Algorithmische Graphentheorie

Transkript

1 1 Algorithmische Graphentheorie Sommersemester Vorlesung Matchings / Paarungen II Kombinatorischer Algorithmus, Anwendung für Handlungsreisende, LP-Runden Dr. Joachim Spoerhase Prof. Dr. Alexander Wolff

2 2-9 Alternierende und augmentierende Wege Ziel: Bsp. Besseres Problemverständnis kombinatorische (d.h. nicht flussbasierte) Algorithmen für größte Matchings. W G = (V, E) unger. Graph M E Matching in G. Wie können wir ein gegebenes (nicht-größtes) Matching vergrößern? enthält abwechselnd M- und nicht-m-kanten Finde einen (M-) alternierenden Weg W, dessen Endknoten M-frei sind. So ein Weg heißt (M-) augmentierend. Setze M = W M, wobei A B = (A B) \ (A B)

3 2-13 Alternierende und augmentierende Wege Ziel: Bsp. Besseres Problemverständnis kombinatorische (d.h. nicht flussbasierte) Algorithmen für größte Matchings. W G = (V, E) unger. Graph M E Matching in G. Wie können wir ein gegebenes (nicht-größtes) Matching vergrößern? enthält abwechselnd M- und nicht-m-kanten Finde einen (M-) alternierenden Weg W, dessen Endknoten M-frei sind. So ein Weg heißt (M-) augmentierend. Setze M = W M, wobei A B = (A B) \ (A B) Beob. Augmentierende Wege haben ungerade Länge. M ist um 1 Kante größer als M (da M zusätzlich die Endknoten von W paart).

4 Satz von Berge Satz. Sei G = (V, E) Graph, M E Matching in G. M ist ein größtes Matching in G es gibt keinen M-augmentierenden Weg. Beweis. Klar: jeder augm. Weg würde M vergrößern Annahme: M ist kein größtes Matching. Paris, 1990 c Adrian Bondy 3 Claude Berge ( ) Es gibt ein Matching M mit M > M. Betrachte G = (V, M M ). Beobachtung: Max-Grad(G ) = 2. G besteht aus einfachen alt. Wegen und Kreisen. Alle Kreise in G haben gerade Länge. Ex. alt. Weg mit mehr Kanten aus M als aus M. Dieser Weg ist M-augm.

5 4 Zurück zu: größte Matchings in bip. Graphen Frage: Idee: Wie finden wir augmentierende Wege? B A G = (A B, E), M E Richte M-Kanten nach unten, nicht-m-kanten nach oben. Augmentierende Wege in G } G = (A B, E ) Definiere G = ( A B {s}, E {sa a A, M-frei} ) Breitensuche BFS(G, s) erreicht einen M-freien Endknoten in B G G gerichtete Wege mit M-freien Endknoten in G G hat M-augm. Weg.

6 5 Ergebnis Algo: Satz. M :=. Führe BFS V /2 mal aus bis kein freier Knoten in B mehr gefunden wird. Gib größtes Matching zurück. In einem bipartiten Graphen G = (V, E) lässt sich in O(V E) Zeit ein größtes Matching bestimmen.

7 6 Wiederholung Tree-Doubling für -TSP Problem: Satz. Beweis. 2. Analyse c(alg) c(ek) Metrisches Traveling Salesperson Problem ( -TSP) Gegeben: unger. vollständiger Graph G = (V, E) mit Kantenkosten c : E R 0, die die Dreiecksungleichung erfüllen. Gesucht: Hamiltonkreis in G mit minimalen Kosten. Es gibt eine 2-Approximation für -TSP. = 2 c(msb) 2 OPT 1. Algorithmus Berechne MSB von G. Verdopple MSB eulersch! Durchlaufe Eulerkreis. Überspringe besuchte Knoten. Füge Abkürzungen ein. Opt. TSP-Tour minus eine Kante ist (i.a. nicht minimaler) Spannbaum!! Die Kunst der unteren Schranke

8 7-4 Christofides-Algorithmus Ermittle einen minimalen Spannbaum B für G Betrachte G[U] mit U Menge der Knoten ungeraden Grades in B Ermittle kostenminimales perfektes Matching M für G[U] (ex. da U gerade und G[U] vollständig) M ist perfektes Matching mit minimalen Kosten c(m) := e M c(e)

