5.5 Prioritätswarteschlangen

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1 5.5 Prioritätswarteschlangen LIFO- und FIFO-Warteschlangen entfernen Werte aus der Warteschlange in Abhängigkeit davon, wann sie in diese eingefügt wurden Prioritätswartschlangen interpretieren die Werte als Prioritäten und entfernen immer den kleinsten bzw. den größten Wert MinHeaps ( Haufen ) sind Prioritätswarteschlangen bei denen immer der kleinste Wert entfernt wird 72

2 Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum besteht aus Knoten jeder Knoten hat bis zu zwei Kindknoten, einen linken und einen rechten auf jeden Knoten wird von höchstens einem Elternknoten verwiesen Knoten, die keine Kindknoten besitzen, heißen Blattknoten (kurz: Blätter) es gibt höchstens einen Knoten ohne Elternknoten, dieser wird als Wurzel bezeichnet 73

3 Binäre Bäume Beispiel: Der Knoten 8 ist die Wurzel des Baums Die Knoten 6, 2 und 1 sind Blattknoten Der Knoten 5 ist Elternknoten seiner Kindknoten 6 und 2 74

4 Tiefe und Höhe Die Tiefe eines Blattknotens entspricht der Zahl der Verweise, denen man von der Wurzel aus folgen muss, um zu ihm zu gelangen Die Höhe eines binären Baums ist die maximale Tiefe seiner Blattknoten erhöht um 1 75

5 Tiefe und Höhe Beispiel: Die Blattknoten 6 und 9 haben Tiefe 2 Der Blattknoten 3 hat Tiefe 1 Die Höhe des Baumes beträgt damit 3 76

6 Vollständiger binärer Baum Definition: Ein binärer Baum heißt vollständig, wenn sich die Tiefe seiner Blattknoten um maximal 1 unterscheidet alle Ebenen außer der Blattebene gefüllt sind die Blattebene von links nach rechts gefüllt ist 77

7 Vollständiger binärer Baum Beispiel:

8 Vollständiger binärer Baum Beispiel:

9 Vollständige binäre Bäume als Arrays Wir können vollständige binäre Bäume mit Hilfe von Arrays implementieren, indem wir den Baum Ebene für Ebene von links nach rechts durchlaufen und die Werte in dieser Reihenfolge im Array speichern a n =

10 Vollständige binäre Bäume als Arrays Wir verwenden ein statisches Array und merken uns wiederum in einem Wert n, wie viele Werte bereits darin gespeichert sind Das statische Array kann durch ein dynamisches Array ersetzt werden, so dass der binäre Baum beliebig wachsen und schrumpfen kann 81

11 Vollständige binäre Bäume als Arrays Speichern wir einen vollständigen binären Baum als Array, so gelten die folgenden Eigenschaften die Wurzel des Baumes befindet sich in a[0] der linke Kindknoten des Knotens in a[i] befindet sich in a[2*i + 1] der rechte Kindknoten des Knotens in a[i] befindet sich in a[2*i + 2] der Elternknoten des Knotens in a[i] befindet sich in a[(i-1)/2] 82

12 Vollständige binäre Bäume als Arrays Beispiel: a n = Die Wurzel befindet sich in a[0] Die Kindknoten des Knotens in a[1] befinden sich in a[3] und a[4] 83

13 MinHeap Definition: Ein MinHeap ist ein vollständiger binärer Baum, bei dem der Wert jedes Knotens kleiner gleich als die Werte seiner Kindknoten ist Beispiel:

14 MinHeap Beispiel:

15 MinHeap Wir implementieren MinHeaps mit Hilfe eines Arrays a n =

16 MinHeap 1 public class MinHeap { 2 3 // Array zum Speichern der Werte 4 private int a[]; 5 6 // Anzahl bisher gespeicherter Werte 7 private int n; 8 9 /** 10 * Lege einen MinHeao der angegebenen Größe an 11 */ 12 public MinHeap(int size) { 13 a = new int[size]; 14 n = 0; 15 } // Definition der Methoden folgt } 87

17 Einfügen in einen MinHeap Um einen Wert in einen MinHeap einzufügen, für diesen an der Stelle a[n] in das zugrundeliegende Array ein Hierdurch können die Heap-Eigenschaften verletzt werden, so dass wir diese wiederherstellen müssen 88

18 Einfügen in einen MinHeap Beispiel: 2 enqueue(1) a 5 n = a 5 1 n =

19 Einfügen in einen MinHeap Um die Heap-Eigenschaften wiederherzustellen, laufen wir vom eingefügten Knoten in Richtung der Wurzel hat der aktuelle Knoten einen Wert, der kleiner als der Wert seines Elternknotens ist, so vertauschen wir die beiden Werte hat der aktuelle Knoten einen Wert, der größer gleich als der Wert seines Elternknotens ist, oder haben wir die Wurzel erreicht, so sind die Heap-Eigenschaften wiederhergestellt 90

20 Einfügen in einen MinHeap Beispiel: a 5 1 n = a 5 3 n =

21 Einfügen in einen MinHeap Beispiel: Heap-Eigenschaften wiederhergestellt a 5 3 n = 6 92

22 Einfügen in einen MinHeap 1 public void enqueue(int k) { 2 // Wert in Array einfügen 3 a[n] = k; 4 n++; 5 6 // Heap- Eigenschaft wiederherstellen 7 int i = n - 1; 8 while (i > 0) { 9 // Elternknoten bestimmen 10 int p = (i - 1) / 2; // Heap-Eigenschaft verletzt? 13 if (a[i] < a[p]) { 14 swap(i, p); 15 i = p; 16 } else { 17 break; 18 } 19 } 20 } 93

