Betriebliche Optimierung
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- Claudia Brinkerhoff
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1 Betriebliche Optimierung Joachim Schauer Institut für Statistik und OR Uni Graz Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 1 / 21
2 1 Approximationsalgorithmen auf metrischen Instanzen Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 2 / 21
3 Minimum Spanning Tree Definition (Spannbaum) Ein Spannbaum in einem Graphen G = (V,E) ist ein kreisfreier Teilgraph T = (V,E ) mit n 1 Kanten ( E = V 1). Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 3 / 21
4 Minimum Spanning Tree Definition (Spannbaum) Ein Spannbaum in einem Graphen G = (V,E) ist ein kreisfreier Teilgraph T = (V,E ) mit n 1 Kanten ( E = V 1). Definition (Minimum Spanning Tree) Ein minimaler Spannbaum in einem gewichteten Graphen G = (V,E) mit Kantengewichten w e ist ein Spannbaum T = (V,E ) mit minimaler Kantengewichtssumme w(t ) := e E w e. Anwendungen Zentrales Problem der Netzwerkplanung: n Orte werden möglichst kostengünstig an einen Versorger angeschlossen. Basis für Klasse von Approximationsalgorithmen für TSP Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 3 / 21
5 Minimum Spanning Tree Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz ) Betriebliche Optimierung 4 / 21
6 MST Algorithmus Definition (Inzident / Adjazent) Zwei Kanten sind zueinander inzident, falls sie einen gemeinsamen Knoten als Endpunkt haben. Zwei Knoten u und v sind adjazent falls (u,v) E. Eine Kante und ein Knoten sind zueinander inzident, falls der Knoten Endpunkt der Kante ist. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 5 / 21
7 MST Algorithmus Definition (Inzident / Adjazent) Zwei Kanten sind zueinander inzident, falls sie einen gemeinsamen Knoten als Endpunkt haben. Zwei Knoten u und v sind adjazent falls (u,v) E. Eine Kante und ein Knoten sind zueinander inzident, falls der Knoten Endpunkt der Kante ist. Algorithmus von Prim Starte mit T =. Wähle Kante e mit minimalem Gewicht in G. a) T = T e b) Wähle jene Kante e in G die inzident zu einer Kante aus T ist und folgende Punkte erfüllt: Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 5 / 21
8 MST Algorithmus Definition (Inzident / Adjazent) Zwei Kanten sind zueinander inzident, falls sie einen gemeinsamen Knoten als Endpunkt haben. Zwei Knoten u und v sind adjazent falls (u,v) E. Eine Kante und ein Knoten sind zueinander inzident, falls der Knoten Endpunkt der Kante ist. Algorithmus von Prim Starte mit T =. Wähle Kante e mit minimalem Gewicht in G. a) T = T e b) Wähle jene Kante e in G die inzident zu einer Kante aus T ist und folgende Punkte erfüllt: 1) T e ist kreisfrei. 2) Unter allen Kanten die das erfüllen, hat e minimales Gewicht. c) Iteriere Punkt a) mit e in der Rolle von e. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 5 / 21
9 Prim Beispiel Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz ) Betriebliche Optimierung 6 / 21
10 Algorithmus von Prim Beweis durch Widerspruch Sei T der Baum vom Algorithmus von Prim und T ein MST mit w(t ) < w(t). Sei T k der Teilbaum der im k-ten Schritt von Prims Algorithmus entsteht. Wähle k als minimalen Index sodass T k T. Das bedeutet, dass die Kante e k = (a,b), die im k-ten Schritt hinzugefügt wird, nicht in T enthalten ist. O.B.D.A. sei a jener Knoten, der in T k 1 enthalten ist. Da T ein Baum ist, existiert ein eindeutiger Pfad P in T von a nach b und dieser enthält eine Kante f, die T k 1 mit dem Rest verbindet. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 7 / 21
