, Z Funktionen Π P(X) D( ) Objekte, die definieren Z( ) Objekte, die zerstören Nebenbedingung D( ) Z( ) = maximaler Grad d max{# (D( )) : Π} aktive Konfigurationen über Y X D( ) Y und Z( ) Y = T(Y ) Menge der aktiven Konfigurationen über Y X

41 Beispiel 10.20: Delaunay Triangulierung für P in allgemeiner Lage X = P Π nicht entartete Dreiecken mit Ecken in P D( ) Eckenmenge von Z( ) P int(u( )) d = 3

42 randomisiert inkrementelles Verfahren gesucht: T(X) zufällig gleichverteilt: Permutation x 1,..., x n von X X r := {x 1,..., x r }, Algorithmus bestimmt iterativ T(X r ) möglichst nur durch lokale Betrachtungen

43 Satz E[# (T(X r ) \ T(X r 1 ))] d r E[# (T(X r))]

44 Beweis Satz E[# (T(X r ) \ T(X r 1 ))] d r E[# (T(X r))] E[# (T(X r ) \ T(X r 1 )) X r = X r ] =E[# ({ T(X r ) : x r D( ) }) X r = X r ] = 1 # ({ T(X r ) : x r D( ) }) r x r X r = 1 # ({ T(X r ) : x D( ) }) r x X r = 1 # ({ x X r : x D( ) }) r = 1 r T(X r ) T(X r ) # (D( )) d r # (T(X r ))

45 Definition n C := T(X r ) r=1 S := # (Z( )) C

46 Satz Konfigurationenraum (X, Π, D, Z) S = n r=1 T(X r ) # (Z( )) Dann gilt E[S] n r=1 d 2 n r r E[# (T(X r))] r.

49 Definition 10.24: unser Konfigurationenraum P r := {p 1,..., p r } Ω := {p 2, p 1, p 0 } DG r := DG(Q r ), Erinnerung: Q r = Ω P r X := P \ {p 0 } = P n Π Tripel = (p i, p j, p k ) (X Ω) 3 mit D((p i, p j, p k )) := {p i, p j, p k } X Z((p i, p j, p k )) X \ {p i, p j, p k } d = 3 p i p j p k mathematisch positiv orientiert int(u( p i p j p k )) oder auf Kreisbogen von p i über p j zu p k

50 Delaunay-Winkel: aktive Konfigurationen G: beschränktes Gebiet von DG r Ecke p j mit Nachbarn p i und p k (p i, p j, p k ) T(X r ) für G: Anzahl Ecken = Anzahl Delaunay-Winkel = Anzahl Kanten

51 Lemma Beweis. Satz E[# (T(X r ) \ T(X r 1 ))] O(1) E[# (T(X r ) \ T(X r 1 ))] d r E[# (T(X r))] Satz 10.1: DG r hat höchstens 3(r + 3) 6 = 3r + 3 Kanten Inzidenzen von Kanten (beschränkte) Gebiete: # (T(X r )) 2(3r + 3) 3 = 6r + 3 d r E[# (T(X 3(6r + 3) r))] = r r 27

52 Lemma 10.26: Zusammenhang Triangulierung T Konfigurationen in T(X r ) Beweis. Wenn Dreieck zu T in Schritt r = p i p j p r ; p i p r, p j p r DG r Wenn p i p j p r zudem in T bleibt (Schritt r) (p i, p r, p j ) T(X r ) Delaunay-Winkel (bzw. (p j, p r, p i )) Satz 10.18

54 Lemma Die erwartete Anzahl von Dreiecken, die von DELAUNAYTRIANGULIERUNG(P) erzeugt wird, ist in O(n). Beweis. k = deg(p r, DG r ) maximal 2(k 3) + 3 = 2k 3 Dreiecke zu T genau k davon bleiben in T k # (T(X r ) \ T(X r 1 )) E[k] O(1) erwartete Anzahl erzeugter Dreiecke: E[2k 3] O(1).

56 Definition Triangulierung T von P Dreiecke T Z(P, ) := P int(u( )) Delaunay-Dreieck T am Ende (beliebigen) Schritt r (Zeile 19) C = C(p 1,..., p n ) Menge der Delaunay-Dreiecke

57 Satz [ ] E # (Z(P, )) O(n log n) C Beweis. [ ] [ E # (Z(P, )) E n r=1 C d 2 n r r E[# (T(X r))] r C # ( Z( ) )] = E[S] n 9 n ( ) 1 r O = n r r=1 O(n log n) n O(1/r) r=1

59 Satz Eine Delaunay Triangulierung einer Menge P von n Punkten der Ebene kann in O(n log n) erwarteter Zeit und mit erwartetem Speicherplatzbedarf in O(n) berechnet werden.

