Algorithmische Graphentheorie

Transkript

1 Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 7 und 8: Euler- und Hamilton-Graphen Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 17. April /96

2 WIEDERHOLUNG Eulersche Graphen Durch jede Kante genau einmal! Hamiltonsche Graphen Durch jeden Knoten genau einmal! 2/96

3 WIEDERHOLUNG EULERSCHE GRAPHEN: SATZ VON EULER Es sei G = (V, E) ein Graph. G hat einen eulerschen Weg gdw. G bis auf isolierte Knoten zusammenhängend ist und für die Zahl u der Knoten mit ungeradem Grad gilt: u = 0 oder u = 2. Die Existenz eines Eulerkreises ist äquivalent mit u = 0. 3/96

4 ALGORITHMUS VON HIERHOLZER 4/96

5 ALGORITHMUS VON FLEURY 5/96

6 BEISPIEL Starte in F und finde eine Rundreise nach C. 6/96

7 BEISPIEL Reise von C nach D. Genau so gut hätten wir von C nach A oder E wählen können. 7/96

8 BEISPIEL Reise von D nach A. Genau so gut hätten wir B wählen können, aber nicht F weil DF eine Brücke ist. 8/96

9 BEISPIEL Reise von A nach C. Genau so gut hätten wir nach E reisen können, aber nicht nach B, weil AB eine Brücke ist. 9/96

10 BEISPIEL Reise von C nach E. 10/96

11 BEISPIEL 11/96

12 BEISPIEL 12/96

13 BEISPIEL 13/96

14 EULERSCHE WEGE MIT FLEURY 14/96

15 START Der Graph hat zwei Knoten von ungeradem Grad, E und J. Wir wählen J als Startknoten. 15/96

16 SCHRITT 1 Von J ausgehend, haben wir 5 Möglichkeiten: A, B, K, H, I. Wir wählen K. Entferne JK in der Kopie 1 und markiere JK mit 1 in Kopie 2. 16/96

17 SCHRITT 2 Aus K haben wir drei Möglichkeiten: B, L, H. Wähle z.b. den Knoten B. Entferne Kante KB aus Kopie 1 und markiere diese Kante mit 2 in Kopie 2. 17/96

18 SCHRITT 3 Aus B haben wir weitere drei Möglichkeiten: A, C, J. Wähle z.b. C. Entferne die Kante BC aus Kopie 1 und markiere diese Kante mit 3 in Kopie 2. 18/96

19 SCHRITT 4 Aus C stehen zur Auswahl die Knoten D, E, L. Wähle L. Entferne und markiere die Kante CL. 19/96

20 SCHRITT 5 Aus L stehen zur Auswahl die Knoten E, G, K. Wähle z.b. den Knoten K. Entferne und markiere die Kante LK. 20/96

21 SCHRITT 6 Aus K steht nur H zur Auswahl. Entferne und markiere die Kante KH. 21/96

22 SCHRITT 7 Aus H stehen die Knoten G, I, J zur Auswahl. G ist aber eine schlechte Wahl, da HG eine Brücke ist. Wähle z.b. J. Entferne und markiere die Kante HJ. 22/96

23 SCHRITT 2 Aus J stehen die Knoten A, B, I zur Auswahl. JI ist eine Brücke, also entfällt I. Wähle z.b. B. Entferne und markiere die Kante JB. 23/96

24 SCHRITT 9-13 Jedes mal steht nur ein Knoten zur Auswahl. Aus B gehen wir nach A, dann nach J, I, H und G. 24/96

25 SCHRITT usw... die restlichen Schritte sind: G, F, E, D, C, E, G, L, E. Es gibt hunderte von Euler-Wege... 25/96

26 EULER KREISE UND WEGE Es ist immer möglich einen eulerschen Weg oder einen eulerschen Kreis zu finden, indem wir einfach mehr Kanten einfügen. 26/96

