Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem

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1 Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Andreas Moser Dietmar Ebner Christian Schauer Markus Bauer 9. Dezember Einführung Der in der Vorlesung gezeigte Algorithmus für das Steiner Baum Problem von Dreyfus und Wagner basiert auf dynamischer Programmierung, wobei das Ergebnis iterativ aus den Steinerbäumen aller kleineren Teilmengen der Terminalknotenmenge K errechnet wird. Der Algorithmus basiert auf folgendem Lemma: Lemma 1 Sei K, und v V \. Dann gilt: s v ( {v}) = min = (s( {v}) + s(( \ ) {v})) und s( {v}) = min(min w (p(v, w) + s()), min w (p(v, w) + s w ( {w}))) Dabei bezeichnet p(v, w) den kürzesten Pfad von v nach w, s( {v}) die Länge des minimalen Steinerbaumes für Terminale inklusive Knoten v und s v ( {v}) die Länge des minimalen Steinerbaumes für wobei der Knoten v mindestens Grad 2 hat. 2 Der Dreyfus Wagner Algorithmus Algorithmus 1 zeigt, wie mittels Lemma 1 das Gewicht eines minimalen Steinerbaumes in exponentieller Zeit, genauer in O(3 k n + 2 k n 2 + n 2 log n + nm) ermittelt werden kann. Der Algorithmus entspricht im Wesentlichen der Version aus der Vorlesung, allerdings wurden die Minima in for-schleifen übersetzt. In den Zeilen 7 bis 9 wird die Relation s v ( {v}) unabhängig vom Grad von v berechnet, obwohl sie nur für Knoten mit Grad 2 definiert ist. 1

2 Allerdings kann man sich leicht überlegen, dass in diesem Fall die Addition der Kosten der Steinerknoten für {v} und \ {v} zumindest die letzte Kante zum Knoten v doppelt zählt. In diesem Fall wird in Zeile 11 bis 13 sicher ein günstigerer Pfad gefunden. Algorithm 1 Der Dreyfus-Wagner Algorithmus Output: Das Gewicht eines minimalen Steinerbaums 4: s({v, w}) = p(v, w) 5: for i = 2 to k 1 do 6: for all K with = i and all v V \ do 7: for all with do 8: if s v ( {v}) > s( {v}) + s(( \ ) {v}) then 9: s v ( {v}) = s( {v}) + s(( \ ) {v}) 10: for all K with = i and all v V \ do 11: for all w do 12: if s( {v}) > p(v, w) + s() then 13: s( {v}) = p(v, w) + s() 14: for all w V \ do 15: if s( {v}) > p(v, w) + s w ( {w}) then 16: s( {v}) = p(v, w) + s w ( {w}) Darüber hinaus ist natürlich nicht nur der Wert der Lösung, sondern auch die Lösung selbst (also eine Teilmenge E S der Kanten E) von Interesse. Wir haben uns dafür die folgenden zwei Möglichkeite überlegt: 2.1 Bitmaps für Kantensubsets Eine Lösung für das Steinerbaum Problem kann effizient mit Hilfe von Bitmaps dargestellt werden, wobei Bit i auf 1 gesetzt ist, genau dann wenn in einer festgelegten Enumeration der Kantenmenge die i-te Kante im Steinerbaum enthalten ist. Die Vereinigung zweier Bäume kann damit sehr effizient mittels einer bitweisen or-operation erledigt werden. In Algorithmus 2 sind die nötigen Erweiterungen zur bereits gezeigten Variante farbig hervorgehoben. Zusätzlich zu den Relationen s() und s v () werden die Bitmaps E S und E S v berechnet, die jeweils angeben aus welchen Kanten sich der Wert aus s() bzw. s v () zusammensetzt. 2

3 Der wesentliche Vorteil ist, das am Ende des Algorithmus das Resultat direkt abgelesen werden kann. Allerdings erhöht sich trotz der effizienten Darstellung der ohnehin schon enorme Speicheraufwand um den Faktor O( E ). Algorithm 2 Dreyfus-Wagner Algorithmus mit Bitmaps Output: Die Kantenmenge des minimalen Steinerbaums auf G 4: s({v, w}) = p(v, w) 5: E S ({v, w}) = Menge der Kanten auf dem Pfad p(v, w) 6: for i = 2 to k 1 do 7: for all K with = i and all v V \ do 8: for all with do 9: if s v ( {v}) > s( {v}) + s(( \ ) {v}) then 10: s v ( {v}) = s( {v}) + s(( \ ) {v}) 11: E Sv ( {v}) = E S ( {v}) E S (( \ ) {v}) 12: for all K with = i and all v V \ do 13: for all w do 14: if s( {v}) > p(v, w) + s() then 15: s( {v}) = p(v, w) + s() 16: E S ( {v}) = E S ({v, w}) E S () 17: for all w V \ do 18: if s( {v}) > p(v, w) + s w ( {w}) then 19: s( {v}) = p(v, w) + s w ( {w}) 20: E S ( {v}) = E S ({v, w}) E Sw ( {w}) 2.2 Backtrackingverfahren Eine speicherplatzschonendere Variante die Lösung zu erhalten, ist ein Backtrackingverfahren. Da die jeweiligen Teilmengen iterativ konstruiert werden, kann statt des gesamten Baumes nur ein Verweis auf die jeweiligen Elternmengen gespeichert werden. Dadurch erhöht sich der benötigte Speicherplatz pro Relation und Teilmenge lediglich um einen konstanten Faktor, nämlich die zwei Verweise auf die vorhergehenden Teilmengen. Allerdings muss das Ergebnis am Ende mittels eines Backtrackingalgorithmus erst errechnet werden. Im Worst-Case wird die Ergebnismenge je- 3

4 weils nur um einen einzelnen Knoten pro Rekursion erweitert. Inklusive des nötigen Aufwandes für das Vereinigen der Kantenmengen ergibt sich eine Gesamtlaufzeit für die Backtrackingroutine von O( E K ), was im Vergleich zur exponentiellen Laufzeit des gesamten Algorithmus jedoch vernachlässigbar ist. Es sollte angemerkt werden, das während des Backtrackings nicht mehr unterschieden werden kann, ob die zweite Teilmenge zur Relation s() bzw. s v () gehört. Diese Information wird explizit im dritten Argument von P reds gespeichert. 4

5 Algorithm 3 Dreyfus-Wagner Algorithmus mit Backtracking Output: Die Kantenmenge des minimalen Steinerbaums auf G 4: S({v, w}) = p(v, w) 5: for i = 2 to k 1 do 6: for all K with = i and all v V \ do 7: for all with do 8: if S v ( {v}) > S( {v}) + S(( \ ) {v}) then 9: S v ( {v}) = S( {v}) + S(( \ ) {v}) 10: P reds v ( {v}) = ( {v}, ( \ ) {v}, false) 11: for all K with = i and all v V \ do 12: for all w do 13: if S( {v}) > p(v, w) + S() then 14: S( {v}) = p(v, w) + S() 15: P reds( {v}) = ({v, w},, false) 16: for all w V \ do 17: if S( {v}) > p(v, w) + S w ( {w}) then 18: S( {v}) = p(v, w) + S w ( {w}) 19: P reds( {v}) = ({v, w}, {w}, true) 20: return Kantenmenge(, f alse) Kantenmenge(, isv): 1: if = 2 then 2: return Menge der Kanten entlang von p(v, w) mit v, w 3: else 4: if isv then 5: (L, R, V ) = P reds v () 6: else 7: (L, R, V ) = P reds() 8: return Kantenmenge(L, V ) Kantenmenge(R, V ) 5