11 Beweis durch Widerspruch Somit hätte Prim zur Iteration k 1 die Möglichkeit gehabt f zu wählen. Daraus folgt, dass w(f) w(e k ) ist. Bilde einen Baum T = e k (T \f). Somit ist w(t ) minimal da: w(t ) = w(t )+w(e k ) w(f) Wiederhole das Argument mit T. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 8 / 21
12 Metrisches TSP MST-Heuristik Sei T min ein MST in G = (V,E). Idee: Verwende T min um eine TSP Lösung zu konstruieren, die einer Gütegarantie von 1 2 genügt. Sei O der optimale Zielfunktionswert einer TSP-Instanz in G mit Tour T. Es gilt: O w(t min ) Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 9 / 21
13 Metrisches TSP MST-Heuristik Sei T min ein MST in G = (V,E). Idee: Verwende T min um eine TSP Lösung zu konstruieren, die einer Gütegarantie von 1 2 genügt. Sei O der optimale Zielfunktionswert einer TSP-Instanz in G mit Tour T. Es gilt: Beweis: O w(t min ) Für jede Kante e in der optimalen Tour T gilt, T \e ist ein Spannbaum. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 9 / 21
14 Metrisches TSP Definition (Eulerscher Kreis und Graph) Ein Eulerscher Kreis in G = (V,E) ist ein Kreis der jede Kante aus E genau einmal durchläuft. Ein Eulerscher Graph ist ein Graph mit Eulerschem Kreis. Graphen sind Eulersch genau dann wenn jeder Knoten eine gerade Anzahl an Nachbarn hat. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 10 / 21
15 Metrisches TSP Definition (Eulerscher Kreis und Graph) Ein Eulerscher Kreis in G = (V,E) ist ein Kreis der jede Kante aus E genau einmal durchläuft. Ein Eulerscher Graph ist ein Graph mit Eulerschem Kreis. Graphen sind Eulersch genau dann wenn jeder Knoten eine gerade Anzahl an Nachbarn hat. MST-Heuristik a) Konstruiere einen MST T min. b) Verdopple Kanten von T min und bilde Eulerschen Graphen T. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 10 / 21
16 Metrisches TSP Definition (Eulerscher Kreis und Graph) Ein Eulerscher Kreis in G = (V,E) ist ein Kreis der jede Kante aus E genau einmal durchläuft. Ein Eulerscher Graph ist ein Graph mit Eulerschem Kreis. Graphen sind Eulersch genau dann wenn jeder Knoten eine gerade Anzahl an Nachbarn hat. MST-Heuristik a) Konstruiere einen MST T min. b) Verdopple Kanten von T min und bilde Eulerschen Graphen T. c) Starte bei beliebigen Knoten von T und folge den Kanten im Sinne eines Eulerschen Kreises konstruiere Tour T MST mit T MST = zu Beginn. Markiere einen Knoten v, der zum ersten Mal besucht wird als besucht und setzte T MST = T MST v. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 10 / 21
17 Beispiel Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz ) Betriebliche Optimierung 11 / 21
18 1 2 -Approximation 1 2-Approximation auf metrischen Instanzen Behauptung: w(t MST ) 2 w(t min ) Beweis Sei (v i,v j ) eine Kante aus T MST und P der zugehörige Pfade in T zwischen v i und v j. Die Dreiecksungleichung liefert d(v i,v j ) e Pd(e) Der Algorithmus durchläuft aber jede Kante von T genau 2 mal und jede Kante aus T MST ist einem eindeutigen (bezüglich der verdoppelten Kanten) Pfad aus P zugeordnet. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 12 / 21
19 Christofides Heuristik Definition (Knotengrad deg(v)) Der Grad eines Knotens v in G = (V,E) ist definiert als: deg(v) := N G (v) Definition (k-regulär) Ein Graph G = (V,E) heißt k-regulär, falls deg(v) = k für alle v V. Definition (Matching) Ein Matching in G = (V,E) ist ein 1-regulärer Subgraph G von G. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 13 / 21
20 Beispiel Matching Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 14 / 21