27 LEGALE KANTEN Definition Das Einfügen einer neuen Kante in einem Graph ist legal, falls die verbundenen Knoten bereits durch eine andere Kante verbunden sind. Beispiel Beginnend mit dem ersten Graphen, fügen wir zuerst eine legale und danach eine illegale Kante ein. Bemerkung Wenn wir legale Kanten einfügen müssen, wollen wir deren Anzahl so gering wie nur möglich zu halten! 27/96

28 EULERISIERUNG UND HALB-EULERISIERUNG Definition Das Prozess des Einfügens von legalen Kanten in einem Graph, so dass Ein Euler-Kreis existiert, heißt Eulerisierung des Graphen. Ein Euler-Weg existiert, heißt Halb-Eulerisierung des Graphen. Falls ein Graph nicht eulersch ist, dann Eulerisierung und Halb-Eulerisierung sind IMMER möglich. Für die Eulerisierung werden alle Kanten verdoppelt. Für die Halb-Eulerisierung werden fast alle Kanten verdoppelt. Dieser Prozess ist nicht optimal! 28/96

29 EULERISIERUNG: BEISPIEL Ein Schneepflug muss den Schnee von den Straßen entfernen. Wie kann man diesen Prozess effizient gestalten? Schritt 1 Berechne den Grad aller Knoten. 29/96

30 EULERISIERUNG: BEISPIEL Schritt 2 Bilde Knotenpaare von ungeradem Grad, so dass sie möglichst nah aneinander liegen. 30/96

31 EULERISIERUNG: BEISPIEL Jedes Paar ist anders gefärbt. Wir können die Farben mit P 1, P 2,... bezeichnen. Schritt 3 Füge nun Kanten um die Knoten zu verbinden. Es kann sein, dass die Verbindung durch einen Zwischenknoten laufen muss. 31/96

32 EULERISIERUNG: BEISPIEL Es existieren keine neue Verbindungen, weil diese neuen Straßen, die nicht existieren, entsprechen würden. Schritt 4 Im letzten Schritt müssen wir überprüfen, dass wie eine minimale Anzahl von neuen Kanten benutzt haben. Dies ist aber eine knifflige Angelegenheit. Für dieses Beispiel, haben wir vier neue Kanten eingefügt um den Graphen zu eulerisieren. Der Schneepflug muss also vier Straßen zweimal besuchen. 32/96

33 HALB-EULERISIERUNG: BEISPIEL Schritt 1 Berechne den Grad aller Knoten Schritt 2 Bilde Knotenpaare von ungeradem Grad, so dass sie möglichst nah aneinander liegen. 33/96

34 HALB-EULERISIERUNG: BEISPIEL Schritt 3 Füge neue Kanten ein, um einige der Knotenpaare zu verbinden. Für einen Euler-Weg brauchen wir genau zwei Knoten von ungeradem Grad! 34/96

35 HALB-EULERISIERUNG: BEISPIEL Es existieren keine neue Verbindungen, weil diese neuen Straßen, die nicht existieren, entsprechen würden. Schritt 4 Die rot markierten Knoten wurden nicht verbunden. In diesem Beispiel haben wir zwei neue Kanten gebraucht um den Graphen zu halb-eulerisieren. 35/96

36 EULERISIERUNG: BEISPIEL (2) 36/96

44 HAMILTONSCHE GRAPHEN 44/96

45 CHARAKTERISIERUNG VON HAMILTONSCHEN GRAPHEN Satz Es sei G = (V, E) ein Graph mit n := V 3. Gilt v V. deg(v) n/2, dann ist G hamiltonsch. 45/96