23 Einfügen in einen MinHeap Im schlechtesten Fall laufen wir also vom eingefügten Knoten bis zur Wurzel und vertauschen die Werte auf diesem Weg Die Laufzeit hierbei hängt damit von der maximalen Höhe eines MinHeaps mit n Werten ab Wir werden uns später überlegen, wie hoch ein MinHeap mit n Werten maximal sein kann 94

24 Löschen aus einem MinHeap Um den minimalen Wert aus einem MinHeap zu entfernen, ersetzen wir den Wert an der Stelle a[0] durch den Wert an der Stelle a[n-1] und verkleinern den Wert von n Hierdurch können die Heap-Eigenschaften verletzt werden, so dass wir diese wiederherstellen müssen 95

25 Löschen aus einem MinHeap Beispiel: 2 dequeue() a n = a 5 6 n =

26 Löschen aus einem MinHeap Um die Heap-Eigenschaften wiederherzustellen, laufen wir von der Wurzel in Richtung der Blattknoten hat der aktuelle Knoten einen Wert, der größer als die Werte seiner beiden Kindknoten ist, so vertauschen wir ihn mit dem kleineren der beiden Werte hat der aktuelle Knoten einen Wert, der größer als der Wert eines seiner Kindknoten ist, so vertauschen wir die beiden Werte hat der aktuelle Knoten einen Wert, der kleiner gleich als die Werte seiner beiden Kindknoten ist, so sind die Heap-Eigenschaften wiederhergestellt 97

27 Löschen aus einem MinHeap Beispiel: a 5 6 n = a n =

28 Löschen aus einem MinHeap Beispiel: Heap-Eigenschaften wiederhergestellt a n = 6 99

29 Löschen aus einem MinHeap 1 public int dequeue() { 2 int result = a[0]; 3 4 // Ersten Wert aus Array entfernen 5 swap(0, n - 1); 6 n--; 7 8 // Heap- Eigenschaft wiederherstellen 9 int i = 0; 10 while (i < n / 2-2) { // Linker Kindknoten 13 int l = 2 * i + 1; // Rechter Kindknoten 16 int r = 2 * i + 2; // Kleinerer Kindknoten 19 int c = l; 20 if (a[r] < a[l]) { 21 c = r; 22 } // Heap-Eigenschaft verletzt? 25 if (a[c] < a[i]) { 26 swap(c, i); 27 i = c; 28 } else { 29 break; 30 } 31 } 100

30 Löschen aus einem MinHeap Im schlechtesten Fall laufen wir also von der Wurzel bis zum Elternknoten eines Blattknotens und vertauschen die Werte auf diesem Weg Die Laufzeit hierbei hängt damit von der maximalen Höhe eines MinHeaps mit n Werten ab Wir werden uns später überlegen, wie hoch ein MinHeap mit n Werten maximal sein kann 101

31 Maximale Höhe eines MinHeaps mit n Knoten Wie hoch kann ein vollständiger binärer Baum, und damit ein MinHeap, mit n Knoten maximal sein? Wie viele Knoten enthält ein vollständiger binärer Baum der Höhe h minimal und maximal? die erste Ebene beinhaltet 1 Knoten die zweite Ebene beinhaltet 2 Knoten die h-te und letzte Ebene beinhaltet minimal 1 Knoten und maximal 2 h-1 Knoten 102

32 Maximale Höhe eines MinHeaps mit n Knoten Damit enthält ein vollständiger binärer Baum der Höhe h minimal 2 h-1 Knoten und maximal 2 h - 1 Knoten Ein vollständiger binärer Baum mit n Knoten muss somit eine Höhe von höchstens h = log 2 (n) + 1 haben Damit wissen wir das Einfügen und Löschen in bzw. aus einem MinHeap Laufzeit in O(log n) hat 103

33 HeapSort HeapSort ist ein weiteres Sortierverfahren, welches die Werte in einen MinHeap einfügt und diese dann nacheinander in aufsteigender Reihenfolge wiederum aus dem MinHeap entnimmt Das Einfügen und Löschen jedes der n Werte hat Laufzeit in O(log n) und HeapSort hat damit insgesamt Laufzeit in O(n log n) 104

34 Zusammenfassung Binäre Bäume bestehen aus Knoten, wobei jeder maximal zwei Kindknoten besitzt, und können mit Hilfe statischer Arrays implementiert werden MinHeaps als Warteschlangen, welche immer den kleinsten Wert entfernen, sind vollständige binäre Bäume und unterstützen das Einfügen und Löschen in Laufzeit O(log n) HeapSort als weiteres Sortierverfahren mit Laufzeit in O(n log n) 105

35 Literatur [1] H.-P. Gumm und M. Sommer: Einführung in die Informatik, Oldenbourg Verlag, 2012 (Kapitel 4) [2] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. Rivest und C. Stein: Algorithmen Eine Einführung, Oldenbourg Verlag, 2009 (Kapitel 6) 106