Algorithmische Graphentheorie

Transkript

1 Dr. Joachim Spoerhase und Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Algorithmische Graphentheorie Sommersemester Vorlesung Planaritätstest

2 Planaritätstest Satz. [Hopcroft & Tarjan, J. ACM 1974] Sei G ein einfacher Graph mit n Knoten. Dann kann man in O(n) Zeit entscheiden, ob G planar ist. John Edward Hopcroft *1939, Seattle, WA, U.S.A. Robert Endre Tarjan *1948 Pomona, CA, USA

3 Planaritätstest Satz. [Hopcroft & Tarjan, J. ACM 1974] Sei G ein einfacher Graph mit n Knoten. Dann kann man in O(n) Zeit entscheiden, ob G planar ist. John Edward Hopcroft *1939, Seattle, WA, U.S.A. Robert Endre Tarjan *1948 Pomona, CA, USA kompliziert behandeln einfacheren Algorithmus mit Laufzeit O(n 3 ).

4 Planaritätstest Satz. [Auslander & Parter 1961] Sei G ein einfacher Graph mit n Knoten. Dann kann man in O(n 3 ) Zeit entscheiden, ob G planar ist.

5 Planaritätstest Satz. [Auslander & Parter 1961] Sei G ein einfacher Graph mit n Knoten. Dann kann man in O(n 3 ) Zeit entscheiden, ob G planar ist. Beweis. G planar jeder seiner Zusammenhangskomponenten planar

6 Planaritätstest Satz. [Auslander & Parter 1961] Sei G ein einfacher Graph mit n Knoten. Dann kann man in O(n 3 ) Zeit entscheiden, ob G planar ist. Beweis. G planar jeder seiner Zusammenhangskomponenten planar können uns o.e. auf zusammenhängende Graphen beschränken

7 Zweifacher Knotenzusammenhang Behauptung. G planar jede seiner Zweifach- Knotenzusammenhangskomponenten (ZZK) ist planar

8 Zweifacher Knotenzusammenhang Behauptung. G planar jede seiner Zweifach- Knotenzusammenhangskomponenten (ZZK) ist planar bzgl. Inklusion maximale Knotenmenge K V für die G[K] zweifach knotenzusammenhängend ist

9 Zweifacher Knotenzusammenhang Behauptung. G planar jede seiner Zweifach- Knotenzusammenhangskomponenten (ZZK) ist planar ZZKs sind über Schnittknoten verbunden und bilden sog. Zwei-Block-Baum

10 Zweifacher Knotenzusammenhang Behauptung. G planar jede seiner Zweifach- Knotenzusammenhangskomponenten (ZZK) ist planar ZZKs sind über Schnittknoten verbunden und bilden sog. Zwei-Block-Baum

11 Zweifacher Knotenzusammenhang Behauptung. G planar jede seiner Zweifach- Knotenzusammenhangskomponenten (ZZK) ist planar ZZKs sind über Schnittknoten verbunden und bilden sog. Zwei-Block-Baum

12 Zweifacher Knotenzusammenhang Behauptung. G planar jede seiner Zweifach- Knotenzusammenhangskomponenten (ZZK) ist planar ZZKs sind über Schnittknoten verbunden und bilden sog. Zwei-Block-Baum betrachten o.e. zweifach knotenzusghd. Graphen

13 Strategie Ziel. Planaritätstest für zweifach knotenzusammenhängende Graphen

14 Strategie Ziel. Planaritätstest für zweifach knotenzusammenhängende Graphen Strategie. berechne separierenden Kreis und zerlege Graph in Teilstücke teste Teilstücke rekursiv

15 Teilstück Def. Sei C ein Kreis und e, e Kanten die nicht auf C liegen. Die Kanten e und e heißen äquivalent (bezüglich C), wenn sie durch einen Pfad verbunden sind, der C nicht berührt. Die resultierenden Äquivalenzklassen heißen Teilstücke (bezüglich C).