60 Beweis von Satz Algorithmus Speicherplatzbedarf von T: in O(n) Speicherplatzbedarf von D: linear in Anzahl erzeugter Dreiecke, Erwartungswert in O(n) Aufteilung der Laufzeit: Lokalisierung p r in T extra (Zeile 7) ohne Suche: Zeitaufwand linear in der Anzahl erzeugter Dreiecke Suchaufwand für p r :

61 Beweis von Satz Suchaufwand für p r : linear in der Anzahl besuchten Knoten von D = Anzahl erzeugter Dreiecke mit p r = 1+ Anzahl wieder aus T entfernter Dreiecke Abbildung auf Delaunay-Dreieck mit p r int(u( )), d.h. p r Z(P, ), und gleichzeitig mit aus T entfernt wurde. Zuordnung. Warum wurde aus T entfernt? durch neuen Punkt zerlegt := sonst Kantendrehung von p i p j mit = p i p j p k auch p i p j p l aus T verschwunden damals entweder p l oder p k als neuer Punkt hinzugefügt jeweils andere Dreieck oder p i p j p l war Delaunay-Dreieck p i p j unzulässig p i p j p k p i p j p l U( ) für festes p r kein Delaunay-Dreieck doppelt

62 Beweis von Satz Suchaufwand für p r : = 1+ Anzahl wieder aus T entfernter Dreiecke Abbildung auf Delaunay-Dreieck mit p r int(u( )), d.h. p r Z(P, ), und gleichzeitig mit aus T entfernt wurde. für festes p r kein Delaunay-Dreieck doppelt Suchzeit nach p r in T in O(1) + O(# ({ C : p r Z(P, ) })) Suchzeit aller n Punkte p 1,..., p n in ( ) O(n) + O # (Z(P, )) C Erwartungswert davon in O(n log n)

64 Satz Konfigurationenraum (X, Π, D, Z), S = n r=1 T(X r ) # (Z( )) Dann gilt E[S] n r=1 d 2 n r r E[# (T(X r))] r.

65 Beweis Satz wir schreiben T r := T(X r ) Umgruppierung der Summanden in S: S = n r=1 T r \T r 1 # (Z( )) = n 1 r=1 k(x r, y) := # ({ T r : y Z( ) }) für y X k(x r, y, x r ) := # ({ T r : y Z( ), x r D( ) }) T r \T r 1 # (Z( )) = T r \T r 1 # (Z( )) = T r \T r 1 # (Z( )) (1) y X\X r # ({ T r \ T r 1 : y Z( ) }) y X\X r k(x r, y, x r ). (2)

66 Beweis Satz k(x r, y) := # ({ T r : y Z( ) }) für y X k(x r, y, x r ) := # ({ T r : y Z( ), x r D( ) }) T r \T r 1 # (Z( )) = Rückwärtsanalyse, r < n, X r =: X r E[k(X r, y, x r ) X r = X r ] = y X\X r k(x r, y, x r ). (2) T r,y Z( ) T r,y Z( ) E # (Z( )) X r = X r d r T r \T r 1 P(x r D( )) d/r = d r k(x r, y) y X\X r k(x r, y) (3)

67 Beweis Satz k(x r, y) := # ({ T r : y Z( ) }) für y X E # (Z( )) X r = X r d r T r \T r 1 E[k(X r, x r+1 ) X r = X r ] = 1 n r k(x r, x r+1 ) = # (T r \ T r+1 ) E # (Z( )) X r = X r T r \T r 1 y X\X r y X\X r k(x r, y) (3) k(x r, y), d(n r) E[k(X r, x r+1 ) X r = X r ] r (4) d(n r) = E[# (T r \ T r+1 ) X r = X r ] r

68 Beweis Satz E # (Z( )) X r = X r T r \T r 1 = d(n r) E[k(X r, x r+1 ) X r = X r ] r (4) d(n r) E[# (T r \ T r+1 ) X r = X r ] r (5) E # (Z( )) T r \T r 1 d(n r) E[# (T r \ T r+1 )]. (6) r

69 Beweis Satz E # (Z( )) T r \T r 1 d(n r) E[# (T r \ T r+1 )]. (6) r C := C \ T n = n r=1 T r \ T n für C sei j( ) = j mit T j 1 \ T j ; i( ) = i mit T i \ T i 1 n 1 r=1 i( ) j( ) 1 d(n r) E[# (T r \ T r+1 )] = de r n (j( ) 1) j( ) 1 n 1 r=1 = n j( ) 1 1 [ C [ d(n r) E[# (T r \ T r+1 )] de r C n (j( ) 1) j( ) 1 n i( ) 1 = n i( ) i( ) ] n i( ) i( ) ] (7)

70 Beweis Satz E # (Z( )) T r \T r 1 n 1 r=1 [ d(n r) E[# (T r \ T r+1 )] de r C de [ n 1 r=1 d(n r) E[# (T r \ T r+1 )]. (6) r ] n r # (T r \ T r 1 ) r ] n i( ) i( ) (7) (8) n 1 E # (Z( )) de r=1 T r \T r 1 [ n 1 r=1 ] n r # (T r \ T r 1 ) r (9)

71 Beweis Satz S = n r=1 T r \T r 1 # (Z( )) = n 1 r=1 T r \T r 1 # (Z( )) (1) n 1 E # (Z( )) de r=1 T r \T r 1 [ n 1 r=1 ] n r # (T r \ T r 1 ) r (9) E[S] d n 1 r=1 n r n 1 n r d E [# (T r \ T r 1 )] d r r r E[# (T r)] r=1