Termine für Übungstests. Kap. 3 Sortieren HeapSort ff Priority Queues. Motivation. Überblick. Analyse SiftDown

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1 Kap. Sortieren..5 HeapSort ff..6 Priority Queues Professor Dr. Vorlesung am Do 7.5. entfällt wegen FVV um Uhr Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS Fakultät für nformatik, TU Dortmund 7. VO DAP SS Mai 009 Termine für Übungstests. Übungstest: Di 9. Mai, in der Vorlesung im AudiMax, Beginn: ab :5 Uhr, ab Uhr anwesend sein wegen Sitzordnung. Übungstest: Di 6. Juni, in der VO im AudiMax, Beginn: ab :5 Uhr, ab Uhr anwesend sein wegen Sitzordnung Motivation Überblick Warum soll ich hier bleiben? Heap als Datenstruktur Warum soll mich das interessieren? Dies wird später immer wieder benötigt... Wiederholung HeapSort Analyse HeapSort ADT Priority Queue Wdhlg: Animation von Heap-Sort Analyse SiftDown procedure SFTDOW (i, m) { while Knoten i hat Kinder m { j := Kind m mit größerem Wert if A[i] < A[j] then { vertausche A[i] und A[j] i := j O( Baumtiefe ) = O( log n ) O R S T 5 6

2 Analyse CreateHeap Für Beweis: Wdhlg. Höhe des Baums procedure CREATEHEAP () { for i := n/ { SFTDOW (i, n) Schleife: O(n) mal Pro Schleife: O(log n) O(n log n) # Knoten BS Ebene 7 # Knoten PRO Ebene Ebene Ebene Ebene S Tiefe/Höhe eines Baums = Anzahl der Ebenen - O n max = h+ - n min = h egebene Höhe h: R Maximale Höhe bei n Elementen? T n = h h max = log n Es gilt sogar: O(n) (jetzt Beweis) O R S T 7 5 k - 8 Ebene k- Ebene k Höhe des Heaps: O(log n) Analyse CreateHeap Lemma: CREATEHEAP() läuft in Zeit O(n) für n Elemente. Beweis: Sei k die Anzahl der Ebenen des Binärbaums, d.h. k- n k -. Auf Ebene j sind j- Schlüssel Anzahl Vergleiche für SFTDOW() von Ebene j ist im worst case proportional zu k-j nsgesamt: k k k T(n) = j k j j (k j) = j = k k n j= j (denn = ) j j= j= j j= 9 procedure HEAPSORT () { CREATEHEAP() for k := n { vertausche A[] und A[k] SFTDOW (, k-) CreateHeap: O(n) Schleife: O(n) mal Pro Schleife: O(log n) nsgesamt: O(n log n) Analyse HeapSort O R S T 0 Best Case Analyse Best Case Analyse ntuition Annahme: linear? SFTDOW() nur konstant (k) viele Schritte? Bei Beendigung von SFTDOW() muss A[i] A[j] A[i] wurde aber gerade erst von unten getauscht um oben auf dem Heap zu bleiben muss es groß sein Kann es sein, dass alle großen Elemente oben auf dem Heap bleiben können? ein, denn oben ist zu wenig Platz (die meisten Elemente sind unten) Ω(n log n) ~n/ ~n/ ~ k Annahme: linear? SFTDOW() nur konstant (k) viele Schritte zu wenig Platz für alle Blätter! k log n