16 Teilstück Def. Sei C ein Kreis und e, e Kanten die nicht auf C liegen. Die Kanten e und e heißen äquivalent (bezüglich C), wenn sie durch einen Pfad verbunden sind, der C nicht berührt. Die resultierenden Äquivalenzklassen heißen Teilstücke (bezüglich C). C

17 Teilstücke Teilstück Def. Sei C ein Kreis und e, e Kanten die nicht auf C liegen. Die Kanten e und e heißen äquivalent (bezüglich C), wenn sie durch einen Pfad verbunden sind, der C nicht berührt. Die resultierenden Äquivalenzklassen heißen Teilstücke (bezüglich C). C

18 Teilstücke Teilstück Def. Sei C ein Kreis und e, e Kanten die nicht auf C liegen. Die Kanten e und e heißen äquivalent (bezüglich C), wenn sie durch einen Pfad verbunden sind, der C nicht berührt. Die resultierenden Äquivalenzklassen heißen Teilstücke (bezüglich C). Jedes Teilstück hat mdst. zwei Anknüpfungspunkte C

19 Separierender Kreis Def. Ein Kreis C heißt separierend, wenn er mindestens zwei Teilstücke induziert. separierend nicht separierend C C

20 Existenz separierender Kreis Lem 1. Sei C ein nicht-separierender Kreis mit Teilstück P. Falls P kein Pfad ist, dann besitzt G einen separierenden Kreis C, der aus einem Teilpfad von C und einem Pfad in P zwischen zwei Anknüpfungspunkten von P besteht. Beweis. C

21 Existenz separierender Kreis Lem 1. Sei C ein nicht-separierender Kreis mit Teilstück P. Falls P kein Pfad ist, dann besitzt G einen separierenden Kreis C, der aus einem Teilpfad von C und einem Pfad in P zwischen zwei Anknüpfungspunkten von P besteht. v Beweis. C seien u, v aufeinanderfolgende Anknüpfungspunkte von P in der zyklischen Reihenfolge von C u

22 Existenz separierender Kreis Lem 1. Sei C ein nicht-separierender Kreis mit Teilstück P. Falls P kein Pfad ist, dann besitzt G einen separierenden Kreis C, der aus einem Teilpfad von C und einem Pfad in P zwischen zwei Anknüpfungspunkten von P besteht. v Beweis. seien u, v aufeinanderfolgende γ C Anknüpfungspunkte von P in der zyklischen Reihenfolge von C betr. u-v-pfad γ auf C ohne innere Anknüpfp. u

23 Existenz separierender Kreis Lem 1. Sei C ein nicht-separierender Kreis mit Teilstück P. Falls P kein Pfad ist, dann besitzt G einen separierenden Kreis C, der aus einem Teilpfad von C und einem Pfad in P zwischen zwei Anknüpfungspunkten von P besteht. v Beweis. π γ C seien u, v aufeinanderfolgende Anknüpfungspunkte von P in der zyklischen Reihenfolge von C betr. u-v-pfad γ auf C ohne innere Anknüpfp. u sei π ein u-v-pfad in P

24 Existenz separierender Kreis Lem 1. Sei C ein nicht-separierender Kreis mit Teilstück P. Falls P kein Pfad ist, dann besitzt G einen separierenden Kreis C, der aus einem Teilpfad von C und einem Pfad in P zwischen zwei Anknüpfungspunkten von P besteht. v Beweis. π γ C seien u, v aufeinanderfolgende Anknüpfungspunkte von P in der zyklischen Reihenfolge von C betr. u-v-pfad γ auf C ohne innere Anknüpfp. u sei π ein u-v-pfad in P betrachte Kreis C := C + π γ

25 Existenz separierender Kreis Lem 1. Sei C ein nicht-separierender Kreis mit Teilstück P. Falls P kein Pfad ist, dann besitzt G einen separierenden Kreis C, der aus einem Teilpfad von C und einem Pfad in P zwischen zwei Anknüpfungspunkten von P besteht. v Beweis. π γ C seien u, v aufeinanderfolgende Anknüpfungspunkte von P in der zyklischen Reihenfolge von C betr. u-v-pfad γ auf C ohne innere Anknüpfp. u sei π ein u-v-pfad in P betrachte Kreis C := C + π γ γ ist Teilstück bzgl. C

26 Existenz separierender Kreis Lem 1. Sei C ein nicht-separierender Kreis mit Teilstück P. Falls P kein Pfad ist, dann besitzt G einen separierenden Kreis C, der aus einem Teilpfad von C und einem Pfad in P zwischen zwei Anknüpfungspunkten von P besteht. v Beweis. π γ C seien u, v aufeinanderfolgende Anknüpfungspunkte von P in der e zyklischen Reihenfolge von C betr. u-v-pfad γ auf C ohne innere Anknüpfp. u sei π ein u-v-pfad in P betrachte Kreis C := C + π γ γ ist Teilstück bzgl. C falls P kein Pfad ex. Kante e E(P) E(π)