46 BEMERKUNG In gewichteten Graphen kann man zusätzlich die Frage nach einem kürzesten Hamilton Kreis stellen. Im Gegensatz zur Bestimmung von Euler-Kreisen und -Wegen ist die Bestimmung von Hamilton-Kreisen oder -Wegen ungleich schwerer und es gibt keine schöne Charakterisierung von hamiltonschen Graphen. Obwohl die Hamilton-Kreise und Euler-Kreise verwandt zu sein scheinen, gibt es hier keinen Zusammenhang Das Entscheidungsproblem, ob ein Graph G hamiltonsch ist (HC), ist NP-vollständig. 46/96

47 ZUSAMMENFASSUNG Es gibt Graphen, die weder Hamilton-Wege, noch Hamilton-Kreise besitzen. Es gibt Graphen, die Hamilton-Wege aber keine Hamilton-Kreise besitzen. Jeder Graph, der ein Hamilton-Kreis besitzt, hat auch Hamilton-Wege. Weshalb? 47/96

48 ZUSAMMENFASSUNG Es gibt Graphen, die weder Hamilton-Wege, noch Hamilton-Kreise besitzen. Es gibt Graphen, die Hamilton-Wege aber keine Hamilton-Kreise besitzen. Jeder Graph, der ein Hamilton-Kreis besitzt, hat auch Hamilton-Wege. Weshalb? Es gibt Hamilton-Wege, die nicht durch zerspalten von Hamilton-Kreise entstehen. Gegeben ein Hamilton-Weg oder ein Hamilton-Kreis, können wir diesen in entgegengesetzter Richtung durchlaufen. Dies erzeugt einen neuen Hamilton-Weg oder Hamilton-Kreis. Eine Permutation der Knoten eines Hamilton-Kreises erzeugt keinen neuen Kreis. 47/96

49 BEISPIEL 48/96

50 VOLLSTÄNDIGE GRAPHEN 49/96

51 VOLLSTÄNDIGE GRAPHEN UND HAMILTON-KREISE 6 HAMILTON-KREISE DES K 4 50/96

52 NÄCHSTER-NACHBAR-HEURISTIK (NNH) 51/96

53 KORREKTHEIT DES ALGORITHMUS Satz Es sei G = (V, E) ein ungerichteter, vollständiger und gewichteter Graph mit Kantengewichten w(e) für alle e E. Dann findet der Algorithmus einen Hamilton-Kreis in G. Beweis: Da G vollständig ist, gibt es in jeder Iteration mindestens eine Kante zu einem noch nicht besuchten Knoten und folglich auch eine mit minimalem Gewicht. Daher ist die Wahl von e wohldefiniert. Nach V 1 Iterationen enthält P nach Konstruktion V verschiedene Knoten, also alle Knoten in V. Da G vollständig ist, existiert eine Kante vom letzten Knoten zum Startknoten und der geschlossene Kreis P ist ein Hamilton-Kreis in G. 52/96

54 BEMERKUNG Der Algorithmus findest zwar immer einen Hamilton-Kreis, aber nicht immer den kürzesten. Tatsächlich kann die Länge des gefundenen Hamilton-Kreises sogar beliebig viel größer sein als die des kürzesten. Abbildung 1: Beispiel für die Nächster-Nachbar-Heuristik 53/96

55 BEISPIEL NNH 19,4 JAHRE 54/96

56 OPTIMALE TOUR 18,3 JAHRE 55/96

57 REPETITIVE NNH Die NNH liefert einen Hamilton-Kreis (TSP-Tour), welcher vom Anfangsknoten abhängig ist. Starte NNH mit verschiedenen Anfangsknoten! 56/96

58 BEISPIEL NNH TOUR 57/96

59 BEISPIEL NNH TOUR A, C, E, D, B, J, G, K, F, H, A Länge: /96

60 BEISPIEL R-NNH TOUR 59/96

61 CHEAPEST-LINK ALGORITHM Suche immer die billigste Kante! 60/96

62 BEISPIEL CLA TOUR 61/96

63 BESSERE HEURISTIKEN Eine weitere Heuristik, bei der man abschätzen kann, wieviel schlechter der gefundene Hamilton-Kreis im Vergleich zum optimalen höchstens sein kann, beruht auf der Konstruktion minimaler spannender Bäume. Diese funktioniert allerdings nur in sogenannten metrischen Graphen. 62/96