3 Analyse HeapSort Eigenschaften Anzahl der Schlüsselvergleiche: C worst (n)=c best (n)=c avg (n)=θ(n log n) in-situ? Anzahl der Datenbewegungen: C worst (n)=c best (n)=c avg (n)=θ(n log n) stabil? adaptiv? O R S T 5..6 Der ADT Priority Queue Prioritätswarteschlange, (PQ) Wertebereich: Multi-Menge von Paaren (p,v) aus PxV, wobei P eine linear geordnete Menge von Prioritäten und V eine beliebige Menge von Werten (value) bezeichnet. Operationen des ADT Priority Queue Allgemeine Operationen: Einfügen eines Elements (SERT) Löschen eines Elements an Stelle pos (DELETE) SEMPTY ib Priorität von Element an pos zurück (PRORTY) Minimum Ausgabe (ACCESSM) Minimum Extrahieren (d.h. Minimum ausgeben und dann entfernen (EXTRACTM) DECREASEPRORTY: Verringere Priorität eines Elements an Position pos Realisierung des ADT Priority Queue mittels eines Heaps (MinHeap) in Array Operationen (HER speziell): nitialisieren Minimum Ausgabe (AccessMin): Wurzel Minimum Entfernen (DeleteMin): kopiere letztes Element an Wurzel, SFTDOW() Einfügen eines Elements nsert(p,v): füge hinten ein, Aufruf von SFTUP(n) DecreasePriority(pos,p): ändere prio, SFTUP(pos) Repräsentation einer Min-Heap PQ HeapElement priotype priority valuetype value int index nitialisierung: heapsize=0 // Priorität des Elements //Wert (value) //ndex des Elements im Feld Repräsentation einer MinHeap PQ int heapsize HeapElement A[..n] 9 0

4 Repräsentation einer Min-Heap PQ Function AccessMin(): HeapElement return A[] Procedure DeleteMin() A[heapSize.index]= kopiere A[heapSize] nach A[] heapsize = heapsize- SFTDOW(,heapSize) Procedure DecreasePriority(pos,p) pos.priority = p //prüfe vorher, ob p wirklich kleiner SFTUP(pos.index) SERT bei Min-Heap PQ Function SERT(p,v): HeapElement var HeapElement x heapsize = heapsize+ x = new HeapElement x.priority = p x.value = v x.index = heapsize A[heapSize] = x SFTUP(heapSize) return x DELETE bei Min-Heap PQ Function DELETE(pos) A[heapSize].index = pos.index Tausche A[heapSize] und A[pos.index] heapsize = heapsize- i=pos.index SFTUP[i] //es ist entweder UR SFTUP SFTDOW[i] //oder SFTDOW notwendig delete pos SFTDOW bei MinHeap PQ Procedure SFTDOW (i, m) { while Knoten i hat Kinder m { j := Kind m mit kleinerem Wert if A[i].priority > A[j].priority then { A[j].index = i // weiß immer, an welcher Stelle A[i].index = j // Element im Heap ist vertausche A[i] und A[j] i := j SFTUP bei MinHeap PQ Procedure SFTUP (i) { var int parent parent = i/ //abgerundet while parent > 0 { if A[parent].priority > A[i].priority then { A[parent].index = i A[i].index = parent vertausche A[i] und A[parent] i = parent parent = i/ Analyse des ADT Priority Queue mittels eines Heaps (MinHeap) in Array Operationen: nitialisieren: O() Minimum Suchen (AccessMin): O() Minimum Entfernen (DeleteMin): O(log n) Einfügen eines Elements nsert(p,v): O(log n) DecreasePriority(pos,p): O(log n) weitere Op: Delete(pos): s. Skript Ende Heap-Sort 6

5 schneller langsamer Bedeutung der asymptotischen Laufzeit Algorithmus Sortieren von Mio. Zahlen: nsertsort: (0 6 ) ops/0 0 ops/sec = 00 sec mplementierung eschwindigkeit: ops/sec nsertionsort n 0000 Mio MergeSort 50n log n 00 Mio MergeSort: log 0 6 ops / 0 8 ops/sec 0 sec gleiche Rechner: 00 Sekunden vs. 0, Sekunde Wie Bedeutung sind der auch asymptotischen Algorithmen Technologie! Laufzeit schneller langsamer Algorithmus mplementierung eschwindigkeit: ops/sec nsertionsort n 0000 Mio MergeSort 50n log n 00 Mio Sortieren von 0 Mio. Zahlen: nsertsort: (0 7 ) ops/0 0 ops/sec =0000 sec 5,5 Std. MergeSort: log 0 7 ops / 0 7 ops/sec 0 sec gleiche Rechner: 5,5 Stunden vs., Sekunden 5