27 Existenz separierender Kreis Lem 1. Sei C ein nicht-separierender Kreis mit Teilstück P. Falls P kein Pfad ist, dann besitzt G einen separierenden Kreis C, der aus einem Teilpfad von C und einem Pfad in P zwischen zwei Anknüpfungspunkten von P besteht. v Beweis. π γ C seien u, v aufeinanderfolgende Anknüpfungspunkte von P in der e zyklischen Reihenfolge von C δ betr. u-v-pfad γ auf C ohne innere Anknüpfp. u sei π ein u-v-pfad in P betrachte Kreis C := C + π γ γ ist Teilstück bzgl. C falls P kein Pfad ex. Kante e E(P) E(π) Teilstück δ das e enthält ist verschieden von γ

28 Existenz separierender Kreis Lem 1. Sei C ein nicht-separierender Kreis mit Teilstück P. Falls P kein Pfad ist, dann besitzt G einen separierenden Kreis C, der aus einem Teilpfad von C und einem Pfad in P zwischen zwei Anknüpfungspunkten von P besteht. v Beweis. π γ C seien u, v aufeinanderfolgende Anknüpfungspunkte von P in der e zyklischen Reihenfolge von C δ betr. u-v-pfad γ auf C ohne innere Anknüpfp. u sei π ein u-v-pfad in P betrachte Kreis C := C + π γ γ ist Teilstück bzgl. C falls P kein Pfad ex. Kante e E(P) E(π) Teilstück δ das e enthält ist verschieden von γ C sep.

29 Einander störende Teilstücke G planar jedes Teilstück wird entweder komplett im Inneren oder im Äußeren von C eingebettet

30 Einander störende Teilstücke G planar jedes Teilstück wird entweder komplett im Inneren oder im Äußeren von C eingebettet Beob. zwei Teilstücke P Q können auf der gleichen Seite von C eingebettet werden es exisiert ein Teilpfad γ von C, so dass γ alle Anküpfpunkte von Q enthält aber kein innerer Knoten von γ Anknüpfpunkt von P ist Q P γ

31 Einander störende Teilstücke G planar jedes Teilstück wird entweder komplett im Inneren oder im Äußeren von C eingebettet Beob. zwei Teilstücke P Q können auf der gleichen Seite von C eingebettet werden es exisiert ein Teilpfad γ von C, so dass γ alle Anküpfpunkte von Q enthält aber kein innerer Knoten von γ Anknüpfpunkt von P ist Def. zwei Teilstücke die nicht auf der gleichen Seite von C eingebettet werden können stören einander Q P γ

32 Störgraph Def. Der Störgraph I (bezüglich C) hat als Knotemenge die Menge der Teilstücke. Zwei Teilstücke sind adjazent genau dann, wenn sie einander stören.

33 Störgraph Def. Der Störgraph I (bezüglich C) hat als Knotemenge die Menge der Teilstücke. Zwei Teilstücke sind adjazent genau dann, wenn sie einander stören.

34 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist.

35 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist. Beweis. Übung.

36 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist. Beweis. Übung.

37 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist. Beweis. Übung. planar

38 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist. Beweis. Übung. innen planar außen

39 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist. Beweis. Übung. innen planar außen

40 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist. Beweis. Übung. C

41 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist. Beweis. Übung. C

42 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist. Beweis. Übung. C nicht planar

43 Bipartiter Störgraph Lem 2. Sei G ein Graph mit separierendem Kreis C und Störgraphen I. Der Graph G ist genau dann planar, wenn (i) für jedes Teilstück P der Graph C + P planar und (ii) der Störgraph I bipartit ist. Beweis. Übung. C K 3,3 nicht planar

44 Berechnung Störgraph Beob. Die Nachbarn eines Teilstücks P im Störgraphen lassen sich in O(n) bestimmen, wenn die Teilstücke bekannt sind. P C

45 Berechnung Störgraph Beob. Die Nachbarn eines Teilstücks P im Störgraphen lassen sich in O(n) bestimmen, wenn die Teilstücke bekannt sind P nummeriere Knoten von C mit Nummern {0,..., 2k 1} wie abgebildet C

46 Berechnung Störgraph Beob. Die Nachbarn eines Teilstücks P im Störgraphen lassen sich in O(n) bestimmen, wenn die Teilstücke bekannt sind Q Q 5 P C nummeriere Knoten von C mit Nummern {0,..., 2k 1} wie abgebildet Stück Q stört P nicht alle Anknüpfpunkte von Q liegen in einem Intervall [2i, (2i + 2) mod (2k + 2)]

47 Berechnung Störgraph Beob. Die Nachbarn eines Teilstücks P im Störgraphen lassen sich in O(n) bestimmen, wenn die Teilstücke bekannt sind. Störgraph lässt sich dann in O(n 2 ) Zeit aufbauen Q Q 5 P C nummeriere Knoten von C mit Nummern {0,..., 2k 1} wie abgebildet Stück Q stört P nicht alle Anknüpfpunkte von Q liegen in einem Intervall [2i, (2i + 2) mod (2k + 2)]