64 METRISCHE GRAPHEN Definition Es sei G = (V, E) ein ungerichteter gewichteter Graph mit positiven Kantengewichten w(e) > 0 für alle e E. Der Graph G heißt metrisch, wenn für alle u, v, z V mit {u, v}, {u, z}, {z, v} E die Dreiecksungleichung gilt. w({u, v}) w({u, z}) + w({z, v}) 63/96

65 FRAGE Sei G ein ungerichteter, vollständiger und metrischer Graph. Welcher ist der Zusammenhang zwischen der Länge des kürzesten Hamilton-Kreises P H und das Gewicht eines minimalen spannenden Baums T? Da P H ein Hamilton-Kreis ist, ist P H ohne die schwerste Kante e P H ein spannender Baum. Es gilt also w(p H ) w(e ) w(t ). Da P H genau V Kanten enthält und e die schwerste davon ist, folgt w(e ) w(p H )/ V. Damit erhalten wir w(t ) w(p H ) w(e ) w(p H ) w(p H ) ( w(p H V ) 1 1 ). V Umgekehrt lässt sich in einem vollständigen Graphen aus einem beliebigen spannenden Baum auch ein Hamilton-Kreis erzeugen. 64/96

66 KONSTRUKTION EINES HAMILTON-KREISES 65/96

67 EULER-KREIS Durch das Verdoppeln der Kanten in dem zusammenhängenden Graph T entsteht ein ebenfalls zusammenhängender Graph, in dem jeder Knoten geraden Grad hat. Folglich besitzt dieser Graph einen Euler-Kreis P E, den wir zum Beispiel mit dem Algorithmus von Hierholzer bestimmen können. Der Euler-Kreis hat dann die Länge 2w(T ), da er jede Kante genau einmal durchläuft. 66/96

68 VOM EULER-KREIS ZUM HAMILTON-KREIS Wähle einen beliebigen Startknoten auf dem Euler-Kreis und folge diesem so lange, bis ein Knoten zum zweiten Mal besucht würde. Da der Graph G vollständig ist, ist es möglich stattdessen direkt zu dem nächsten unbesuchten Knoten auf dem Euler-Kreis weiterzugehen. Man kürzt also im Vergleich zu dem Euler-Kreis ab. Dadurch werden Teile des Euler-Kreises durch eine einzelne neue Kante ersetzt, die auf Grund der Dreiecksungleichung aber nicht länger als der ersetzte Teil des Euler-Kreises ein kann. Schließlich erhält man so einen Hamilton-Kreis P H mit w(p H ) w(p E ) = 2w(T ). 67/96

69 LEMMA Es sei G = (V, E) ein ungerichteter, vollständiger und metrischer Graph, P H ein minimaler Hamilton-Kreis und T ein minimaler spannender Baum. Dann gilt V V 1 w(t ) w(p H ) 2 w(t ). 68/96

70 MINIMALER SPANNENDER BAUM HEURISTIK 69/96

71 SATZ Es sei G = (V, E) ein ungerichteter, vollständiger und metrischer Graph mit Kantengewichten w(e) > 0 für alle e E. Dann bestimmt der Algorithmus einen Hamilton-Kreis, welcher höchstens 2(1 1 V ) mal so lang wie der kürzeste ist. 70/96

72 HÜLLE EINES GRAPHEN Satz Sei G ein schlichter Graph mit p 3 Knoten und seien e 1 und e 2 zwei nicht benachbarte Knoten von G mit grad e 1 + grad e 2 p. Sei G der Graph, der aus G durch Hinzufügen der Kante e 1 e 2 entsteht. Dann ist G genau dann hamiltonsch, wenn G hamiltonsch ist. 71/96

