Algorithmen und Datenstrukturen

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1 Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/ Vorlesung Nächstes Paar Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I

2 Problem: Gegeben: Menge P von n Punkten in der Ebene, jeder Punkt p P als (x p, y p ). Finde: Punktepaar {p, q} P mit kleinstem Abstand. Definition: Euklidischer Abstand von p und q ist d(p, q) = (x p x q ) 2 + (y p y q ) 2. Lösung: (Rohe Gewalt) Laufzeit: Θ(n 2 ) Gehe durch alle ( n 2) Punktepaare und berechne ihren Abstand. Gib das Paar mit kleinstem Abstand zurück.

3 Mach s besser! Entwurfsparadigma: inkrementell? randomisiert? Teile und Herrsche?! Spezialfall: Lösung: Sortiere (nach x-koordinate). Berechne Abstände aller aufeinanderfolgender Punktepaare. Bestimme das Minimum dieser Abstände. Strukturelle Einsicht: Kandidatenmenge der Größe n 1, die gesuchtes Objekt enthält Vgl. Übg.-Blatt 7: Dagoberts Sterne

4 p 1 P links P rechts d rechts d links p n p n/2 1. Teile 2. Herrsche 3. Kombiniere Anz. (, )-Kandidaten für das nächste Paar?

5 p 1 P links P rechts d rechts d = min{d links, d rechts } d links p n p n/2 1. Teile 2. Herrsche 3. Kombiniere d d

6 p 1 P links P rechts d rechts d = min{d links, d rechts } d links p n p n/2 1. Teile 2. Herrsche 3. Kombiniere

7 d d d = min{d links, d rechts } Wieviele grüne Punkte können im dunkelgrauen (d 2d)-Rechteck liegen? d rechts d d

8 d d d = min{d links, d rechts } Wieviele grüne Punkte können im dunkelgrauen (d 2d)-Rechteck liegen? d Packungsargument: maximal 6! Anz. (, )-Kandidaten für das nächste Paar: O(n). Und finden?

9 Algorithmus T (n) = { Laufzeit des rekursiven Teils, d.h. ohne Vorverarbeitung (1.) 1. Sortiere P nach x-koordinate p 1,..., p n mit x 1 x n 2. Teile: P links = {p 1,..., p n/2 }, P rechts = P \ P links 3. Herrsche: bestimme rekursiv kleinsten Abstand d links v. Paaren in P links 4. Kombiniere: d = min{d links, d rechts } d rechts sortiere P links und P rechts nach y-koordinate gehe gleichzeitig durch P links und P rechts : für jeden Punkt p in P links gehe in P rechts bis y-koord. y p + d; halte die letzten 6 Punkte im grauen Streifen aufrecht ( K p ) bestimme Min. d mitte über alle d(p, q) mit p P links und q K p gib Min. von d mitte, d links und d rechts (und entspr. Paar) zurück P rechts

10 Algorithmus T (n) = T ( n/2 ) + T ( n/2 ) + O(n log n) 1. Sortiere P nach x-koordinate p 1,..., p n mit x 1 x n 2. Teile: P links = {p 1,..., p n/2 }, P rechts = P \ P links 3. Herrsche: bestimme rekursiv kleinsten Abstand d links v. Paaren in P links 4. Kombiniere: d = min{d links, d rechts } d rechts sortiere P links und P rechts nach y-koordinate gehe gleichzeitig durch P links und P rechts : für jeden Punkt p in P links gehe in P rechts bis y-koord. y p + d; halte die letzten 6 Punkte im grauen Streifen aufrecht ( K p ) bestimme Min. d mitte über alle d(p, q) mit p P links und q K p gib Min. von d mitte, d links und d rechts (und entspr. Paar) zurück P rechts O(1) O(n log n) O(n)

11 Laufzeit T (n) = T ( n/2 ) + T ( n/2 ) + O(n log n) Also T (n) 2T (n/2) + O(n log n) Rekursionsgleichung mit Master-Theorem lösen? Bestimme Parameter für das Theorem: a = b = 2, f (n) = O(n log n). Betrachte n log b a = n log 2 2 = n 1. O(n 1 ε ) für ein ε > 0 Gilt f Θ(n 1 )? Ω(n 1+ε ) für ein ε > 0 Nein, f : n O(n log n) passt in keinen der drei Fälle. Die Rekursionsbaummethode liefert... T (n) = O(n log 2 n).

