Sichtbarkeitsgraphen. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie

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1 Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg

2 Bewegungslanung für Roboter Ideen?? Problem: Gegeben ein (unktförmiger) Roboter an Position start in einem Gebiet mit olygonalen Hindernissen finde einen möglichst kurzen Weg zum Ziel ziel um die Hindernisse herum.

3 Erste Idee: Kürzeste Wege in Grahen start ziel erstelle Traezzerlegung Lokalisiere Start und Ziel entferne Segmente in Hindernissen kürzester Weg mit Dijkstra in G Knoten in Traezen und Vertikalen euklidisch gewichteter Dualgrah G mit Viaknoten auf Vertikalen

4 Erste Idee: Kürzeste Wege in Grahen Laufzeit? start ziel erstelle Traezzerlegung Lokalisiere Start und Ziel kein kürzester Weg! entferne Segmente in Hindernissen kürzester Weg mit Dijkstra in G Knoten in Traezen und Vertikalen euklidisch gewichteter Dualgrah G mit Viaknoten auf Vertikalen

5 Kürzeste Wege in Polygongebieten Lemma 1: Für eine Menge S von disjunkten Polygonen in R 2 und zwei Punkte s und t außerhalb S ist jeder kürzeste st-weg in R 2 \ S ein Polygonzug dessen innere Knoten Knoten von S sind. s t Beweisskizze:

6 Sichtbarkeitsgrah Gegeben sei eine Menge S disjunkter offener Polygone......mit Knotenmenge V (S). s t Def.: Dann ist G vis (S) = (V (S), E vis (S)) der Sichtbarkeitsgrah von S mit E vis (S) = {uv u, v V (S) und u sieht v} und w(uv) = uv. Dabei gilt u sieht v : uv C free = R 2 \ S Definiere S = S {s, t} und G vis (S ) analog. Lemma 1 Der kürzeste st-weg, der die Hindernisse in S vermeidet, entsricht einem kürzesten Weg in G vis (S ).

7 Algorithmus ShortestPath(S, s, t) n = V (S), m = E vis (S) Inut: Hindernismenge S, Punkte s, t R 2 \ S Outut: kürzester kollisionsfreier st-weg in S 1 G vis VisibilityGrah(S {s, t}) O(n 2 log? n) 2 foreach uv E vis (S) do w(uv) uv O(m) 3 return Dijkstra(G vis, w, s, t) O(n log n + m) Satz 1: Ein kürzester st-weg in einem Gebiet mit Polygon-Hindernissen mit n Kanten kann in O(n 2 log n) Zeit berechnet werden. O(n 2 log n)

8 Sichtbarkeitsgrah berechnen VisibilityGrah(S) Inut: Menge disjunkter Polygone S Outut: Sichtbarkeitsgrah G vis (S) 1 E 2 foreach v V (S) do 3 W VisibleVertices(v, S) 4 E E {vw w W } 5 return E

9 Sichtbare Knoten berechnen VisibleVertices(, S) Aufgabe: Gegeben und S finde in O(n log n) Zeit alle von aus sichtbaren Knoten in V (S)!

10 Sichtbare Knoten berechnen e 2 VisibleVertices(, S) r { + k ( 1 0) k R + 0 } I {e E(S) e r } v e 1 v e 3 e 4 e 6 r T balancedbinarytree(i) e 5 w 1,..., w n sortiere V (S) im UZS v v : v < v or ( v = v and v < v ) T e 2 e 4 e 5 Swee-Verfahren mit Rotation e 1 e 3 e 5 e 6 e 1 e 2 e 3 e 4

11 Sichtbare Knoten berechnen e 2 VisibleVertices(, S) r { + k ( 1 0) k R + 0 } I {e E(S) e r } v e 1 v e 3 e 4 e 6 r T balancedbinarytree(i) e 5 w 1,..., w n sortiere V (S) im UZS W for i = 1 to n do if Visible(, w i ) then W W {w i } füge in T zu w i inzidente Kante aus w + i ein lösche aus T zu w i inzidente Kanten aus return W w i + w i w i w i

12 Fallunterscheidung Sichtbarkeit Visible(, w i ) if w i schneidet Polygon von w i then return false if i = 1 oder w i 1 w i then e Kante im linkesten Blatt von T if e nil und w i e then return false else return true else if w i 1 nicht sichtbar then return false else e e suche Kante in T, die w i 1 w i schneidet if e nil then return false else return true w i 1 w i 1 w i 1wi w i w i w i

13 Zusammenfassung Satz 1: Ein kürzester st-weg in einem Gebiet mit Polygon-Hindernissen mit n Kanten kann in O(n 2 log n) Zeit berechnet werden. Beweis: Korrektheit folgt direkt aus Lemma 1 Laufzeit: VisibleVertices benötigt O(n log n) Zeit ro Knoten n Aufrufe von VisibleVertices

14 Diskussion Roboter sind meistens nicht unktförmig... Für den Fall von Robotern, deren Grundfläche ein konvexes Polygon ist und die nicht rotieren können, geht es trotzdem durch geeignete Vergrößerung der Hindernisse ( Minkowski-Summe, Ka. 13 in [BCKO08]). Geht es schneller als O(n 2 log n)? Ja, durch Ausnutzung der Dualität und einen simultanen Rotations-Swee für alle Punkte im dualen Geradenarrangement geht es auch in O(n 2 ). Da G vis Ω(n 2 ) Kanten haben kann, lässt sich der Sichtbarkeitsgrah im Allgemeinen auch nicht schneller konstruieren. Es gibt jedoch einen ausgabesensitiven O(n log n + m)-algorithmus. [Ghosh, Mount 1987] Hindernis

15 Diskussion Roboter sind meistens nicht unktförmig... Für den Fall von Robotern, deren Grundfläche ein konvexes Polygon ist und die nicht rotieren können, geht es trotzdem durch geeignete Vergrößerung der Hindernisse ( Minkowski-Summe, Ka. 13 in [BCKO08]). Geht es schneller als O(n 2 log n)? Ja, durch Ausnutzung der Dualität und einen simultanen Rotations-Swee für alle Punkte im dualen Geradenarrangement geht es auch in O(n 2 ). Da G vis Ω(n 2 ) Kanten haben kann, lässt sich der Sichtbarkeitsgrah im Allgemeinen auch nicht schneller konstruieren. Es gibt jedoch einen ausgabesensitiven O(n log n + m)-algorithmus. [Ghosh, Mount 1987] Sucht man jedoch nur einen kürzesten Euklidischen st-weg, gibt es einen Algorithmus mit otimaler Laufzeit O(n log n). [Hershberger, Suri 1999] Hindernis