73 HÜLLE EINES GRAPHEN Sei G 0 ein schlichter Graph mit p 3 Knoten. Gibt es in G 0 nicht benachbarte Knoten a 1 und b 1 mit grad a 1 + grad b 1 p, dann verbindet man die beiden Knoten und erhält einen Graphen G 1. Gibt es in G 1 nicht benachbarte Knoten a 1 und b 2, für die in G 1 die Ungleichung grad a 2 + grad b 2 p gilt, dann verbindet man diese beide Knoten und erhält einen Graphen G 2. Die Konstruktion endet nach endlich vielen Schritten mit einem Graphen G n, spätestens mit dem vollständigen Graphen K p. G n heißt Hülle von G 0 und wird mit c(g 0 ) bezeichnet. 72/96

74 HÜLLE: BEISPIEL c(g) = K 6 73/96

75 HÜLLE: BEISPIEL c(g) = G 74/96

76 HÜLLE EINES GRAPHEN Satz Sei G ein schlichter Graph mit p 3 Knoten. 1 Die Hülle c(g) ist durch G eindeutig bestimmt. 2 G ist genau dann hamiltonsch, wenn seine Hülle hamiltonsch ist. Ist speziell c(g) der entsprechende vollständige Graph, dann ist G hamiltonsch. 75/96

77 NOTWENDIGE BEDINGUNGEN FÜR HAMILTON GRAPHEN Ist G = (V, E) ungerichtet und hamiltonsch, so enthält V keinen Knoten v vom Grad g(v) = 1. Ist G = (V, E) ungerichtet und hamiltonsch, so ist G zusammenhängend. Diese Bedingungen sind nicht hinreichend, sondern nur notwendig... 76/96

78 BEISPIEL Abbildung 2: Ein zusammenhängender, nicht hamiltonscher Graph mit g(v) 1 für alle Knoten v V. 77/96

79 STÄRKERE BEDINGUNGEN Satz Es sei G = (V, E) ein ungerichteter hamiltonscher Graph. Dann gilt: Werden k V Knoten mit den zugehörigen Kanten aus dem Graphen G entfernt, so besteht der Restgraph aus höchstens k Zusammenhangskomponenten. 78/96

80 BEISPIEL Abbildung 3: Nicht hamiltonsch nach obigem Satz. 79/96

81 BEISPIEL Abbildung 4: Nicht hamiltonsch, obwohl die Bedingungen aus obigem Satz erfüllt sind. 80/96

82 JAVA PROZEDUR ZUR ERZEUGUNG VON GRAPHEN Erzeugt einen ungerichtetetn, zusammenhängenden, schlichten Graphen mit einer vorgegebener Anzahl von Knoten und Kanten. Zuerst wird ein auspannender Baum erzeugt. Kanten werden zufällig hinzugefügt bis die gegebene Anzahl von Kanten erreicht wird. 81/96

83 PARAMETER int randomconnectedgraph (n, m, seed, weighted, minweight, maxweight, nodei, nodej, weight) 82/96

84 83/96

85 84/96

86 85/96

87 86/96

88 87/96

89 RANDOM HAMILTON GRAPH Folgende Prozedur erzeugt einen zufälligen Hamilton Graph mit gegebener Anzahl von Knoten und Kanten. Der Graph ist gerichtet oder ungerichtet. Die Methode erzeugt eine zufällige Permutation von n Objekte (perm[1], perm[2],..., perm[n]). Der Graph ist mit folgendem Hamilton Zyklus initialisiert: (perm[1], perm[2]), (perm[2], perm[3]),..., (perm[n 1], perm[n]), (perm[n], perm[1]). 88/96

90 PARAMETER int randomhamiltongraph (n, m, seed, directed, weighted, minweight, maxweight, nodei, nodej, weight) 89/96

91 90/96

92 91/96

93 92/96

94 93/96

95 94/96

96 95/96

97 96/96