12 Noch besser? T (n) 2T (n/2) + O(n log n) = O(n log 2 n) 1. Sortiere P nach x-koordinate p 1,..., p n mit x 1 x n 2. Teile: P in P links = {p 1,..., p n/2 } und P rechts = P \ P links 3. Herrsche: bestimme rekursiv kleinsten Abstand d links v. Paaren in P links?! O(n) 4. Kombiniere: d = min{d links, d rechts } d rechts sortiere P links und P rechts nach y-koordinate gehe gleichzeitig durch P links und P rechts : für jeden Punkt p in P links gehe in P rechts bis y-koord. y p + d; halte die letzten 6 Punkte im grauen Streifen aufrecht ( K p ) bestimme Min. d mitte über alle d(p, q) mit p P links und q K p gib Min. von d mitte, d links und d rechts (und entspr. Paar) zurück P rechts

13 Noch besser! T (n) 2T (n/2) + O(n log n) = O(n log 2 n) O(n) 1. Sortiere P nach x-koordinate p 1,..., p n mit x 1 x n und P =P nach y-koordinate p 1,..., p n mit y 1 y n 2. Teile: P in P links = {p 1,..., p n/2 } und P rechts = P \ P links P in P links und P rechts (sortiert nach y-koordinate) 3. Herrsche: bestimme rekursiv kleinsten Abstand d links v. Paaren in P links 4. Kombiniere: d = min{d links, d rechts } gehe gleichzeitig durch P links und P rechts: d rechts für jeden Punkt p in P links gehe in P rechts bis y-koord. y p + d; halte die letzten 6 Punkte im grauen Streifen aufrecht ( K p ) P rechts bestimme Min. d mitte über alle d(p, q) mit p P links und q K p gib Min. von d mitte, d links und d rechts (und entspr. Paar) zurück

14 Zusammenfassung 1. Vorverarbeitung (2 Sortieren) O(n log n) 2. Teilen O(n) 3. Herrschen 2T (n/2) T (n) = O(n log n) 4. Kombinieren O(n) [MergeSort-Rek.!] Gesamtlaufzeit O(n log n) Speicherplatzbedarf? O(n), wenn P in situ in P links und P rechts zerlegt wird.

15 Ist die Laufzeit O(n log n) optimal? Def. Satz. Element-Uniqueness-Problem (für natürliche Zahlen) Gegeben eine Folge a 1,..., a n von n Zahlen, kommt jede Zahl nur einmal vor, d.h. a i a j für i j? Das Element-Uniqueness-Problem kann nicht schneller als in Ω(n log n) Zeit gelöst werden wenn man als Rechenmodell das sogenannte algebraische Entscheidungsbaummodell zugrunde legt. Was bedeutet das für das Problem Nächstes Paar? Angenommen wir könnten Nächstes Paar in o(n log n) Zeit lösen dann auch Element Uniqueness! Wie? Teste, ob das nächste Paar Abstand 0 hat! Genaugenommen muss man die Zahlen a 1,..., an in eine Menge von (paarweise verschiedenen!) Punkten der Ebene transformieren, aber auch das geht! Wie? a 3 a 6 a 2/5 a 4 a 1 ε ε 1 ε

16 Das heißt... Satz. Kor. Das Problem Nächstes Paar kann nicht schneller als in Ω(n log n) Zeit gelöst werden, wenn man als Rechenmodell das algebraische Entscheidungsbaummodell zugrunde legt. Unser O(n log n)-zeit-algorithmus für das Problem Nächstes Paar ist asymptotisch optimal, wenn man....

17 Implementieren Sie die einfache Brute-Force-Lösung in Java. Implementieren Sie einen einfachen Teile-und-Herrsche-Algorithmus, der im Herrsche-Schritt alle (quadratisch vielen) (, )-Kandidaten testet. (Ist der schneller als der Brute-Force-Alg.?) Implementieren Sie den hier vorgestellten Teile-und-Herrsche- Algorithmus, der in O(n log 2 n) Zeit läuft! Implementieren Sie den hier vorgestellten Teile-und-Herrsche- Algorithmus, der in O(n log n) Zeit läuft! 10 Extra-Übungspunkte! Abgabe: , 8:55 (per bei mir) Goodrich & Tamassia: Data Structures & Algorithms in Java. Wiley, 4. Aufl., 2005 (5. Aufl., 2010)

18 Algorithmen & Datenstrukturen Lernziele: Inhalt: To do In dieser Veranstaltung haben Sie schon gelernt... die Effizienz von Algorithmen zu messen und miteinander zu vergleichen, grundlegende Algorithmen und Datenstrukturen in Java zu implementieren, selbst Algorithmen und Datenstrukturen zu entwerfen sowie deren Korrektheit und Effizienz zu beweisen. Grundlagen und Analysetechniken Sortierverfahren Java Datenstrukturen Graphenalgorithmen Systematisches Probieren (Augmentieren von DS) (kürzeste Wege, min. Spannbäume) (dynamisches Progr., Greedy-Alg.)