9 7-5 Christofides-Algorithmus Ermittle einen minimalen Spannbaum B für G Betrachte G[U] mit U Menge der Knoten ungeraden Grades in B Ermittle kostenminimales perfektes Matching M für G[U] (ex. da U gerade und G[U] vollständig) Berechne aus eulerschem Graphen B M erst Eulertour und dann eine Rundtour T wie bei Tree-Doubling

10 8 Analyse Christofides Satz. Christofides liefert eine 3/2-Approximation für -TSP. Beweis. Genügt zu zeigen, dass c(b M) 3/2 OPT, da c(t ) c(b M) Da c(b) OPT genügt zu zeigen, dass c(m) 1/2 OPT Optimale Tour T durch Abkürzen Tour T auf G[U] c(t ) c(t ) = OPT Zerlege in T in zwei disjunkte perfekte Matchings M, M für G[U] o.e. c(m) c(m ) c(m) 1/2 c(t ) 1/2 OPT

11 9 Die Analyse ist scharf n/2 MSB Matching Christofides mit Kosten n + n/2 1 OPT = n (n + n/2 1)/n 3/2 unbeschriftete Kanten haben Länge 1

12 10 Kostenminimale perfekte Matchings Def. Gegeben sei ein vollständiger Graph G = (V, E) mit Kantenkosten c : E R 0. Gesucht ist ein perfektes Matching M mit minimalen Kosten c(m) = e M c(e). Satz. Ein kostenminimales perfektes Matching kann in O(V 3 ) Zeit berechnet werden. Beweis. Siehe (Edmonds 65); ziemlich kompliziert Betrachten Problem in bipartiten Graphen G = (A B, E)

13 Kostenminimale perfekte Matchings in bipartiten Graphen 11 Aufgabe: Formulieren Sie ein ILP! x 0.5 min s.t. Effizient lösbar? c uv x uv x uv = 1 x uv {0, 1} x uv 0 u A B uv E Betrachte sogenannte LP-Relaxierung effizient lösbar! Problem: fraktionale Lösungen

14 12 LP-Runden min s.t. c uv x uv x uv 0 x uv = 1 u A B uv E Betrachte fraktionale Kante uv (d.h. 0 < x uv < 1) u und v sind jeweils zu weiterer fraktionaler Kante adjazent erweitere Pfad iterativ bis fraktionaler Kreis K = (u 1,..., u 2k ) gefunden u v u 1 K u 2k Kreis gerade, da Graph bipartit (siehe ÜA)

15 13 LP-Runden Fortsetzung (I) min s.t. c uv x uv x uv = 1 u A B x uv 0 uv E zerlege K in disjunkte Matchings M 1, M 2 o.e. c(m 1 ) c(m 2 ) wähle ɛ := min{ x e e M 2 } setze x e := x e + ɛ für x e M 1 setze x e := x e ɛ für x e M 2 x e := x e sonst Resultierender Lösungsvektor x zulässig K x e = 0 wird für ein e M 2 Kostenänderung ɛ c(m 1 ) ɛ c(m 2 ) 0

16 LP-Runden Fortsetzung (II) min s.t. c uv x uv x uv = 1 x uv 0 uv E wiederhole vorige Schritte solange fraktionale Kanten existieren Beobachtung: Integrale Kanten werden nicht weiter verändert Kostenfunktion erhöht sich nicht u A B Algorithmus terminiert nach E Iterationen mit ganzzahliger und optimaler (!) Lösung 14 Satz. Ein kostenminimales perfektes Matching eines bipartiten Graphen lässt sich in Polynomialzeit ermitteln.

17 Extrempunkt-Lösungen min s.t. x uv 0 c uv x uv x uv = 1 u A B uv E zerlege K in disjunkte Matchings M 1, M 2 wähle ɛ := min{ x e e M 1 M 2 } setze x e := x e + ɛ für x e M 1 setze x e := x e ɛ für x e M 2 setze x e := x e ɛ für x e M 1 setze x e := x e + ɛ für x e M 2 x e = x e = x e sonst Lösungen x, x zulässig x = 1 2 (x + x ) x Konvexkombination von x, x K 15

18 Extrempunkt-Lösungen min s.t. x uv 0 c uv x uv x uv = 1 u A B uv E x = 1 2 (x + x ) x Konvexkombination von x, x x ist kein Extrempunkt des Lösungsraums (konvexes Polytop) von (1) x Satz. Das Polytop (1) für bipartite x Matchings hat ganzzahlige Extrempunkte. Clou: Gängige LP-Algorithmen terminieren mit Extrempunkt-Lösungen (sofern existent) und erfordern für (1) kein anschließendes LP-Runden!! (1) x 16 Extrempunkte