48 Planaritätstest PlanarityTest(zweifach-zsghd G = (V, E), separ. Kreis C) berechne Teilstücke bzgl. C foreach Teilstück P das kein Pfad ist do G := C + P C := C γ + π wie in Lem 1 if PlanarityTest(G, C ) = false then return false Berechne Störgraphen I if I ist bipartit then return true else return false

49 Planaritätstest PlanarityTest(zweifach-zsghd G = (V, E), separ. Kreis C) berechne Teilstücke bzgl. C foreach Teilstück P das kein Pfad ist do G := C + P C := C γ + π wie in Lem 1 if PlanarityTest(G, C ) = false then return false Berechne Störgraphen I if I ist bipartit then return true else return false Korrektheit?

50 Planaritätstest Übung: falls G keinen separierenden Kreis hat ist G planar PlanarityTest(zweifach-zsghd G = (V, E), separ. Kreis C) berechne Teilstücke bzgl. C foreach Teilstück P das kein Pfad ist do G := C + P C := C γ + π wie in Lem 1 if PlanarityTest(G, C ) = false then return false Berechne Störgraphen I if I ist bipartit then return true else return false Korrektheit?

51 Planaritätstest Übung: falls G keinen separierenden Kreis hat ist G planar PlanarityTest(zweifach-zsghd G = (V, E), separ. Kreis C) berechne Teilstücke bzgl. C foreach Teilstück P das kein Pfad ist do G := C + P C := C γ + π wie in Lem 1 if PlanarityTest(G, C ) = false then return false Berechne Störgraphen I if I ist bipartit then return true else return false Korrektheit? Übung: zweifach knotenzusammenhängend

52 Planaritätstest Übung: falls G keinen separierenden Kreis hat ist G planar PlanarityTest(zweifach-zsghd G = (V, E), separ. Kreis C) berechne Teilstücke bzgl. C foreach Teilstück P das kein Pfad ist do G := C + P C := C γ + π wie in Lem 1 if PlanarityTest(G, C ) = false then return false Berechne Störgraphen I if I ist bipartit then return true else return false Übung: zweifach knotenzusammenhängend Korrektheit? per Induktion über E mit Hilfe von Lem 2

53 Laufzeit Falls G mehr als 3n 6 Kanten hat, ist G nicht planar

54 Laufzeit Falls G mehr als 3n 6 Kanten hat, ist G nicht planar G hat o.e. O(n) viele Kanten

55 Laufzeit Falls G mehr als 3n 6 Kanten hat, ist G nicht planar G hat o.e. O(n) viele Kanten Berechnung der Teilstücke in O(n) durch Modifikation von BFS (Knoten auf C werden nicht exploriert)

56 Laufzeit Falls G mehr als 3n 6 Kanten hat, ist G nicht planar G hat o.e. O(n) viele Kanten Berechnung der Teilstücke in O(n) durch Modifikation von BFS (Knoten auf C werden nicht exploriert) Berechnung des Störgraphen in O(n 2 )

57 Laufzeit Falls G mehr als 3n 6 Kanten hat, ist G nicht planar G hat o.e. O(n) viele Kanten Berechnung der Teilstücke in O(n) durch Modifikation von BFS (Knoten auf C werden nicht exploriert) Berechnung des Störgraphen in O(n 2 ) jeder Aufruf (ohne Rekursion) in O(n 2 ) Zeit

58 Laufzeit Falls G mehr als 3n 6 Kanten hat, ist G nicht planar G hat o.e. O(n) viele Kanten Berechnung der Teilstücke in O(n) durch Modifikation von BFS (Knoten auf C werden nicht exploriert) Berechnung des Störgraphen in O(n 2 ) jeder Aufruf (ohne Rekursion) in O(n 2 ) Zeit Anzahl der Aufrufe ist O(n): Assoziiere mit jedem Aufruf eine Kante e C C

59 Laufzeit Falls G mehr als 3n 6 Kanten hat, ist G nicht planar G hat o.e. O(n) viele Kanten Berechnung der Teilstücke in O(n) durch Modifikation von BFS (Knoten auf C werden nicht exploriert) Berechnung des Störgraphen in O(n 2 ) jeder Aufruf (ohne Rekursion) in O(n 2 ) Zeit Anzahl der Aufrufe ist O(n): Assoziiere mit jedem Aufruf eine Kante e C C Gesamtlaufzeit O(n 3 )