21 Christofides Heuristik Fakten zum Matching Minimum Weight Matching in bipartiten Graphen: Ungarische Methode O(n 3 ) (H.W. Kuhn, D. König, J. Egervary [50er Jahre]) Minimum Weight Matching in allgemeinen Graphen: Blossom Algorithmus O(n 4 ) in Paths, Trees and Flowers by Jack Edmonds [1965] Minimum Weight Matching in allgemeinen Graphen: Schnellster Algorithmus O(m n) von S. Micali and V.V. Vazirani [1980] Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 15 / 21
22 Christofides Heuristik Die 2 3-Approximation von Christofides 1) Finde einen MST T min in G = (V,E). 2) Bestimme ein Minimum Weight Matching M in G zwischen allen Knoten die in T min ungeraden Grad haben - deren Anzahl ist gerade also ist M perfekt. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 16 / 21
23 Christofides Heuristik Die 2 3-Approximation von Christofides 1) Finde einen MST T min in G = (V,E). 2) Bestimme ein Minimum Weight Matching M in G zwischen allen Knoten die in T min ungeraden Grad haben - deren Anzahl ist gerade also ist M perfekt. 3) Setzte T = T min M und nimm gegebenenfalls doppelte Kanten (T ist ein Eulerscher Graph). 4) Konstruiere eine Eulerschen Kreis E T in T. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 16 / 21
24 Christofides Heuristik Die 2 3-Approximation von Christofides 1) Finde einen MST T min in G = (V,E). 2) Bestimme ein Minimum Weight Matching M in G zwischen allen Knoten die in T min ungeraden Grad haben - deren Anzahl ist gerade also ist M perfekt. 3) Setzte T = T min M und nimm gegebenenfalls doppelte Kanten (T ist ein Eulerscher Graph). 4) Konstruiere eine Eulerschen Kreis E T in T. 5) Konstruiere eine TSP Tour T C indem ausgehend von einem beliebigen Knoten E T abgefahren wird. Wird ein Knoten v zum ersten Mal besucht setzte T C = T C v. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 16 / 21
25 Beispiel Christofides MSTT min Matching M in G T = T min M Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz ) Betriebliche Optimierung 17 / 21
26 Beispiel Christofides Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz ) Betriebliche Optimierung 18 / 21
27 2 3 -Approximation 2 3-Approximation auf metrischen Instanzen Behauptung: w(t C ) 3 2 O Beweis Wir wissen: : w(t C ) w(t min )+w(m) (Dreiecksungleichung) O w(t min ) Es bleibt zu zeigen, dass O 2w(M) Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 19 / 21
28 2 3 -Approximation 2 3-Approximation auf metrischen Instanzen Behauptung: w(t C ) 3 2 O Beweis Wir wissen: : w(t C ) w(t min )+w(m) (Dreiecksungleichung) O w(t min ) Es bleibt zu zeigen, dass O 2w(M) Sei nun T OPT eine optimale Tour in G mit w(t OPT ) = O und sei U die Menge aller Knoten für die im Christofides Algorithmus unter Punkt 2) ein Matching bestimmt wurde. Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 19 / 21
29 2 3 -Approximation Beweis Sortiere die Knoten in U in der Reihenfolge wie sie von T OPT durchlaufen werden als u 1,u 2...u 2k Betrachte nun eine Tour T U die nur durch U läuft und wie folgt konstruiert wird: entferne aus T OPT alle Kanten, die inzident zu Knoten aus V \U sind und füge die Kanten zwischen den verbleibenden Pfaden in der Reihenfolge wie die Tour durchlaufen wird hinzu. Wir wissen aufgrund der Dreiecksungleichung : w(t U ) w(t OPT ) Betrachte die Matchings M 1 = {(u 1,u 2 ),(u 3,u 4 ),...,(u 2k 1,u 2k )} und M 2 = {(u 2,u 3 ),(u 4,u 5 ),...,(u 2k,u 1 )}. Wir wissen T U = M 1 M 2 und w(m i ) w(m) und somit w(t U ) 2w(M). Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 20 / 21
30 Beispiel TOPT mitu TU M1 und M2 Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 21 / 21
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